初中数学竞赛辅导讲义及习题解答_第3讲_充满活力的韦达定理

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答
充满活力的韦达定理学历训练
1、(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式14
2121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 。

(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 。

2、已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 。

3、CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 。

4、设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( ) A ．1，-3 B ．1，3 C ．-1，-3 D ．-1，3
5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )
A ．23
B ．2
5 C ．5 D ．2 6、方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则
)1)(1(21++x x p 的值是( ) A ．1 B ．-l C ．21- D ．2
1 7、若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?
8、已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x 。

(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值。

9、已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 。

10、已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 。

11、△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 。

12、两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b
a a
b +的值是( )
A ．9413
B ．1949413
C ．999413
D ．97
9413 13、设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )
A ．0232=---m x x
B ．0232=--+m x x
C ．02412=---x m x
D ．02412=+--x m x
14、如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是
( )
A ．0≤m ≤1
B ．m ≥43
C ．14
3≤<m D ．43≤m ≤1 15、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根。

(1)求rn 的值；
（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的3
1，请说明理由．
16、设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x 。

(1) 若62221=+x x ，求m 的值。

（2）求2
2
212111x mx x mx -+-的最大值。

17、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程
012)1(24
122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值。

18、设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值。

参考答案。