6_2 配方法化二次型为标准形
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《线性代数》 返回
②将x1, x2,…, xn正交化标准 化为h1, h2,…, hn，令 P=(h1, h2,…, hn), 仍有 P -1AP= 正交必无关 , 即有 P TAP= 因为PT=P -1.
下页 结束
返回 下页 下页 结束
作业：
P128页 习题四 8， 9
《线性代数》
返回
下页
结束
现将X=PY代入二次型，得
f ( X ) X T AX
X PY
( PY )T A( PY ) Y T ( PT AP)Y ,
d1 0 0 y1 0 d 0 y2 2 T yn Y Y , 0 0 d y n n
2
(1)就是相应的满秩线性变换，其中的 满秩方阵 P 为
《线性代数》 返回 下页 下页
P 0 0
1 0
结束
2 3 1
例2 用配方法化下列二次型为标准型．
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x2 x3
解：f 中不含变量的平方项，但f 中含乘积项x1x2，为使f 出现平 方项可作下列变换：
上式右端除第一外，已不再含x1 ，继续对x２配方得： 4 2 y1 x1 x2 x3 f 2( x1 x2 x3 ) 2 3( x2 x2 x3 ) 3 x3 3 2 2 2 5 2 令 y2 x2 x3 2 3 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3 x3 y3
第 6章
二次型
一、二次型与二次型的化简 *二、配方法化二次型为标准形 *三、合同变换法化二次型为标准形 四、正交变换化二次型为标准形 五、惯性定律与正定二次型
《线性代数》
返回
下页
结束
第 2节
配方法化二次型为标准形
例1 用配方法化下列二次型为标准型．
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
《线性代数》 返回 下页 下页 结束
例1 用配方法化下列二次型为标准型．
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
2 2 5 2 f 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3 1 y1 x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 令 3 2 或 （１） 2 y2 x2 x3 3 x 2 y 2 y3 3 x3 y3 y3 x3 则f 的标准型为 1 5 2 2 2 1 1 f 2 y1 3 y2 y3 3 3
f y y y1 y3 y2 y3
1 1 2 2 2 f ( y1 y3 ) y2 y3 y2 y3 2 4 1 1 2 ( y1 y3 ) ( y2 y3 ) 2 2 2
返回 下页 下页 结束
《线性代数》
例2 用配方 ) x1 x2 x2 x3
x1 y1 y2 x2 y1 y2 x y3 3
把f 变成了 再配方得
2 1
或
2 2
x1 1 1 0 y1 x2 1 1 0 y2 x 0 0 1 y 3 3
解 由于 f 中含变量x1的平方项和含x1的交叉乘积项，故把含x1 的项归并，配方得： 2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2( x12 2x1 ( x2 x3 )) 5x2 5x3 8x2 x3
2 2 2( x1 x2 x3 )2 2( x2 x3 )2 5x2 5x3 8x2 x3 2 2 2( x1 x2 x3 )2 3x2 3x3 4x2 x3
上式右端是关于变量y1, y2,…, yn的二次型. 如果其为标准形为
2 d1 y12 d2 y2 2 dn yn y1 y2
比较上式两端得 PT AP 那么，这个P 存在吗？ 分析：①若A有n个线性无关 的特征向量x1, x2,…, xn，令 Q=(x1, x2,…, xn), 则有 Q-1AQ=；
1 2 z1 1 z2 2 1 z3
1 0 x1 1 1 0 x2 1 1 0 0 1 x 0 0 1 3 0 0
《线性代数》
相应的满秩方阵为 1 2 z1 1 1 1 z1 1 1 1 1 1 1 0 z 2 1 1 0 z 2 2 0 0 1 1 z3 0 0 1 z3
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x2 x3
由于
1 0 x1 1 1 0 y1 y1 x2 1 1 0 y2 y2 0 1 x 0 0 1 y y 3 3 3 0 0 所以化f 为标准型的满秩线性变换为
或
1 0 y1 y2 0 1 y 3 0 0
1 2 z1 1 z2 2 1 z3
则得f 的标准型
2 f z12 z2
《线性代数》
返回
下页 下页
结束
例2 用配方法化下列二次型为标准型．
1 1 2 f ( y1 y3 ) ( y2 y3 ) 2 2 2
1 z1 y1 2 y3 令 1 y 2 y3 z2 2 y3 z3 1 y z z3 1 1 2 1 或 z 2 z3 y2 2 z3 y3
②将x1, x2,…, xn正交化标准 化为h1, h2,…, hn，令 P=(h1, h2,…, hn), 仍有 P -1AP= 正交必无关 , 即有 P TAP= 因为PT=P -1.
下页 结束
返回 下页 下页 结束
作业：
P128页 习题四 8， 9
《线性代数》
返回
下页
结束
现将X=PY代入二次型，得
f ( X ) X T AX
X PY
( PY )T A( PY ) Y T ( PT AP)Y ,
d1 0 0 y1 0 d 0 y2 2 T yn Y Y , 0 0 d y n n
2
(1)就是相应的满秩线性变换，其中的 满秩方阵 P 为
《线性代数》 返回 下页 下页
P 0 0
1 0
结束
2 3 1
例2 用配方法化下列二次型为标准型．
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x2 x3
解：f 中不含变量的平方项，但f 中含乘积项x1x2，为使f 出现平 方项可作下列变换：
上式右端除第一外，已不再含x1 ，继续对x２配方得： 4 2 y1 x1 x2 x3 f 2( x1 x2 x3 ) 2 3( x2 x2 x3 ) 3 x3 3 2 2 2 5 2 令 y2 x2 x3 2 3 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3 x3 y3
第 6章
二次型
一、二次型与二次型的化简 *二、配方法化二次型为标准形 *三、合同变换法化二次型为标准形 四、正交变换化二次型为标准形 五、惯性定律与正定二次型
《线性代数》
返回
下页
结束
第 2节
配方法化二次型为标准形
例1 用配方法化下列二次型为标准型．
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
《线性代数》 返回 下页 下页 结束
例1 用配方法化下列二次型为标准型．
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
2 2 5 2 f 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3 1 y1 x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 令 3 2 或 （１） 2 y2 x2 x3 3 x 2 y 2 y3 3 x3 y3 y3 x3 则f 的标准型为 1 5 2 2 2 1 1 f 2 y1 3 y2 y3 3 3
f y y y1 y3 y2 y3
1 1 2 2 2 f ( y1 y3 ) y2 y3 y2 y3 2 4 1 1 2 ( y1 y3 ) ( y2 y3 ) 2 2 2
返回 下页 下页 结束
《线性代数》
例2 用配方 ) x1 x2 x2 x3
x1 y1 y2 x2 y1 y2 x y3 3
把f 变成了 再配方得
2 1
或
2 2
x1 1 1 0 y1 x2 1 1 0 y2 x 0 0 1 y 3 3
解 由于 f 中含变量x1的平方项和含x1的交叉乘积项，故把含x1 的项归并，配方得： 2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2( x12 2x1 ( x2 x3 )) 5x2 5x3 8x2 x3
2 2 2( x1 x2 x3 )2 2( x2 x3 )2 5x2 5x3 8x2 x3 2 2 2( x1 x2 x3 )2 3x2 3x3 4x2 x3
上式右端是关于变量y1, y2,…, yn的二次型. 如果其为标准形为
2 d1 y12 d2 y2 2 dn yn y1 y2
比较上式两端得 PT AP 那么，这个P 存在吗？ 分析：①若A有n个线性无关 的特征向量x1, x2,…, xn，令 Q=(x1, x2,…, xn), 则有 Q-1AQ=；
1 2 z1 1 z2 2 1 z3
1 0 x1 1 1 0 x2 1 1 0 0 1 x 0 0 1 3 0 0
《线性代数》
相应的满秩方阵为 1 2 z1 1 1 1 z1 1 1 1 1 1 1 0 z 2 1 1 0 z 2 2 0 0 1 1 z3 0 0 1 z3
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x2 x3
由于
1 0 x1 1 1 0 y1 y1 x2 1 1 0 y2 y2 0 1 x 0 0 1 y y 3 3 3 0 0 所以化f 为标准型的满秩线性变换为
或
1 0 y1 y2 0 1 y 3 0 0
1 2 z1 1 z2 2 1 z3
则得f 的标准型
2 f z12 z2
《线性代数》
返回
下页 下页
结束
例2 用配方法化下列二次型为标准型．
1 1 2 f ( y1 y3 ) ( y2 y3 ) 2 2 2
1 z1 y1 2 y3 令 1 y 2 y3 z2 2 y3 z3 1 y z z3 1 1 2 1 或 z 2 z3 y2 2 z3 y3