双曲线离心率专题

双曲线离心率专题
一．选择题（共40小题）
1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）
A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）
A．B．C．D．
3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）
A．2B．C．2D．
4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）
A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．
5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）
A．B．C．D．
6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）
A．B．C．D．
7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）
A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）
8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）
A．B．C．2D．
10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）
A．或B．2或C．2或D．或
11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）
A．B．2C．D．3
12．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）
A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]
13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）
A．B．C．D．
14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）
A．B．C．D．
16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．
17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．5
18．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．
19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）
A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+1
22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）
A．B．C．2D．
23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）
A．B．C．2D．
25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2D．
26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线
右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．
27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）
A．B．C．D．
30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）
A．B．C．2D．或2
31．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．
34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．2D．
35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）
A．B．C．D．
36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或
38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）
A．B．2C．D．
39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）
A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2 40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共40小题）
1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）
A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：设F1（﹣c，0），双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y=（x+c），
联立渐近线方程y=﹣x，可得交点P（﹣c，），
点P在以线段F1F2为直径的圆，可得
（﹣c）2+（）2＜c2，
即有＜3，
可得双曲线的离心率e==＜2，但e＞1，
即1＜e＜2．
故选：A．
2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），
点P（m，n）是C上异于A，B的一点，
可得﹣=1，即有=，
设k1=tanα=，k2=tanβ=，
k1k2=tanαtanβ===，
若=﹣，则==﹣，
解得tanαtanβ=5，
即b2=5a2，
可得双曲线的离心率为e===．
故选：D．
3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）
A．2B．C．2D．
【解答】解：如图，可设|AF|=m，|OF|=c，F'为双曲线的左焦点，
连接AF'，BF'，
可得四边形AFBF'为矩形，
在直角三角形ABF中，∠ABF=，
即有|BF|=m，|AF'|=m，
2c=2m，2a=m﹣m，
则双曲线的离心率e===+1．
故选：B．
4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）
A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．
【解答】解：设P（m，n），可得m2+n2≥a2，
由•=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2=﹣c2，
可得m2+n2=c2，
则c2≥a2，
即有e=≥，
故选：C．
5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）
A．B．C．D．
【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，
焦点坐标为（0，c），
由，解得x=±，
以MN为直径的圆的方程为x2+（y+c）2=，
以MN为直径的圆过F2，
可得4c2=，
即有4c2a2=（c2﹣a2）2，
即为a4﹣6a2c2+c4=0，
解得a2=（3﹣2）c2，
椭圆的离心率的平方为
=1﹣（3﹣2）=2﹣2．
故选：C．
6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，
由题意可得2m=3n，①
由双曲线的定义可得m﹣n=2a，②
由勾股定理可得m2+n2=4（a2+b2），③
联立①②③消去m，n，可得：
36a2+16a2=4a2+4b2，即b2=12a2，
则e====，
故选：D．
7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）
A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）
【解答】解：根据双曲线的对称性，得：
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，
∵|AF|==，|EF|=a+c，
∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0，
两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，
∵双曲线的离心率e＞1，
∴该双曲线的离心率e的取值围是（1，2），
故选：A．
8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
【解答】解：∵双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），
∴渐近线方程为y=±x，
因此，点（2，﹣1）在直线y=﹣x上，可得a=4，
∴b=2，可得c=2，
由此可得双曲线的离心率e==．
故选：C．
9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心
率为（）
A．B．C．2D．
【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），
∵MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，
∴M的横坐标为﹣，N的横坐标为，
把x=﹣代入﹣=1得：y=±
=±b，
∴M（﹣，b），
∵=，即Q为MF2的中点，∴Q（，），
把Q坐标代入双曲线方程得：﹣=1，即﹣+=1，
解得e=．
故选：B．
10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）
A．或B．2或C．2或D．或
【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）
和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，
可得双曲线C1的一条渐近线倾斜角为30°或60°，
即有=或，
e===或2．
故选：B．
11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）
A．B．2C．D．3
【解答】解：F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点（，0），
点F到C的一条渐近线x+my=0的距离为3，
可得：=3，解得m=，
则a=，c=2，
双曲线的离心率为：e==2．
故选：B．
12．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）
A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]
【解答】解：∵F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2的左右焦点，
△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，
∴|MF2|=|F1F2|=2c，
∵椭圆C1的离心率e1∈[，]，
∴当e1=时，=，解得c=，
双曲线C2的离心率e2==2，
当e1=时，=，解得c=，
双曲线C2的离心率e2==5，
∴双曲线C2的离心率取值围是[2，5]．
故选：C．
13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，
可得4c2=5a2
e=．
故选：A．
14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设B（0，b），则|A1A2|=2a，
∵三角形A1A2B的面积为b2，
∴S=×2a•b=ab=b2，
即a=b，
则离心率e====，
故选：A．
15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），
∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，
∴=
∴e==2+．
故选：B．
16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．
【解答】解：∵双曲线不妨设为：（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，∴a=b，
∴c==2b，
∴e===．
故选：D．
17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．5
【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（﹣2，），P4（2，）中在双曲线上，
则P1（2，1），一定不在双曲线上，则P2（1，0）在双曲线上，
∴a=1，，
解得b2=，
∴c2=a2+b2=，
∴c=，
∴e==，
故选：A．
18．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．
【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，
所以其中一条渐近线方程为y=x，
又因为渐近线与抛物线y=x2+相切，
所以，消去y得x=x2+，
即x2﹣x+=0，
所以△=﹣4×1×=0，
解得b=a，
又c2=a2+b2，所以c2=a2，
所以离心率e==．
故选：A．
19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双
曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）
A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）
【解答】解：设双曲线方程为，a＞0，b＞0
则直线AB方程为：x=﹣c，
因此，设A（﹣c，m），B（﹣c，﹣m），
∴，解之得m=，得|AF|=，
∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆外部，
∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，
将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，
两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，解之得1＜e＜2，
故选：D．
20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c）
由，解得x=±，则MN=，
∵MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，
∴=tan60°=，
∴2ac=b2=（c2﹣a2），
即2e=（e2﹣1），
解得e=，
∴椭圆的离心率为==，
故选：B．
21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+1
【解答】解：设△PAF2的切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，
则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|，|QF2|=|MF2|，
由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|
=+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|QF2|
=+|AQ|﹣|QF2|=﹣|AQ|
=﹣==2a，
化为9a2=2c2﹣a2，
即5a2=c2，
离心率e==．
故选：B．
22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）
A．B．C．2D．
【解答】解：由已知中点P是双曲线E右支上的一点，线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，
可得P点横坐标为c，
则P为通径的一个端点，
则，
即b=2a，
则c==，
故双曲线E的离心率e=，
故选：D．
23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，
即=，
∴b=a，
∴c==a，
∴双曲线的离心率为e===．
故选：D．
24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）
A．B．C．2D．
【解答】解：设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．
若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，
设|MF2|=t，|MF1|=2t，（t＞0）
双曲线中2a=|MF1|﹣|MF2|=t，2c==t=2a，
∴离心率为，
故选：D．
25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2D．
【解答】解：直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，可得=a，
化简可得c=2a，
即e==2，
故选：C．
26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线
右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．
【解答】解：设|MF2|=|F1F2|=2c，并且sin∠F1MF2=，
可得cos∠F1MF2==，
由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=2a+2c，
在△MF1F2中，可得cos∠F1MF2=
==，
即4c=5a，即e==．
故选：B．
27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，
F1（﹣c，0），F2（c，0）为其左右焦点，
可得直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，
k2=﹣2，k1=，
即为=，=﹣2，
解得m=c，n=c，
则﹣=1，
由b2=c2﹣a2，e=可得
9e2﹣=25，
化为9e4﹣50e2+25=0，
即为e2=5（＜1舍去），
可得e=．
故选：A．
28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）
【解答】解：双曲线的焦点（0，±），
双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，
可得：2﹣4＜0，解得b2＜3，因为a=1，所以c∈（1，2）．
∴双曲线C的离心率的取值围为：（1，2）．
故选：D．
29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，双曲线中，a=1，c=，m＜﹣2，其离心率e==，
故选：A．
30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）
A．B．C．2D．或2
【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，
∴=tan60°=，
∴e===2．
故选：C．
31．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），
∠AOM=∠MON，可得∠AOM=∠MON=60°，
所以M（2a，），
所以，∴b=，e===，
故选：C．
32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，
过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点，
不妨M在第一象限，若△MNF1是直角三角形，
可得M（c，2c），可得，
即，e＞1，解得e2=3+2，
可得e=1+．
故选：B．
33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．
【解答】解：双曲线﹣=1，经过点M（2，2），
可得﹣=1，解得m=4，
则双曲线的a=，b=2，c=，
则其离心率e==，
故选：A．
34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．2D．
【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，
∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，
∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，
在△F1PF2中，由余弦定理可得：
（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，
化简得c2=3a2，
∴该双曲线的离心率为．
故选：B．
35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，
可得：，即b=2a，
所以e===．
故选：D．
36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，
设|PF2|=m，|QF2|=n，|F1F2|=2c，
由双曲线的定义可得|PF1|=2a+m，|QF1|=2a+n，
且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，
可得2|PQ|=|PF1|+|QF2|，
即2（m+n）=2a+m+n，即|PQ|=2a，
由PQ⊥PF1，在直角△PF1Q中，|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2，
即（4a﹣m）2=（2a+m）2+4a2，
解得m=a，|PF1|=2a+m=a，
由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
即a2+a2=4c2，
化为e2==，
即e=，
故选：A．
37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，
∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）
可得双曲线的渐近线方程是y=x
结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴2b=a，可得c==a
因此，此双曲线的离心率e==．
当双曲线的焦点在y轴上，
∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）
可得双曲线的渐近线方程是y=x
结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴b=2a，可得c==a
因此，此双曲线的离心率e==．
故选：C．
38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）
A．B．2C．D．
【解答】解：双曲线的一个焦点
为F（0，﹣c），
渐近线方程为y=±x，
若，可得
BF=2FA，
由F到渐近线y=x的距离FA==b，BF=2b，
在直角三角形OAF中，OF=c，
可得OA==a，
在直角三角形OAB中，可得OB=，
由OF为∠AOB的平分线可得
=，即=，
化为a2=3b2，由b2=c2﹣a2，
可得3c2=4a2，
则e==．
故选：C．
39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）
A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2
【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即3|PF2|﹣|PF2|=2a．
∴a=|PF2|，|PF1|=3a
在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，
2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，
∴＜2，
当p为双曲线顶点时，=2
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤2
故选：C．
40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．
【解答】解：设M（x0，y0），x0＞0，y0＞0
．∵四边形OFMN为平行四边形，
∴，
∵四边形OFMN的面积为bc，
∴|y0|c=bc，即|y0|=b，
∴，代入双曲线方程得，
∵e＞1，
∴．
故选：B．。