切割线性定理在解高考解几题中的妙用

切割线性定理在解高考解几题中的妙用
刘 忠（江西省永丰中学）
1986年全国高考数学（理科）试卷中有这样一道题：
（例1） 如图1，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B ，试在χ轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值.
无独有偶，2005年浙江省高考数学（理科）也有一道类似的题： （例2） 如图2,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点1F 、2F 在x 轴上,长轴21A A 的长为4,左准线x l 与轴的交点为M ,.1:2:111=F A MA
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若直线)1(:1>=m m x l ,P 为1l 上的动点,使21PF F ∠最大的点P 记为Q ,求点Q 的坐标(用m 表示).
这类题通常有以下解法.
解法一：构造函数求解.以例1的解法为例：
设点A 的坐标为(0,a)、点B 的坐标为(0,b)（0<b<a ）,所求点C 的坐标为(x,0)（x>0）.
记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.显然，02
π
α<<
，据题意构造正切函数
()()()211a b
tg tg a b x x tg tg ab ab tg tg x x x αββααββαββ-+--=⎡+-⎤===⎣⎦+++
+=，
又记y =
，由均值不等式，
当且仅当x =时y 取最小值2，从而tg α
.因为在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
内tg α
是增函数，所以当且仅当x 时ACB ∠
取得最大值，故所求
点C
的坐标为
)
.
解法二：利用夹角公式或到角公式求解.以例2的解法为例：
解：（1）椭圆方程为x y 22
43
1+=（过程略）
. 图1
图2
（2）设P （m ，y 0）（|m|>1）. 因为
2
0121π
<
∠<∠≤M PF PF F ，∴只需求tan ∠F PF 12的最大值即可.
因为直线PF 1的斜率k y m 101=+，直线PF 2的斜率k y m 20
1
=-，
所以20202112211||2|1|
tan y m y k k k k PF F +-=+-=∠≤-⋅=
-2211
1
0202||||y m y m ， 当且仅当m y 201-=||
即0y =∠F PF 12最大，
(|1)Q m m ∴>.
解法三: 利用余弦定理或向量的夹角公式求解.以例2的解法为例：
为使问题解决的过程更加简单而又不失一般性，现将1l 定位于左准线l ，并设12F PF θ∠=，
P ()04,y -，则
212
12cos PF PF PF PF θ-⋅-⋅===⋅
， 令2
0t y =，则cos θ
=
22
22302254415
cos 11134225342251634t t t t t t t t t
θ++==-=-≥
=++++++，
当且仅当015t y ==即时等号成立.因为θ为锐角，所以cos θ
为减函数，因此2cos θ最小时θ最大，所以点P 的坐标是(4,-.
比较以上三种解法可知，还是利用到角知识来解更简单.而且不论哪种方法都要用到平均值不等式，有没有更简单的方法呢？有！请看下法.
解法四：利用切割线定理求解.以例1为例：
解：如图3，∠ACB 可以看作是以AB 为弦的圆周角，显然，当此圆与χ轴相切时，则除切点外，χ轴上所有的点都在此圆外，根据“同弦所对的圆外角小于圆周角”可知，切点即为所求的使∠ACB 取得最大值的点C. 设点A 的坐标为(0,a)、点B 的坐标为(0,b)（0<b<a ）,所求点C 的坐标为(x,0)（x>0），由切割线定理可得2
OC OB OA =⋅
，即2x a b =⋅，
所以x ，从而点C
点的坐标为)
.
图3
所谓“他山之石，可以攻玉”，从上面的解法我们可以看到，利用切割线定理求解这两道高考题远比用解析几何知识求解来得简单明快！。