山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题15角含半角模型

专题 15角含半角模型
破题策略
1．等腰直角三角形角含半角
如图，在△ ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝90°，点 D， E在 BC上且∠ DAE＝45°
（1）△BAE∽△ADE∽△CDA
22 2
（2）BD＋CE＝DE．
A
45°
C
B
D E
证明（ 1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，
因此△ BAE∽△ ADE∽△ CD A．
（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°获得△ACF，连接EF．A
45° F
C
B
D E
则∠ EAF＝∠ EAD＝45°， AF＝AD，
因此△ ADE∽△ FAE （SAS ）．
因此 DE＝EF．
而 CF＝ BD，∠ FCE＝∠ FCA＋∠ ACE＝90°，
因此 BD＋CE＝ CF＋ CE＝EF＝ DE．
方法二（翻折法）：如图2，作点B对于AD 的对称点F，连接AF， DF，EF．
A
45°
C
B
D E
F
由于∠ BAD＋∠ EAC＝∠ DAF＋∠ EAF，
又由于∠ BAD＝∠ DAF，
则∠ FAE＝∠ CAE， AF＝ AB＝ AC，
因此△ FAE∽△ CAE（SAS）．
因此 EF＝E C．
而 DF ＝ BD ，
∠ DFE ＝∠ AFD ＋
∠ AFE ＝90°，
2
2
2
2
2
因此 BD ＋ EC ＝ FD ＋ EF ＝ DE ．
【拓展】 ①如图， 在△ ABC 中，AB ＝ AC ，∠ BAC ＝90°， 点 2
2
2
延伸线上，且∠ DAE ＝45°，则 BD ＋ CE ＝ DE ．
D 在 BC 上，点 E
在 BC
的 A
B
D C
E
能够经过旋转、翻折的方法来证明，如图：
F
A
A
F
B
D
C
E
B
D
C
E
②将等腰直角三角形变为随意的等腰三角形：如图，在△
ABC 中， AB ＝ AC ，
点
D ，
E 在
BC 上，且∠ DAE
＝
1
∠ BAC ，则以
BD ，DE ，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为
180°
2
－∠ BA C ．
A
B
D E
C
能够经过旋转、翻折的方法将
BD ， DE ， EC 转移到一个三角形中，如图：
A
A
F
B
D
E
C
B
D
E
C
F
2．正方形角含半角
如图 1，在正方形ABCD中，点E，F 分别在边BC， CD上，∠ EAF＝45°，连接 EF，则：
B A B AB
H A
45°45°
E E
E
G
C F
D C F D C
F
D
图1 图 2 图 3
（1）EF＝BE＋DF;
（2）如图 2，过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AD;
（3）如图 3，连接BD交AE于点H，连接FH．则FH⊥AE．
（1）如图 4，将△ABE绕点A逆时针旋转 90°获得△ADI证明．
B A
E
C F
D I
图 4
则∠ IAF＝∠ EAF＝45°， AI ＝ AE，
因此△ AEF∽△ AIF（ SAS），
因此 EF＝ IF ＝ DI＋ DF＝ BE＋ DF．
（2）由于△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，
因此 AG＝ A D．
（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H四点共
圆，进而∠ AHF＝180°－∠ ADF＝90°，
即 FH⊥ AE．
【拓展】①如图，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别在边 CB， DC 的延伸线上，∠ EAF＝45°，连接EF，则 EF＝ DF－ BE．
E
A
B
F C D
能够经过旋转的方法来证明. 如图:
E
A
B
F
C G D
②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形
ABCD 中， AB =AD ，∠ BAD +∠ C =180 °，点 E ，
F 分别在 BC 、 CD 上，∠ EAF = 1
∠ BAD ，连接 EF ，则 EF=BE+DF.
2
B
A
E
C
F
D
能够经过旋转的方法来证明
. 如图:
B
A
E
C
F
D
G
例题解说
例1 如图 1，点 E 、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上，∠ EAF ＝ 45° .
（ 1） 试判断 、 FD 之间的数目关系 .
BE 、EF
（ 2） 如图 2，在四边形 ABCD 中，∠ BAD ≠ 90°， AB ＝ AD ．∠ B ＋∠ D ＝ 180°，点 E 、
F 分别在
、 上，则当∠
EAF 与∠
BAD 知足关系时，仍
BC CD
有 EF ＝ BE ＋ FD .
（ 3）如图 3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形
ABCD .已知 AB ＝ AD
＝ 80m ，∠ B ＝ 60°，∠ ADC ＝ 120°，∠ BAD ＝ 150°，道路 BC ，CD 上分别有景点E ， F ，且 AE ⊥ AD ． DF ＝ 40（ 3 －1） m ．现要在 E 、F 之间修一条笔挺的道路，求
这条道路 EF 的长．（ 结果取整数，参照数据： 2 ＝ 1.41 ， 3 ＝ 1.73 ）
A D
F
A
D
D
A
F
F
B E
C B E
C
B
E
C
图 1
图 2
图3
解： （ 1）由“正方形内含半角 模型”可得 EF ＝ BE ＋ FD ． （2）∠ BAD ＝ 2∠ EAF ，原因以下：
如图 4，延伸 CD 至点 G ，使得 DG ＝ BE ．连接 AG. 易证△ ABE ≌△ ADG （SAS ） . 因此 AE ＝ AG ，
即 EF ＝ BE ＋ DF ＝ DG ＋ DF ＝GF .
进而证得△ AEF ≌△ AGF （ SSS ）．
因此∠ EAF ＝ ∠ GAF ＝ 1 ∠ EAG ＝ 1
∠ BAD .
2
2
A
G
H
G
D
F
D
F
A
B
E
C
图 4
B
C
E
图 5
（ 3）如图 5，将△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 1 50 °至△ ADG ．连接
AF ．由题意可得∠ BAE ＝ 60°
因此△ ABE 和△ ADG 均为等腰直角三角形 .
过点 A 作 AH ⊥ DG 于点 H ．则
DH ＝ 1
AD ＝ 40m ， AH ＝
3
AD ＝ 40
3 m.
2 2
而 DF ＝ 40（ 3 － 1） m.
因此∠ EAF ＝∠ GAF ＝45° . 可得△ EAF ≌△ GAF （SAS ）．
因此 EF ＝ GF ＝80m+40（ 3 － l ） m ≈109. 2m.
例 2 如图，正方形
ABCD 的边长为 a ，BM 、 DN 分别均分正方形的两个外角，且知足∠ MAN
＝ 45°．连接 MC 、 NC 、 MN ．
（ 1）与△ ABM 相像的三角形是， BM DN ＝（用含有 a 的代数式表示） ；
（ 2）求∠ MCN 的度数；
（ 3）请你猜想线段BM、DN和 MN之间的等量关系，并证明你的结论. A
D
B N
C
M
解：（ 1）△NDA，a2 .
（ 2）由（ 1）可得BM AB
，AD ND
因此BM DC．
BC DN
易证∠ CBM＝∠ NDC＝45°，
因此△ BCM∽△ DNC．
则∠ BCM＝∠ DNC，因此
∠MCN =360°一∠BCD一∠BCM一∠DCN
＝270°－（∠DNC+∠DCN）
＝270°－（ 180°－∠DNC）
＝135°．
（3）BM2DN 2MN 2，证明以下：
如图，将△ ADN绕点 A顺时针旋转90°，获得△ABE，连接EM.
易得 AE＝AN.∠ MAE＝∠ MAN＝45°，∠ EBM＝90°，
因此△ A ME≌△ AMN.（SAS）.
则 ME＝ MN．
在 Rt △BME中，BM2 BE2 EM 2
因此BM2 DN 2 EM 2 .
A
D
B
C
N
E
M
倒 3 如图，在四边形ABCD中， AD∥ BC，∠ BCD＝90°， AB＝BC＋ AD，∠ DAC＝45°， E 为上一点，且∠＝ 45°. 若＝4，求△的面积 .
CD BAE CD ABE
B C
E
A D
图1
解：如图1．过点A作CB的垂线，交CB的延伸线于点F.由∠ DAC=45°，∠ ADC＝90°，可得 AD＝ CD.
因此四边形ADCF为正方形.
进而 AF＝ FC＝4．
令 BC＝ m，则 AB＝4＋ m， BF＝4－ m．
2 2
在 Rt △AFB中，有 16＋（ 4 －m）一（ 4＋m）
如图 2．将△ADE绕点A逆时针旋转90°至△AFG.
易证△ AGH≌△ AEB．
令 DE＝ n，则 CE＝4－ n， BE＝ BG＝3＋n
在 Rt △BCE中，
有1+（ 4－n）2＝（ 3＋n）2，解得n＝4 .
因此 BG＝25
.
7 7 1
AF BG 50
进而S
ABE S
ABG .
2 7
G F B C
E
A D
图 2
进阶训练
1.如图，等边△ ABC的边长为1，D是△ ABC外一点且∠ BDC＝120°，BD＝ CD，∠ MDN＝60°，求△AMN的周长．
A
N
M B
C
D
△ AMN 的周长是 2
【提示】如图，延伸
AC 至点 ，使得
CE ＝ ，连接
DE
. 先证△≌△ ，再证△
MDN
E
BM
BMD
CED
≌△ EDN 即可 .
A
N
M
B
C
D
E
2．如图， 在正方形 ABCD 中，连接 BD ，E 、F 是边 BC ，CD 上的点， △CEF 的周长是正方形 ABCD 周长的一半， AE 、 AF 分别与 BD 交于 M 、 N ，试判断线段 BM 、 DN 和 MN 之间的数目关系，并 证明．
A
D
N
F
M
BE
C
解： 2＋
2
＝
2
．
BM DN MN
【提示 】由△ CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半，想到“正方形角含半角”，进而旋转构
造协助线解决问题（如图
1），证△ AEF ≌△ AGF ，得∠ MAN ＝ 1
∠ BAD ＝ 4，而后，再由“等腰
2
直角三角形含半角”（如图
2）即可证得．
G
H G
A
D
A
D
N
N
F
F
M
M
B
E C
B
E
C
图1
图2
3．如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 在边 AB 上， DE ⊥ BC 于点 E ，且 DE ＝ BC ，点 F 在边 AC 上，连接 BF 交 DE 于点 G ，若∠ DBF ＝45°， DG ＝
27
，BE ＝ 3，求 CF 的长．
5
A
D
G
B
E
解： CF ＝
12
．
5
【提示 】如图，将 DE 向左平移至 BH ，连接 HD 并延伸交 AC 于点 I ，则四边形 HBCI 为正方形． 将△ BHD 绕点 B 顺时针旋转 90°至△ BCJ ，则点 J 在 AC 的延伸线上． 连
结 DF ，由“正方形角含半角模型”可得 DF ＝ DH ＋ CF ，∠ DFB ＝∠ JFB ＝∠ DGF ，所
以 DF ＝ DG ，进而求得
CF 的长．
F C
A
H
D
I
G
F
C
B
E
J。