新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第四章导数的概念几何意义及运算pptx课件北师大版

重合,不合题意;当 x0=-1 时,点 P 为(-1,1),则切线方程为 y-1=x+1,即
x-y+2=0,与所给直线平行.故点 P 的坐标为(-1,1).
技巧点拨解决曲线切线问题的关键
利用导数几何意义求曲线过某一点的切线方程、已知直线与曲线相切求
P0=18,则
9 贝克时,即 P(t)=9,所以 18×2

30 =9,
-
t=30,故选 B.
-3
f(x)= e +2f'(1)·
x,所以
4-
f'(x)= e +2f'(1),所以
3
3
f'(1)=e+2f'(1),f'(1)=-e.
名师点析导数运算注意点
(1)函数在某一点处的瞬时变化率即为函数在该点处的导数值.
变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.
在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数,通常用符号f'(x0)表
f(x1 )-f(x0 )
(0 +Δ)-(0 )
示,记作 f'(x0)= lim
=
.
x
-x
Δ
1 → 0
Δ→0
1 0
为
.
(2)(2020全国Ⅰ,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的
方程为
.
答案 (1)5x-y+2=0
解析
(1)由
(2)y=2x
2-1
y=
,得
+2
y'=
5
(+2)
2 ,则在点(-1,-3)处的切线的斜率为
5,所以切线
方程为 y+3=5(x+1),即 5x-y+2=0.

30 得
-
(1)由 P(t)=P0·
2
3 2ln2
的瞬时变化率为,即
10
P(t)=18×2
即2

30
-
=
(2)因为

1
P'(t)=-30P0·
2 30 ln
P'(15)=-
2ln2
3 2ln2
·
P0=,解得
60
10

30 ,当该放射性同位素含量为
-
1

,所以-30=-1,解得
2
2.因为 t=15 时,该放射性同位素
考向2.求切点坐标及参数值
典例突破
例3.(1)(2021陕西咸阳高三月考)已知直线y=kx-1是曲线y=1+ln x的一条切
线,则实数k的值为(
A.e
B.e2
C.1
D.e-1
)
(2)(2021山东滨州高三期中)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线x-y2=0平行,则点P的坐标为
.
答案 (1)A
(2)(-1,1)
解析 (1)设切点为(x0,1+ln x0),由 y=1+ln x,得
线在切点处的切线方程为 y-1-ln
1
y'= ,则

x=x0 时
1
y'= ,则曲
0
1
x0= (x-x0),由已知可得,切线过定点
0
(0,-1),代入切线方程可得-2-ln x0=-1,解得
1
x0=e,则
1
k= =e.
术”,实施“以直代曲”的近似计算,用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了
圆周率π的精度较高的近似值,这是我国优秀的传统科学文化之一.借用“以
直代曲”的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线近似代替在
2

切点附近的曲线来近似计算.设函数f(x)=e ,则f'(x)=
处的切线方程为
.
,其在点(0,1)
微思考“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有何区别?
提示 “曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的,“曲线在
点P处的切线”时,点P是曲线上的点,且点P就是切点;而“曲线过点P的切线”
时,点P不一定在曲线上,点P不一定是切点.
3.基本初等函数的导数公式
函数
导数
y=ax(a>0,
3 22
该放射性同位素的瞬时变化率为 10
时衰变所需时间为(
A.20天 B.30天
C.45天
,则该放射性同位素含量为9贝克
)
D.60天
(2)(2021山东德州高三月考)已知函数f(x)的导函数为f'(x),f(x)= x-3x +2f'(1)·x,
则f'(1)=

.
3
(2)e
答案 (1)B
解析
4.导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) .
(2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
f(x)
(3)
'=
g(x)
,特别地,[cf(x)]'=
'()()-()'()
[()]2
(g(x)≠0).
cf'(x) .
5.复合函数的导数
(2)设切点坐标为(x0,y0).
对 y=ln x+x+1 求导可得
1
y'=+1(x>0).
1
由题意得, +1=2,解得 x0=1,故 y0=ln
0
y=2x.
1+1+1=2,切线方程为 y-2=2(x-1),即
方法总结利用导数几何意义求切线方程的方法
对点训练2(1)(2021山西太原高三三模)函数f(x)=x3-sin x的图象的切线的斜
y'x表示y对x的导数
常用结论
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周
期函数.
f(x) f'(x)-f(x)
2.[e f(x)]'=e [f(x)+f'(x)], x '=
.

x
x
x
3.曲线的切线与曲线不一定只有1个公共点.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到
了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数
y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作 y=f(φ(x)) ,其中u为中间变量.
(2)复合函数y=f(φ(x))对x的导数为y'x=[f(φ(x))]'= f'(u)φ'(x) ,其中u=φ(x).
.
通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量,记作Δx,函数值的变
化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作Δy.这样,函数的平均变化率就可以
表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即
Δ
Δ
=
(2 )-(1 )
.
2 -1
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数:对于f(x),当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均
0
(2)设点 P 为(x0,03 -2x0),因为 f'(x)=3x2-2,所以 f'(x0)=302 -2.因为曲线在点
P 处的切线平行于直线 x-y-2=0,所以 f'(x0)=1,即 302 -2=1,解得 x0=±1.
当 x0=1 时,点 P 为(1,-1),则切线方程为 y+1=x-1,即 x-y-2=0,与所给直线
答案 (1)C (2)2xe
2
y=1
解析 (1)对等式(x+1)2 020=a1+a2x+a3x2+…+a2 020x2 019+a2 021x2 020(x∈R)两
边分别求导可得:2 020(1+x)2 019=a2+2a3x+3a4x2+…+2 020a2 021x2 019,令x=1,
有2 020×22 019=a2+2a3+…+2 019a2 020+2 020a2 021,故选C.
(2)求函数的导数时,必须明确函数的构成及类型,必要时先对函数解析式
进行化简变形,复合函数求导时,应由外到内逐层求导,必要时可换元.
(3)当函数解析式中含有未知的导数值时,可先求导,然后通过赋值构建方
程组求解.
对点训练1(1)(2021河北张家口高三月考)令(x+1)2 020=a1+a2x+a3x2+…+
(2)设直线l与曲线的切点为(x0,y0),由于f'(x)=ln x+1,所以切线斜率为
k=ln x0+1,于是切线方程为y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-Βιβλιοθήκη 0),又因为直线l过点(0,-1),
所以-1-x0ln x0=(ln x0+1)(0-x0),整理解得x0=1,故切线方程为y=x-1.
导数是用极限来刻画的
(3)导函数:一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数
f(x + x)-f(x)
lim
Δ→0
x
f'(x)=
,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函数,也
简称为导数,有时也将导数记作y'.
微点拨关于导数概念的理解
(1)瞬时变化率是平均变化率的极限.
率可能为(
A.-4
)
B.-3 C.-2
D.-1
(2)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1)且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方
程为
.
答案 (1)D
(2)y=x-1
解析 (1)因为f'(x)=3x2-cos x≥-cos x≥-1(当x=0时等号成立),所以切线的斜
率可能为-1,故选D.
2
2
2
2
(2)由题意得,f(x)=e ,故 f'(x)=(x )'e =2xe ,则 f'(0)=0,曲线 y=f(x)在点(0,1)
处的切线方程为 y=1.
考点二
导数的几何意义及其应用(多考向探究)
考向1.求曲线的切线方程
典例突破
2-1
例2.(1)(2021全国甲,理13)曲线y= + 2 在点(-1,-3)处的切线方程
增素能 精准突破
考点一
导数的运算
例1.(1)(2021辽宁实验中学高三二模)随着科学技术的发展,放射性同位素
技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设
某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足
函数关系 P(t)=P0·2
t
30
-
,其中P0为初始时该放射性同位素的含量,已知t=15时,
a2 020x2 019+a2 021x2 020(x∈R),则a2+2a3+…+2 019a2 020+2 020a2 021=(
)
A.2 019·22 019 B.2 019·22 020
C.2 020·22 019 D.2 020·22 020
(2)(2021浙江镇海中学高三期中)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆
第四章
第一节
导数的概念、几何意义
及运算
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于
瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与
思想,体会极限思想.
1.导数的运 数学抽象
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
算
3.能够根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,
(1)f'(x0)=[f(x0)]'.( × )
(2)曲线y=f(x)的过点(x1,y1)的切线的斜率为f'(x1).( × )


(3)函数 y=sin4的导数为 y'=cos4.( × )
1
(4)函数 f(x)=ln(1-x)的导数为 f'(x)= .(
x-1
)
9
3
2.曲线 y= 在点 P 处的切线的倾斜角为 ,则点 P 坐标为(
x
4
)
A.(3,3)
B.(-3,-3)
C.(9,1)
D.(3,3)或(-3,-3)
答案 D
解析 由于
9
y'=-2,若设点
P
9
3π
为(x0,y0),则由导数几何意义可得- 2=tan 4 =-1,解
0
得 x0=±3,从而 y0=±3,即点 P 坐标为(3,3)或(-3,-3).
3.经过点(2,0)且与曲线y=
1
x
相切的直线方程为
.
答案 x+y-2=0
解析
1
由于点(2,0)不在曲线上,故设切点为 P(x0,y0),由于 y'=-2 ,所以所求直线
方程为
1
y-y0=- 2 (x-x0).而点(2,0)在切线上,得02 y0=2-x0,再由
0
P(x0,y0)在曲线上,
得 x0y0=1,联立可解得 x0=1,y0=1,因此所求直线方程为 x+y-2=0.
2.导数的几 数学运算
y=
1
x
,y= x 的导数,能够利用基本初等函数
的导数公式和导数的四则运算法则求函数的
导数,能求简单的复合函数的导数.
何意义
逻辑推理
直观想象
知识梳理
1.导数的概念
(1)平均变化率:对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从
(2 )-(1 )
f(x1)变为f(x2),它在区间[x1,x2]的平均变化率= 2 -1
a≠1)
y=logax
(a>0,a≠1)
导数
y=sin x
y'= αxα-1
xln a
a
y'=
y=cos x
y'=
1
特别地(ex)'=
y=tan x
y'= cos x
y=c(c是常数) y'= 0
y=xα(α是实数)
函数
1
y'= ln
y'= -sin x
1
2
cos
特别地(ln x)'=
ex
(2)导数就是瞬时变化率.
(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的关系式是s(t),则s'(t)就是速
度与时间的关系式.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.