气体动力学基础2 (9)

v v v v v a lim lim t x y z t t 0 t t 0 t x y z
v v x v y v z v a lim lim t 0 t t 0 t x t y t z t
非定常流动
判断是定常流动or非定常流动？
思考
既然定常流动速度u与时间t无关
u x 0 t u x u x ( x, y , z ) u y u y ( x, y, z ) 因此 u y 0 t u z u z ( x, y , z ) u z 0 t 那么 ax ? 0 ay ? 0 az ? 0
p p( x, y, z )
( x, y, z)
所有物理参数的局部导数等于零。
=0 t
2、不稳定流动
流动参数随时间变化的流动。 例：有一速度表达式
cx ux 2 x y2 cy uy 2 x y2 uz 0
定常流动
判断是定常流动or非定常流动？
ux x t uy y t uz 0
初始时刻 t t0 时质点的坐标 a, b, c ，积分得 该质点的迹线方程。
2、流线 —— 处处与速度矢量相切的空间 曲线。
v2 v1 v3
v4
沿流线取任意微元矢量ds，
设
v v ( x, y, z, t ) 点的微元弧长，
ds＝dxi dyj dzk 为流线上A
V0
V1 M1 M0
v1 v0 a t v1 v0 v a lim lim t 0 t 0 t t
v v1 v0
v v1 v0
v1 x x, y y, z z, t t v0 x, y, z, t
加速度是流速场的全导数。
全加速度，随体导数，质点导数 v v ( x, y, z, t )
dv v v dx v dy v dz a dt t x dt y dt z dt v v v v vx vy vz t x y z
3．流管, 流束和总流、流量、有效断面和平均流速 流管 --- 由流线组成的管状曲面。 流束 --- 流管内的流体。 总流 ------多个流束的集合。 例: 管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流。 过流断面,流量,断面平均流速
4．有效断面、流量和平均流速 有效流断面---与流束或总流流线成正交的断面。 dA, A 流量---单位时间流经有效断面的流体量。 体积流量---单位时间流经有效断面的流体体积量。
vy y t
求 t = 0 时，过点 M (-1，-1) 的流线。
得
y x
积分后得到：
ln x t ln y t ln c
( x t )( y t ) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
x x+△ x
x
0
质点导数
——质点物理参数对时间的变化率。 物理参数的质点导数=局部导数+对流导数
d ux u y uz dt t x y z
加速度是速度的质点导数。
物理参数的质点导数=局部导数+对流导数
例：
d ux uy uz dt t x y z dT T T T T ux uy uz dt t x y z
第三章
流体运动学
第一节 描述流动的两种方法 第二节 流动的分类 第三节 流体运动学的基本概念 第四节 连续性方程 第五节 流体微团运动分析
3-2 流动的分类
1、稳定流动
流动参数不随时间变化的流动。
ux ux ( x, y, z) uy uy ( x, y, z) uz uz ( x, y, z)
质量流量---单位时间流经有效断面的流体质量。
体积流量与质量流量的关系 对于微小流束： dQ udA
Qm Q
总流为微小流束的集合： Q

A
udA
断面平均流速
物理意义：假想有效断面上各点的速度相等，
而按平均流速流过的流量与实际上以不同的速
动量积分方程和动量矩积分方程－ 根据动量定理
和动量矩定理导出.
这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.

流体质点：是从作为连续介质的流体中取出的宏观尺
度非常小而微观尺度又足够大的任意一个物理实体。
它具有5层含义：
宏观尺度非常小：几何尺寸可不计，视为一几何点; 微观尺度足够大：>>分子的平均自由行程; 包含足够多分子的物理实体，也称“微团”或“控
x vxt
y vy t
z vz t
v v v v a vx v y vz t x y z i j k x y z
v a v v t
欧拉法中的加速度 三个分量
dux u x u x u x u x ax ＝ ux uy uz dt t x y z du y u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z duz uz u z u z u z az ux uy uz dt t x y z
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。 t --- 时间变量。
质点位置是 t 的函数，对 t 求导可得速度和加速度：
x u t y 速度: v t z w t
u 2 x ax t t 2 v 2 y 2 ay t t w 2 z 2 az t t
3-1 描述流体运动的方法
1．拉格朗日(Lagrange)法
拉格朗日法 从流体质点的运动着手,描述每一个
流体质点自始至终的运动过程.如果知道了所有流
体质点的运动规律,那么整个流体的运动规律也就 清楚了. 是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
一元流动 —流动参数只与一个坐标变量有关。
x
例
vx vx ( x, t )
二元流动—流动参数与两个坐标变量有关。 （平面流动和轴对称流动）
x
轴对称流动
vx vx ( x, r, t )
二元流动—流动参数与两个坐标变量有关。 （平面流动和轴对称流动）
y
平面流动
o x
vx vx ( x, y, t )
制体”;
形状可任意划分； 具有一定的物理量，如速度、加速度、压力和密度
等.

空间点: 是一个几何点，表示空间位置。
特点一：空间点是固定不动的，仅仅是一个几何位
置;
特点二：同一空间点，不同时刻被不同的流体质点
所占据或经过。
第三章
流体运动学
第一节 描述流动的两种方法 第二节 流动的分类 第三节 流体运动学的基本概念 第四节 连续性方程 第五节 流体微团运动分析
局部加速度
对流加速度
质点的加速度包括两个部分：
（1）局部加速度（时变加速度,当地地加速度） — 特定空间点处速度对时间的变化率； （2）对流加速度（位变加速度,迁移加速度） — 对应于质点空间位置改变所产生的速度变化。
以x方向为例：
u x x, t t u x, t ax lim t 0 t u x, t t u x, t u x x, t t u x, t t ＝ lim t 0 t t t u u x t x t u(x+,t+△t) u(x+△ x,t+△t) u u t+△t u t x t u(x,t)
例：
cx ux 2 x y2 cy uy 2 x y2 uz 0
三元流动(空间流动) -- 流动参数与三个坐标变量有关。
第三章
流体运动学
第一节 描述流动的两种方法 第二节 流动的分类 第三节 流体运动学的基本概念 第四节 连续性方程 第五节 流体微团运动分析
3-3 流体运动学的基本概念
第三章
流体运动学
第一节 描述流动的两种方法 第二节 流动的分类 第三节 流体运动学的基本概念 第四节 连续性方程 第五节 流体微团运动分析
第三章
流体运动学
1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 四个重要方程：
连续性方程 － 根据质量守恒定律导出 运动方程－ 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程－ 根据能量守恒定律导出
加速度:
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也 无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况 外，在工程流体力学中较少采用拉格朗日法。
2．欧拉(Euler)法
欧拉法以以考察不同流体质点通过固定空间 点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况 即着眼于各种运动要素的场分布.流场法,是空间-时间描述法。
v v v v v0 t x y z v0 t x y z v v v v v t x y z t x y z
v v v v v a lim lim t x y z t t 0 t t 0 t x y z
1、迹线
脉线（染色线）
相续通过流场同一空间点的流体
质点所连成的曲线。 迹线 —— 流体质点的运动轨迹线。
迹线 —— 流体质点的运动轨迹线。

Lagrange法：迹线方程
dx ＝u x ( x, y, z, t ) dt dy ＝u y ( x, y, z, t ) dt dz ＝u z ( x, y, z, t ) dt
加速度为速度对时间的偏导，那么加速度为零吗？
答案：不一定为零。因为：
ux 0 t
u y t
0
uz 0 t
是局部加速度啊！！
对定常流动来说，局部加速度为0，而对流加速度是
否为0，我们并不知道，所以不一定为0. 注意：
=0 t
d 不一定： =0 dt
3．一元、二元和三元流动
vFra Baidu bibliotek
为流体质点在A点的流速，流 速矢量V与微元弧长相平行，
A
ds
所以：
ds v 0
dx dy dz ＝ ＝ vx v y vz
流线微分方程
迹线与流线的区别

流线的性质：

对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重
合；对于定常流场，流线与迹线重合。 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分 布。

迹线与流线的区别

迹线和流线的区别：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观 点对应；

流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler 观点对应。
例 已知平面流动 vx x t 解 由式
dx dy vx v y
dx dy xt yt
vx vx ( x, y, z, t ) vy vy ( x, y, z, t )
p p( x, y, z, t )
vz vz ( x, y, z, t )
( x, y, z, t )
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
例：在流体中任取一点，流体质点在某一 时间点t，在M0点处，速度为V0（x,y,z,t） 到了下一时刻质点运动到M1点处，速度为 V1（x+△x，y +△y，z +△z，t +△t）。