实数大小比较

实数大小的比较
一、数轴比较法
数轴上的点与实数成一一对应的关系，数轴上的靠右边的点表示的数大于靠左边的点表示的数。

例1、已知a、b是实数，且。

试比较a，b，－a，－b的大小关系。

解析：因为，故可将a、b两数在数轴上表示出来。

又因为a与
与互为相反数，根据相反数的几何意义，a与,在数轴上可表示为图2。

所以的大小关系是。

二、法则比较法
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。

例2、已知a、b是实数，且a<0<b，c≠0，试比较的大小。

解析：因为a<0,b>0，则ab<0。

又c≠0，则，所以，为负数。

而b>0，
，所以，为正数。

所以。

三、比较被开方数法
一般地，当a>0，b>0时，如果a>b，那么。

也就是说，两个正数，较大的正数的算术平方根也较大，其立方根也较大。

反之也成立。

例3、比较大小：（1）；（2）。

解析：若要比较形如的两数的大小，可先把根号外的因数a与c移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

（1）因为，且，所以，因此，。

（2）因为，且，所以，所以。

因此，。

四、添加根号法
若a>0，则。

在比较一个有理数和一个无理数的大小时，常选用此式。

例4、比较的大小。

解析：因为，又因为，于是，即。

五、乘方法（平方法或立方法）
如果a>0，b>0，若，那么a>b；若，那么a>b。

例5、比较大小：（1）；（2）。

解析：（1）因为，而12<18，所以。

（2）因为，而
，所以。

六、作差法
作差法的基本思路是，设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差。

当
时，得到a>b；当时，得到a<b；当时，得到a=b。

例6、比较的大小。

解析：因为，所以。

七、作商法
作商法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先求出a与b的商。

当
时，a<b；当时，a>b；当时，a=b。

例7、比较的大小。

解析：因为，所以。

八、放缩法（中间值法）
如果a<c，c<b，那么a<b。

若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法。

例8、比较的大小。

解析：因为，所以。

所以，即。

九、特殊值法
在解决含有字母的选择题或填空题时，常常可以采用特殊值法，这样能够比较快捷地得到答案。

例9、已知x<y<0，设，则M、N、P、Q的大小关系是（）。

A、M<Q<P<N
B、M<P<Q<N
C、Q<N<P<M
D、N<Q<P<M
解析：根据条件，不妨设，则M=4，N=1，。

不难得到：N<Q<P<M。

因此，应选D。