2016届高三数学一轮总复习课件：第八章 平面解析几何8-8理

过焦点 F1 向∠F1AF2 的外角平分线作垂线，垂足为 D，则点 D 的 轨迹方程是( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
第十三页，编辑于星期五：二十点 十四分。
解析 如图，由椭圆定义知 |AF1|＋|AF2|＝|AF2|＋|AM|＝2a＝|F2M|. 又 D 为 F1M 的中点，O 为 F1F2 的中点， ∴|OD|＝12|F2M|＝a. ∴点 D 的轨迹是圆． 答案 B
第二十一页，编辑于星期五：二十点 十四分。
(2)由几何性质意义知，l 与平行于 l 的椭圆 C 的切线 l′的距
离等于 Q 与 l 的距离的最小值．设 l′：x＋2y＋D＝0.将其代入椭
圆方程消去 x，化简得：16y2＋12Dy＋3(D2－4)＝0.
∴Δ＝144D2－192(D2－4)＝0⇒D＝±4，
第七页，编辑于星期五：二十点 十四分。
对点自测
知识点一
曲线与方程的概念
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条 件．( ) (2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2＝ y2.( ) (4)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
第十四页，编辑于星期五：二十点 十四分。
5．已知两定点 A(－2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|＝2|PB|， 那么点 P 的轨迹所包围的图形的面积为________．
解析 设 P(x，y)，由|PA|＝2|PB|， 得 x＋22＋y2＝2 x－12＋y2， ∴3x2＋3y2－12x＝0，即 x2＋y2－4x＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为 2 的圆． 即轨迹所包围的面积等于 4π. 答案 4π
l′和 l 的距离的最小值为|12－5 4|.
∴点
Q
到
l
的距离的最小值为85
5 .
第二十二页，编辑于星期五：二十点 十四分。
【规律方法】 (1)用直接法求轨迹方程的步骤：建系，设点， 列方程化简．其关键是根据条件列出方程来．
(2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的 点要去掉，遗漏的点要补上．
B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.
第二十六页，编辑于星期五：二十点 十四分。
听 课 记 录 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1，0)，半径 r1＝1； 圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.
设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|＋|PN|＝ (R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半 轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x42＋y32＝ 1(x≠－2)．
第二十七页，编辑于星期五：二十点 十四分。
(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－
2≤2，所以 R≤2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆
P 的半径最长时，其方程为(x－2)2＋ Nhomakorabea2＝4.
若 l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|＝2 3.
因为|MA|＝|MB|， 所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点 M 到两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2，且小于 |C1C2|＝6.
第三十二页，编辑于星期五：二十点 十四分。
根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距离大，到 C1 的距离小)，这里 a＝1，c＝3，则 b2＝8，设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1)．
第八章 平面解析几何
第一页，编辑于星期五：二十点 十四分。
第八节 曲线与方程(理)
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
第二页，编辑于星期五：二十点 十四分。
高考明方向 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基 本方法． 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
第三十三页，编辑于星期五：二十点 十四分。
考点三
代入法求轨迹方程
【例 3】 如图，设 P 是圆 x2＋y2＝25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.
(1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线 l 被 C 所截线段的长度． 【思维启迪】 找出 M 与 P 坐标间的关系．
第八页，编辑于星期五：二十点 十四分。
2．方程(x2＋y2－4) x＋y＋1＝0 的曲线形状是( )
第九页，编辑于星期五：二十点 十四分。
解析 由题意可得 x＋y＋1＝0 或xx2＋＋yy＋2－1≥4＝0，0， 它表示直线 x＋y＋1＝0 和圆 x2＋y2－4＝0 在直线 x＋y＋1＝0 右上方的部分． 答案 C
第十七页，编辑于星期五：二十点 十四分。
(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲 线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨 迹方程．
(4)代入法(相关点法)：当所求动点 M 是随着另一动点 P(称之 为相关点)而运动．如果相关点 P 所满足某一曲线方程，这时我们 可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就 把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方 法叫做相关点法或代入法．
第十页，编辑于星期五：二十点 十四分。
知识点二
求曲线的方程
3.已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－1,2)，
Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点的轨迹方
程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
若 l 的倾斜角不为 90°，由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x
轴的交点为 Q，则||QQMP||＝Rr1，可求得 Q(－4,0)，所以可设 l：y＝k(x
＋4)，由 l 与圆 M 相切得
1|3＋k|k2＝1，解得
k＝±
2 4.
第二十八页，编辑于星期五：二十点 十四分。
当 k＝ 42时，y＝ 42x＋ 2代入x42＋y32＝1，并整理得 7x2＋8x
第二十页，编辑于星期五：二十点 十四分。
听 课 记 录 (1)设动点 P(x，y)， 则M→P＝(x－4，y)，M→N＝(－3,0)，P→N＝(1－x，－y)， 由已知得－3(x－4)＝6 1－x2＋－y2， 化简得 3x2＋4y2＝12，即x42＋y32＝1. ∴点 P 的轨迹方程是椭圆 C：x42＋y32＝1.
第十八页，编辑于星期五：二十点 十四分。
问题 2 求轨迹与轨迹方程有什么不同？ (1)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应 关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解 变形；二是是否符合题目的实际意义． (2)求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求 轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．
第十五页，编辑于星期五：二十点 十四分。
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
第十六页，编辑于星期五：二十点 十四分。
问题探究 问题 1 求曲线的方程有哪些常见的方法？ (1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如 距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我 们只需把这种关系转化为 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根 据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．
第三十四页，编辑于星期五：二十点 十四分。
第十九页，编辑于星期五：二十点 十四分。
高频考点
考点一
直接法求轨迹方程
【例 1】 已知 M(4,0)，N(1,0)，若动点 P 满足M→N·M→P＝6|N→P
|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点，求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0
的距离的最小值．
【思维启迪】 设动点坐标，列式化简即可．
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
第五页，编辑于星期五：二十点 十四分。
知识梳理
知识点一
曲线与方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个
二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点． 那么这个
第二十三页，编辑于星期五：二十点 十四分。
变式思考 1
如图所示，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 交 x 轴 于 A，l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．
第二十四页，编辑于星期五：二十点 十四分。
解 设点 M 的坐标为(x，y)， ∵M 是线段 AB 的中点， ∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)． ∴P→A＝(2x－2，－4)，P→B＝(－2,2y－4)． 由已知P→A·P→B＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0，即 x＋2y－5 ＝0. ∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0.
方程叫做 曲线的方程 ，这条曲线叫做 方程的曲线 .
第六页，编辑于星期五：二十点 十四分。
知识点二 求动点的轨迹方程的一般步骤 1.建系——建立适当的坐标系． 2．设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)． 3．列式——列出动点 P 所满足的关系式． 4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将 其转化为 x，y 的方程式，并化简． 5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
第二十五页，编辑于星期五：二十点 十四分。
考点二
定义法求轨迹方程
【例 2】 已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，
动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.
(1)求 C 的方程；
(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，
第三十页，编辑于星期五：二十点 十四分。
变式思考 2 已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2 ＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹 方程．
第三十一页，编辑于星期五：二十点 十四分。
解 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和 点 B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－ |BC2|＝|MB|.
－8＝0，解得 x1,2＝－4±76
2 .
所以|AB|＝ 1＋k2|x2－x1|＝178.
当 k＝－ 42时，由图形的对称性可知|AB|＝178.
综上，|AB|＝2 3或|AB|＝178.
第二十九页，编辑于星期五：二十点 十四分。
【规律方法】 高考中常常根据圆锥曲线的定义或圆锥曲线 的几何性质确定圆锥曲线的标准方程，在此基础上，进一步通过 解方程组，利用根与系数的关系求解交点、弦长、中点、面积、 距离、定值、定点及范围问题．解答时注意直线的斜率是否存在， 若不确定则需要分类讨论进行求解．
第三页，编辑于星期五：二十点 十四分。
备考知考情 1.求曲线的轨迹或轨迹方程是近几年高考命题的一个热点． 2.常以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体，有时会与向量交汇 考查．考查定义法、相关点法、参数法等求轨迹的方法． 3.题型大多数以解答题形式出现，属中高档题.
第四页，编辑于星期五：二十点 十四分。
第十一页，编辑于星期五：二十点 十四分。
解析 由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)，则 P 为(－2－ x,4－y)，代入 2x－y＋3＝0 得 2x－y＋5＝0.
答案 D
第十二页，编辑于星期五：二十点 十四分。
4．F1、F2 为椭圆x42＋y32＝1 的左右两焦点，A 为椭圆上任一点，