常微分方程程综合练习
常微分方程试题库
常微分方程试题库二、计算题（每题6分）1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ；2. 解方程：x y xye 2d d =+； 3. 解方程：；4. 解方程：t e x dtdx23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ；6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy；7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ；8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；12. 解方程：y y dx dyln =； 13. 解方程：y x e dxdy-=；14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ；15. 解方程：x y dxdycos 2=；16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+；17. 解方程：x xy dx dy42=+；18. 解方程：23=+ρθρd d ；19. 解方程：22x y xe dxdy+=；20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx解： ,2,1,0,2,±±=+==k k x k y πππ是原方程的常数解， （2分）当2,πππ+≠≠k x k y 时，原方程可化为：0cos sin sin cos =-dx xxdy y y ，（2分） 积分得原方程的通解为：C x y =cos sin . （2分）2. 解方程：x y xye 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e y dxx p dxx p （2分）x xx xdxx dx e Cedx e C edx e e C e 31)()(23222+=+=⎰+⎰=---⎰⎰分）（分）（223. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dx e x f C e y dxx p dx x p （2分）=⎰⎰+⎰-)sec (tan tan dx xe C e xdxxdx（2分）⎰+=)sec (cos 2xdx C xx x C sin cos +=. （2分）4. 解方程：t e x dtdx23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dt e t f C e x dtt p dt t p （2分）=⎰⎰+⎰-)(323dt e e C e dtt dt （2分）⎰+=-)(53dt e C e t t t t e Ce 2351+=-. （2分） 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y解：原方程可化为：02=+---y y xde ydy dx e ， （2分） 即 0)(2=--y xe d y ， （2分） 原方程的通解为：C y xe y =--2. （2分）6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy解：原方程可化为：0ln )(ln 3=++xdy dy y x yd ， （2分） 即 0)41ln (4=+y x y d ， （2分） 原方程的通解为：C y x y =+441ln . （2分）7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy解：因为xNx x y M ∂∂=+=∂∂62，所以原方程为全微分方程， （2分） 由 02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ， （1分） 得: 0)()(232=+y x d y x d ， （2分） 故原方程的通解为：C y x y x =+232. （1分）8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x 解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ， （1分） 特征根为2=λ为2重根，1=λ. （2分） 所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， （2分） 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=. （1分）9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ， （1分） 特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.（2分） 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,， （2分） 原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321. （1分）10. 解方程：02=-''+'''x x x 解：其特征方程为：0)22)(1(2223=++-=-+λλλλλ， （1分） 特征根为：i ±-==11321，，λλ. （2分） 所以其实基本解组为： t e t e e t t t s i n ,c o s ,--，（2分） 原方程的通解为： t e C t e C e C y t t t sin cos 321--++=. （1分）11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 解：原方程可化为：21,21-='='y x ， （2分）积分得通解为：212,2c t y c t x +-=+=. （4分）12. 解方程：y y dxdyln = 解：原方程可化为：0ln 1=-dx dy yy ， （3分）积分得原方程的通解为：C y x =ln ln . （3分）13. 解方程：y x e dxdy-= 解：原方程可化为： dx e dy e x y =， （3分） 积分得原方程的通解为：c x y +=. （3分）14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：012122=-+dx x xdy y ， （2分）积分得原方程的通解为：c x y +-=-1ln 21. （3分） 15. 解方程：x y dxdycos 2= 解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：xdx dy ycos 12=， （2分） 积分得原方程的通解为：x c y sin 1-=-. （3分）16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+解：0=y ，0=x 是原方程的常数解， （1分） 当,0≠x 0≠y 时，原方程可化为：dx xx dy y y )11()11(22+=+，（2分） 积分得原方程的通解为：c x x y y +-=---11ln ln . （3分）17. 解方程：x xy dxdy42=+ 解：分析可知2=y 是其特解. （2分）对应齐方程的02=+xy dxdy通解为：2x ce y -=， （2分） 故原方程的通解为：22+=-x ce y . （2分）18. 解方程：23=+ρθρd d 解：分析可知32=ρ是其特解. （2分）对应齐方程03=+ρθρd d 的通解为：θρ3-=ce ， （2分）故原方程的通解为：323+=-θρce . （2分）19. 解方程：22x y xe dxdy+= 解：原方程可化为： dx xe dy e x y 22=-， （3分） 积分得原方程的通解为：c e e x y =+-22. （3分）20. 解方程：422x y y x =-' 解：分析可知4x y =是其特解. （2分） 又对应齐方程02=-'y y x 的通解为：2cx y =， （2分） 故原方程的通解为：42x cx y +=. （2分）。
常微分方程 练习题
常微分方程练习题常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中一门重要的分支，研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。
在物理、经济学、生物学等领域中，常微分方程广泛应用于描述系统的动态行为。
本文将为您提供一些常微分方程的练习题，帮助您加深对常微分方程的理解。
练习一：一阶常微分方程1. 求解初值问题：dy/dx = x^2 - y^2, y(0) = 1。
解：观察到方程右侧与左侧的差异较大，我们可以尝试寻找一个特殊的函数，使得方程变得简单。
假设y = x + u(x)，则dy/dx = 1 + u'，代入原方程得到：1 + u' = x^2 - (x + u)^2u' = x^2 - x^2 - 2ux - u^2 - 1u' = -2ux - u^2 - 1这是一个关于u和x的常微分方程。
我们可以尝试通过求解这个方程来得到y的解。
2. 求解初值问题：dy/dx = (x^2 - 1)/(y + 1), y(0) = 0。
解：将方程进行变形，得到(y+1)dy = (x^2 - 1)dx，两边同时积分：∫(y+1)dy = ∫(x^2 - 1)dx1/2(y^2 + 2y) = 1/3(x^3 - x) + C其中C为常数。
代入初值条件y(0) = 0，解得C = 0，进一步化简得到：y^2 + 2y = 2/3(x^3 - x)这就是给定初值问题的解。
练习二：二阶常微分方程1. 求解方程：y'' + 2y' + y = e^(-x)，已知初值条件y(0) = 1，y'(0) = 0。
解：我们可以使用特征方程法求解这个二阶常微分方程。
首先求解齐次方程：r^2 + 2r + 1 = 0解齐次方程得到r = -1，因此齐次方程的通解为y_h = C1e^(-x) +C2xe^(-x)。
接下来求非齐次方程的一个特解。
常微分方程期末综合练习参考解答
“常微分方程”课程综合练习参考解答一、填空题1．满足||1y <的条形区域 2．全平面3． }0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面） 4．00(,)d xx y y f s y s =+⎰5．充分6．),(∞+-∞7．221C Cx y +=8．0=y ,1=y 9．1,1±=±=x y 10．2 11．必要 12．xx xx x W sin cos cos sin )(-=13．⎪⎩⎪⎨⎧--='='y x xy y y y 211114．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==yx g y x f x y y x y)()(d d d d 11115．e ,e x x x 16．恒等于零 17．线性无关 18．稳定焦点 19．不稳定结点20．0),(),(0000==y x Q y x P 21．)0,0(，)0,1(-22．齐次23． ,2,1,0,±±==k k y 24．)()]()([1211x y x y x y C +- 25．不能 26．相切27．满足012>-y 的平面区域 28．任何一点不为零 29．n +130．n31．线性无关二、单项选择题1．C 2．D 3． B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．A 9．C 10．C 11．B 12．C 13．D 14．C 15．A 16．A 17．B 18．D 19．C 20．A 21．D 22．B 23．C 24．C 25．C 26．A 27．D 28．D 29．A 30．B 31．B 32．B三、计算题(求下列方程的通解或通积分) 1．解 齐次方程的通解为： xCy = 设原方程的通解为： xx C y )(=代入原方程，得 C x x C +=4)(4所以，原方程的通解为: )41(14x C x y +=2．解 将方程改写为d d y y x x= 令yu x=，则y xu u ''=+代入上式得d d ux x= 分离变量积分得 arcsin ln u x C =+ 原方程的通积分为： arcsinln ||yx C x=+ …3．解 分离变量积分，得e d (sin )d y y x x x C =++⎰⎰21e cos 2y x x C =-+ 4．解 )3e (),(22y x y x M x +=，y x y x N 32),(=xNy x y M ∂∂==∂∂26 因此,原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ,原方程的通积分为 C x y x x xx =+⎰0222)d 3e ( 或 C x y x x x xxx =+⎰⎰02202d 3d e 即 C y x x x x =++-232e )22( 5．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为 C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2即 C y y x =-3231 6．解 因为21M Ny x x∂∂=-=∂∂，所以原方程是全微分方程． 取00(,)(1,0)x y =,原方程的通积分为210(e )d d xy x y x y C x-+=⎰⎰ 即 e x yC x+= 7． 解 令p y =',则221p p x +=，原方程的参数形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x 221由x y y d d '=，有 p p p p p p y )d 221()d 2121(d 2+-=+-=积分有：C p p y ++-=241ln 21得原方程参数形式通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=C p p y p p x 241ln 212218．解 方程改写成 22sin 0yy y x y '''--=即 cos 0y x y ''⎛⎫+= ⎪⎝⎭有11d cos d yx C y x+= 积分，得通积分: 12ln ||sin y x C x C +=+9．解 积分因子为 21)(x x =μ 原方程的通积分为： 1012d d )(e C y x xy y x x=+-⎰⎰即 1e ,e C C C x yx +==+10．解 原方程是恰当导数方程，可写成 0)(3='+'x y y 即 13C x y y =+' 分离变量解此方程，通积分为24124121C x x C y +-=11．解 特征方程12||(2)(1)034A E λλλλλ----==--=-特征根122,1λλ==12λ=对应的特征向量为23⎛⎫⎪-⎝⎭21λ=对应的特征向量为11⎛⎫⎪-⎝⎭原方程的通解为：2122e 2e e 3e t t t t x C C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．解 特征方程23||(1)(1)012A E λλλλλ---==+-=--特征根为 121,1λλ==-.1λ和2λ对应的特征向量分别是31⎛⎫ ⎪⎝⎭和11⎛⎫⎪⎝⎭原方程组的通解是:123e e e e t t t t x C C y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．解 特征方程为11||(3)(1)041A E λλλλλ--==-+=-特征根123,1λλ==-13λ=对应的特征向量为12⎛⎫⎪⎝⎭21λ=-对应的特征向量为12⎛⎫⎪-⎝⎭原方程组的通解为： 3123e e 2e 2e t t t t x C C y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．解 特征方程为21||101A E λλλλ--==-=-特征根121,1λλ==-12,λλ对应的特征向量分别为11⎛⎫ ⎪⎝⎭和11⎛⎫⎪-⎝⎭原方程组的通解为：12e e e e t t t t x C C y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭15．解 对应齐次方程的特征方程是 012=+λ特征根为i ±=2,1λ，齐次方程的通解为 t C t C x sin cos 21+=因为i i ±=±βα是一重特征根．故非齐次方程有形如)sin cos ()(1t B t A t t x +=的特解，代入原方程,得 21-=A ， 0=B故原方程的通解为 t t t C t C x cos 21sin cos 21-+=16．解 对应齐次方程的特征方程为 0222=+-λλ特征根为 i ±=121，λ，故齐次方程的通解为 x x C x C y e )sin cos (21+=由于i i ±=±1βα是一重特征根,故原方程有形如为 )sin cos (e )(1x B x A x x y x += 的特解，代入原方程，得 0=A ， 2=B 所以，原方程的通解为x x x C x C y x x sin e 2)e sin cos (21++= 17．解 先求出齐次方程的通解为: x C x C y sin cos 21+= 令非齐次方程的特解为： x x C x x C x y sin )(cos )()(211+= )(),(21x C x C ''满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+'-='+'xx c x C x s x C x s x C x x C 32121sec 2os )(in )(0in )()cos ( 解出 x x x C 31sec sin 2)(-='， x C 21sec (t)-= x x C 22sec 2)(=', x x C tan 2)(2= 原方程的通解为： xxx C x C y cos 2cos sin cos 21-+=18．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ,52=λ，齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为0=α是特征根。
常微分方程练习题
常微分方程练习题在数学中，微分方程是研究函数及其导数之间关系的方程。
常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有一个自变量的微分方程。
常微分方程的研究对于很多领域都具有重要意义，比如物理学、经济学、工程学等。
本文将通过一些常见的常微分方程练习题来帮助读者巩固对这一概念的理解。
练习题一：一阶线性常微分方程求解微分方程 $\frac{{dy}}{{dx}} + y = 2x$。
解答：根据微分方程的一阶线性常数系数形式，我们可以将方程写为$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) =2x$。
首先，我们求解齐次线性微分方程 $\frac{{dy_{h}}}{{dx}} + y_{h} = 0$。
解得 $y_{h} = Ce^{-x}$，其中 $C$ 为常数。
接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。
首先，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax + B$，代入微分方程得到 $A = 2$，$B = -1$，因此特解为 $y_{p} = 2x - 1$。
最后，将齐次解和特解相加，得到原微分方程的通解为 $y = Ce^{-x} + 2x - 1$。
练习题二：二阶齐次常微分方程求解微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$。
解答：首先，我们设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} - 4r + 4 = 0$。
解这个二次方程得到重根 $r = 2$。
因此，齐次线性微分方程的通解为 $y = (C_{1} + C_{2}x)e^{2x}$，其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数。
练习题三：二阶非齐次常微分方程求解微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 4x^{2} + 1$。
解答：首先，我们求解齐次线性微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 0$。
常微分方程练习题
一、单项选题
１．微分方程 的阶数是（）．
A.１Ｂ.2C. 3 D．4
2.克莱罗方程的一般形式是()．
A. B.
C. D.
３.Liｐｓｃhitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件．
A.充分条件B.必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 阶齐次线性常微分方程的任意 个解必定(）.
Ａ.可组成方程的一个基本解组Ｂ．线性相关
3．设 为某一常系数二阶非齐次方程的三个解,则此方程为.
4．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是．
５.与初值问题 等价的一阶方程组的初值问题为.
三、求下列一阶微分方程的通解.
1.
2.
3.
四、求下列高阶方程的通解.
1.
2．
五、求解微分方程组 的通解.
六、判定系统 的零解稳定性.
七、证明题.
1.设 在 上连续，且 ，求证:方程 的任意解 均有 .
4.方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是.
5.系统 的零解的是稳定的.
三、求下列一阶微分方程的通解.
１.
2.
3.
四、求下列高阶方程的通解.
1.
2.试用观察法求方程 的通解.
五、求解微分方程组 的通解.
六、判定系统 的零解稳定性.
七、证明题
1．设 在 上连续,且 ，求证:方程 的任意解 均有 .
2.假设 不是矩阵 的特征值，试证非齐线性方程组 ,有一解形如： ．其中 是常数向量．
C.朗斯基行列式不为0D.线性无关
5．用待定系数法求方程 的特解 时，下列特解的设法正确的是().
A. Ｂ.
C. Ｄ.
二、填空题.
1．当 时,微分方程 为伯努利方程.
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
《常微分方程》练习题库参考答案
《常微分⽅程》练习题库参考答案江苏师范⼤学数学教育专业《常微分⽅程》练习测试题库参考答案⼀、判断说明题1、在线性齐次⽅程通解公式中C 是任意常数⽽在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。
将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性⾮齐次⽅程求解问题，这⼀⽅法成功了，称为常数变易法。
2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx xx p(x))在p(x)连续的区间有意义，⽽exp(-dx xx p(x))＞0。
如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯⼀。
3、（1）它是常微分⽅程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为⼀元函数，所建⽴的等式是已知关系式。
（2）它是常微分⽅程，理由同上。
（3）它不是常微分⽅程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建⽴的等式不是已知关系式。
4、微分⽅程求解时，都与⼀定的积分运算相联系。
因此，把求解⼀个微分⽅程的过程称为⼀个微分⽅程。
微分⽅程的解⼜称为（⼀个）积分。
5、把微分⽅程的通解⽤初等函数或通过它们的积分来表达的⽅法。
注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能⽤初等函数表⽰出来，我们也认为求解了这个微分⽅程，因为这个式⼦⾥没有未知函数的导数或微分。
6、 y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中⼀个因式仅含有x,另⼀因式仅含y ，⽽⽅程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量⽅程的主要特征，就像f(x,y)⼀样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。
7、⼆元函数f(x,y)满⾜f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。
m=0则称它为0次齐次函数。
8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次⽅程。
如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次⽅程。
常微分方程 练习题
常微分方程练习题常微分方程练习题常微分方程是数学中的重要分支，也是应用数学中的基础知识。
通过解常微分方程，可以描述许多自然现象和工程问题。
在学习常微分方程的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的解答，可以加深对常微分方程的理解和应用。
下面，我们来看一些常微分方程的练习题。
1. 求解一阶线性常微分方程y' + 2xy = x解：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。
首先，求出齐次方程的通解：y' + 2xy = 0齐次方程的通解为 y = Ce^(-x^2)，其中 C 为常数。
然后，我们可以猜测特解形式为 y = u(x)e^(-x^2)，将其代入原方程得到： u'(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) = x简化后得到 u'(x)e^(-x^2) = xe^(x^2)，两边同时除以 e^(x^2) 得到：u'(x) = x对 u(x) 求积分，得到 u(x) = 1/2x^2 + C1，其中 C1 为常数。
将 u(x) 代入特解形式，得到特解为 y = (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)。
因此，原方程的通解为 y = Ce^(-x^2) + (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)，其中 C 和C1 为常数。
2. 求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' + 4y' + 4y = 0解：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程来求解。
首先，设 y = e^(rx) 为方程的解，代入方程得到：r^2e^(rx) + 4re^(rx) + 4e^(rx) = 0化简后得到 r^2 + 4r + 4 = 0，解这个二次方程得到 r = -2。
因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 为常数。
3. 求解二阶非齐次线性微分方程y'' - y' - 2y = 2x解：这是一个二阶非齐次线性微分方程，可以通过常数变易法来求解。
常微分方程课后练习题含答案
常微分方程课后练习题含答案练习1：考虑动力学方程组：$$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x)\\end{align} $$a)画出相图b)确定方程组的固定点及其稳定性c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为答案1：a)相图如下所示：image-1b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则：$$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0\\end{aligned} $$由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1•当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。
•当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。
综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。
c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。
假设(x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。
轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。
将方程组改写为$$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$则在y=x处，$$ \\frac{dy}{dx}=1 $$这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。
由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。
常微分方程练习题及答案
一、 填空题。
1. 方程23210d xx dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 .3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ．9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程 的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根是二、 计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+.3. 求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程. .5．求方程 sin y y x'=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解.8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解10.若 试求方程组的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 和 没有共同的零点;(iii) 和 没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=.答案一.填空题。
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。
2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。
二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。
3、求方程的隐式解。
4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题 2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是.2、方程的通解中含有任意常数的个数为.3、方程有积分因子的充要条件为.4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)共同零点．7、设是方程的通解，则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解 .9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是 .10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是 .二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解.（10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。
常微分方程练习题及答案
常微分方程练习试卷一、23210d x x dt += ()x dy f xy y dx=_______ 3230d y y x dx--=(0)1,(0)2y y '== x y y y e αβγ'''++=*2()x x x y x e e xe =++α=β=γ=()0W t ≡12(),(),,()n x t x t x t L a x b ≤≤22(2320)0xydx x y dy ++-=y()X A t X '=()t Φ()A t =20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x251y y y y ''''''+++=20y y y '''''-+=二、13dy x y dx x y +-=-+ 222()0d x dx x dt dt+=sin y y x '=+22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11ηX A dt dX =)(t ΦX A dt dX =η=)0(x2213dyx y dx =--(1,0)(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦expAt(),()t t Φψ()X A t X '=C ()()t t C ψ=Φ),()(0βαϕ≤≤x x x],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx )}({x n ϕ],[βα)(x ψ],[βα],[βα)()(x x ϕψ≡)(t ϕAX dt dX=ηϕ=)(0t ηϕ)(ex p )(0t t A t -=u xy =11(()1)du dx u f u x =+3,2,1αβγ=-==-3y 1()()t t -'ΦΦ25 00tAt t e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦13dy x y dx x y +-=-+ 10,30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩1,2x y =-=1,2,x y ξη=-⎧⎨=+⎩ .d d ηξηξξη+=-z ηξ=2(1)1z dz d z ξξ-=+21arctan ln(1)ln ||2z z C ξ-+=+2arctanln 1y C x -=+ 222()0d x dx x dt dt+= ，直接计算可得，于是原方程化为 ，故有或，积分后得，即，所以 就是原方程的通解，这里为任意常数。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
常微分方程试题综合
常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠５、11110n n nn n n n d y d dy x a a a y dx dx dx ---++++=６、()()t t C ψφ= ７、零 稳定中心 二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyyy y ee y μ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=02()cos2f t t=-2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin2x A t B t =+代入原方程13A =B=0 所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n = 12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in tii t e A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭４、解：方程可化为3284dyydxxdyydx⎛⎫+⎪⎝⎭=令dypdx=则有3284p yxyp+=（*）（*）两边对y求导：32232 2(4)(8)4dpy p y p y p y pdy-+-=即32(4)(2)0dpp y y pdy--=由20dpy pdy-=得12p cy=即2()pyc=将y代入（*）2224c pxc=+即方程的含参数形式的通解为：22224()c pxcpyc⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p为参数又由3240p y-=得123(4)p y=代入（*）得：3427y x=也是方程的解５、解：002100225200410725118 3002()4220()4400202204400160 xxxyxy xdxx x xy x dxx x x x x x x y x dxϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰６、解：由1050x yx y--+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx ydtdyx ydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1iλ=-±故（3，-2）为稳定焦点。
常微分方程课程综合练习
“常微分方程”课程综合练习一、填空题1．方程d d y x=满足初值解存在且唯一的区域是 ． 2．方程d ||d y y x=满足初值解存在且唯一的区域是 ． 3．方程1d d +=y xy 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 4．初值问题00d (,)d ()y f x y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩的解所满足的积分方程是 ．5．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的 条件． 6．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 7．方程2)(21y y x y '+'=的通解是 ． 8．方程y y xy ln d d =所有常数解是 ． 9．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．10．一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线．11．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的 条件．12．函数组⎩⎨⎧==x y x y cos sin 21的朗斯基行列式)(x W 是 ． 13．方程02=+'+''y x y x y 的等价方程组是 ．14．二阶方程()()0y f x y g x y '''++=的等价方程组是 ．15．方程20y y y '''-+=的基本解组是 ．16．如果函数组12(),()y x y x 在区间I 是线性相关，那么它们的朗斯基行列式()w x 在区间I 上 ．17．二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()x x ϕϕ为基本解组的充要条件是 ．18．平面系统d d d d y y x yx y t⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点(0,0)O 的类型是 ． 19．平面系统d 23d d 3d y x y x yx yt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的奇点类型是 ．20．点),(00y x 是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(d d ),(d d y x Q ty y x P t x 奇点的充分条件是 ． 21．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----==22d d d d y x y x ty y t x 的奇点是 ． 22．方程0)(22='-+y xy x y 是 微分方程．23. 方程y x xy tan d d =的所有常数解是 ． 24．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．25. 方程2sin d d x y xy =的任一非零解 与x 轴相交． 26．曲线L 为方程),(d d y x f xy =的积分曲线的条件是L 在每一点均与线素场的线素 ． 27. 方程212)1(d d y xy -=满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ． 28．线性齐次微分方程组Y A Y )(d d x x =的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式W （x ）在I 上 ．29. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线.30. 线性齐次微分方程组Y A Y )(d d x x=的一个基本解组的个数不能多于 个，其中R ∈x ，n R Y ∈．31．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 ．二、单项选择题1．方程323d d y xy =过点)0,0(的解（ ）． （A ）只有一个 （B ）只有两个 （C ）有无数个 （D ） 只有三个2．方程y xy '= ）．（A ）Cx y = （B ）x C y =（C ）2Cx y = （D ）C Cx y +=3．积分方程⎰+=xt t y t x y 02d )(31)(的解是（ ）．（A ）1y = （B ）3e x y = （C ）2e x y = （D ）xy e =4．方程⎪⎩⎪⎨⎧≠==0,ln 00d d y y y y x y 当当， 在xoy 平面上任一点的解（ ）． （A ）都不是惟一的 （B ）都是惟一的（C ）都与x 轴相交 （D ）都与x 轴相切5. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件．（A ）充分 （B ）必要 （C ）充分必要 （D ）必要非充分6．方程d 1d y x=（ ）． （A ）有奇解1y =± （B ）有奇解1y = （C ）无奇解 （D ）有奇解7．方程222+-='x y y （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无8．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x+=的积分因子是（ ）． （A ）⎰=x x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 9．方程2d d y xy =过点)1,3(-的解的存在区间是（ ）． （A ）),0(∞+ （B ）)3,(-∞ （C ）),2(∞+ （D ）),2[∞+ 10．方程21y y -='过点)0,0(的解x y sin =，这个解的存在区间是（ ）．（A ）),0(∞+ （B ）)0,(-∞ （C ）]2,2[ππ-（D ）),(∞+-∞ 11．一阶线性非齐次方程组T 1),,(),()(d d n y y Y x F Y x A x Y =+=的任一解的图像是1n +维空间1(,,,)n x y y 中的（ ）．（A ）一个曲面 （B ）一条曲线 （C ）一族曲线 （D ）一族曲面 12．n 维方程组),(d d Y x F x Y =的任一解的图像是n +1维空间),(Y x 中的（ ）． （A ）一个曲面 （B ）n 个曲面 （C ）一条曲线 （D ）n 条曲线13．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t y x ty t y x t x e 23d d sin d d 的任一解的图像是),,(y x t 空间中的（ ）． （A ）一个曲面 （B ）两个曲面 （C ）两条曲线 （D ）一条曲线14．若12(),()x x ϕϕ是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们（ ）共同零点．（A ）可以有 （B ）在0x =处可以有（C ）不能有 （D ）在1x =处可以有15. 用特定系数法求方程sin y y x x ''+=的非齐次特解11,y y 应设为（ ）．（A ）1()sin ()cos y x Ax B x x Cx D x =+++ （B ）1sin y Ax x =（C ）1()sin y Ax B x =+ （D ）1()sin ()cos y Ax B x Cx D x =+++16．已知方程4xy y x '''+=的一个特解为2x ，又对应齐次方程0xy y '''+=有一个特解为ln x ，则原方程的通解为（ ）．（A ）212ln y C C x x =++ （B ）2212ln y C x C x x =++（C ）212ln y C x C x x =++ （D ）3212ln y C x C x x =++17．方程的2e tx x x ++=的任一解的图像是三维空间(,,)t x x 中的（ ）．（A ）一个曲面 （B ）一条曲线 （C ）一族曲面 （D ）一族曲线18．方程22e x y x y xy x '''++=的任一解的最大存在区间一定是（ ）．（A ）(,0)-∞ （B ）[0,)+∞ （C ）[1,)+∞ （D ）(,)-∞+∞19．平面自治系统在相平面上的一条轨线，对应（ ）积分曲线．（A ）一条 （B ）两条 （C ）无穷多条 （D ）三条 20．平面系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（ ）． （A ）不稳定结点 （B ）稳定焦点 （C ）不稳定焦点 （D ）鞍点21．相平面上的一条轨线对应平面自治系统的（ ）积分曲线．（A ）一条 （B ）二条 （C ）三条 （D ）无穷条22．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是（ ）． （A ）结点 （B ）中心 （C ）鞍点 （D ）焦点23．下列微分方程中的线性微分方程为（ ）（A ）02=-''y y （B ）y x y +='5（C ）21xy ='' （D ）x y y y e 2='+'' 24. 方程)0(d d ∞<≤=y y xy 过点(0, 0)有（ ）． (A) 一个解 (B) 两个解 (C) 无数个解 (D) 三个解25．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x26. 方程4d d +-=x y x y （ ）奇解．(A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 27．),(y x f y '有界是方程),(d d y x f x y =初值解惟一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分28. 两个不同的线性齐次微分方程组（ ）的基本解组．(A) 一定有相同 (B) 可能有相同 (C) 一定有相似 (D) 没有相同29.若A (x ), F (x )≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组n x x x xR Y R F Y A Y ∈∈+=,),()(d d 的任一非零解 ( ).（A ）可以与x 轴相交 （B ）不可以与x 轴相交（C ）可以与x 轴相切 （D ）不可以可以与x 轴相切30. 函数组)(1x ϕ，)(2x ϕ在区间],[b a 上的朗斯基行列式恒为零是它们在],[b a 上线性相关的（ ）．(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件31. 方程02=+'+''xy y y 的非零解在xoy 平面上（ ）与x 轴相切．(A) 可以 (B) 不可以 (C) 原点处可以 (D) 也许可以32．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，当系数满足（ ）时，其朗斯基行列式等于常数．(A)⎰x x p d )(e =常数 (B)⎰-x x p d )(e =常数 (C)⎰x x q d )(e =常数(D)⎰-x x q d )(e =常数三、计算题(求下列方程的通解或通积分)1．2d d x x yx y=+2．xy y '=3．d sin d e y y x xx +=4．0d 2d )3e (322=++y y x x y x x5．0)d (d 222=-+y y x x xy6．21(e )d d 0x yx y x x -+=7．012)(2=+'-'y x y8．22sin yy y y x '''-=9．0d d )e (2=+-y x x y x y10．03)(22=+'+''x y y y11. d 2d d 34d x x yt y x yt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩12. d 23d d 2d y x yt yx yt ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13. d d d4d x x yt y x yt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩14．dd d d x yt yx t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩15．求方程t x xsin =+ 的通解． 16．求方程x y y y x cos e 422=+'-''的通解．17．求方程x y y 3sec 2=+''的通解．18．求方程255x y y -='-''的通解． 19．x xy xy y=+2d d 20. y x xy +=e d d 21．222d d -=+y x xy x y 22. xy x y x y tan d d += 23. 5d d xy y xy += 24．y y x y xy sin sin cos cos d d 2=- 25．0d 3d 24223=-+y yx y x y x 26．0d d )1(2=+--y x x y x 27．01)d (d )cos 2(2=-+-y x x x xy28．3)(y y x y '+'=29．x y y 2sin 34=+''30．239x y y =-'' 31．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y x tyy t x 2d d 3d d 32．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=yx tyy x t x 32d d d d四、证明题1．设()y x 是),0[∞+上的连续可微函数，且满足lim (()())0x y x y x →+∞'+=．求证lim ()0x y x →+∞=． 2．证明：一阶微分方程1sin d d 22++=y x y x y 的任一解的存在区间必是(,)-∞+∞．3．证明：若)(x y 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(s i n )(d d y y x P x y的解，则0)(≡x y ，其中)(x P 在区间),(∞+-∞上连续．4．设)(x f 为区间),(∞+-∞上的有界连续函数．证明：方程)(d d x f y xy =+ 在区间),(∞+-∞上存在一个有界解． 5．设)(x y 是方程0)(d d )(d d 22=++y x q x y x P x y 的非零解，其中)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续．求证：当0)(0=x y 时，必有0d d 0≠=x x x y ． 6．证明，当0,0p q ≥>时，方程 0y py qy '''++=的一切解在[0,)+∞上有界．7．试证当0,0p q >>时，方程0y py qy '''++=的一切解当x →+∞，都趋于零．8．设方程()()0y p x y q x y '''++=中()p x 和()q x 在(,)-∞+∞上连续，且()0q x <．求证：对方程的任一满足00()y x y =的非零解()y y x =．函数0()d ()()()e xx p t t f x y x y x ⎰'=为(,)-∞+∞上的严格单调递增函数，其中0,0()x y 为平面内任一点．9．设函数)(t f 在区间),[∞+a 上连续，且0)(lim =+∞→t f t ，试证明：非齐次线性方程 )(4d d 4d d 22t f x t x tx =++ 的任一解)(t x 均有0)(lim =+∞→t x t ． 10．设)(t f 是),0[∞+上的连续函数，且0)(lim =+∞→t f t ．证明：方程 )(7d d 8d d 22t f x t x t x =++ 的任一解)(t x 均满足0)(lim =+∞→t x t ． 11．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．12．假设)(1x y ，)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 定义在),(b a 上的解，其中)(x p ，)(x q 在),(b a 上连续，求明：如果)(1x y ，)(2x y 均在),(0b a x ∈点取局部极值，则)(1x y ，)(2x y 在),(b a 上不能构成方程的基本解组．13．设G 是xoy 平面上的某区域，),(y x f 在G 内连续且对y 是单调不增的．求证：方程 ),(d d y x f xy = 的右行解恒由初值惟一确定．14．假设)(x ϕ在),(∞+-∞上连续，且在该区间上0)(<x ϕ，求证：方程y x xy sin )(d d ϕ=的所有解的存在区间为),(∞+-∞，且是单调不增或单调不减函数．。
《常微分方程》练习题库
江苏师范大学数学教育专业《常微分方程》练习测试题库一、判断说明题1、常数变易法用变换y=C(x)exp(-⎰)(x p dx)与线性齐次方程通解有什么不同。
2、说明当p(x 连续时，线性齐次方程的0解唯一。
3、.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1） t 222dtu d +t dt du +( t 2-1)u=0 （2）dx dy =x 2+y 2; （3）dx dy +2xy =04、什么叫积分一个微分方程？5、什么是求解常微分方程的初等积分法？6、分离变量一阶方程的特征是什么？7、叙述齐次函数的定义8、试给出一阶方程y `＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。
说明二个方程的关系。
9、求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？ 10、二、计算题1、将（2x-4y+6）dx+(x+y-3)dy=0化为齐次方程。
2、求解dxdy=f(x+y+1) 3、求初值问题的解1)0(cos ==⎩⎨⎧y xy dx dy4、求解dxdy－2xy=4x.5、求解方程y `－2y= x 2exp(2x),y(0)=0.6、解方程dx dy =yx +1 7、求下列方程的通解x 2y 2y `+1=y8、dx dy =22yx xy + 9、dx dy =5242+---y x x y 10、求下列方程的通解或通积分21d d x xy x y += 11、求下列方程的通解或通积分x y xy2e 3d d =+12、求下列方程的通解或通积分0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 13、求下列方程的通解或通积分0e =-'+'x y y 14、求下列方程的通解或通积分0)(2='+''y y y 15、求方程x y y 5sin 5='-''的通解16、求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x tx4d d d d17、dx dy =5242+---y x x y 18、化下列方程为线性方程（1） y’-x4y=x y（2） y’= y 2-- x 2-119、20、21、22、23、24、三、证明题1、证明线性齐次方程任意两个解的和与差仍是它的解。
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“常微分方程”课程综合练习一、填空题1．方程d d y x=满足初值解存在且唯一的区域是 ． 2．方程d ||d y y x=满足初值解存在且唯一的区域是 ． 3．方程1d d +=y xy 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 4．初值问题00d (,)d ()y f x y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩的解所满足的积分方程是 ．5．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的 条件． 6．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 7．方程2)(21y y x y '+'=的通解是 ． 8．方程y y xy ln d d =所有常数解是 ． 9．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．10．一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线．11．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的 条件．12．函数组⎩⎨⎧==x y x y cos sin 21的朗斯基行列式)(x W 是 ． 13．方程02=+'+''y x y x y 的等价方程组是 ．14．二阶方程()()0y f x y g x y '''++=的等价方程组是 ．15．方程20y y y '''-+=的基本解组是 ．16．如果函数组12(),()y x y x 在区间I 是线性相关，那么它们的朗斯基行列式()w x 在区间I 上 ．17．二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()x x ϕϕ为基本解组的充要条件是 ．18．平面系统d d d d y y x yx y t⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点(0,0)O 的类型是 ． 19．平面系统d 23d d 3d y x y x yx yt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的奇点类型是 ．20．点),(00y x 是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(d d ),(d d y x Q ty y x P t x 奇点的充分条件是 ． 21．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----==22d d d d y x y x ty y t x 的奇点是 ． 22．方程0)(22='-+y xy x y 是 微分方程．23. 方程y x xy tan d d =的所有常数解是 ． 24．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．25. 方程2sin d d x y xy =的任一非零解 与x 轴相交． 26．曲线L 为方程),(d d y x f xy =的积分曲线的条件是L 在每一点均与线素场的线素 ． 27. 方程212)1(d d y xy -=满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ． 28．线性齐次微分方程组Y A Y )(d d x x =的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式W （x ）在I 上 ．29. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线.30. 线性齐次微分方程组Y A Y )(d d x x=的一个基本解组的个数不能多于 个，其中R ∈x ，n R Y ∈．31．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 ．二、单项选择题1．方程323d d y xy =过点)0,0(的解（ ）． （A ）只有一个 （B ）只有两个 （C ）有无数个 （D ） 只有三个2．方程y xy '= ）．（A ）Cx y = （B ）x C y =（C ）2Cx y = （D ）C Cx y +=3．积分方程⎰+=xt t y t x y 02d )(31)(的解是（ ）．（A ）1y = （B ）3e x y = （C ）2e x y = （D ）xy e =4．方程⎪⎩⎪⎨⎧≠==0,ln 00d d y y y y x y 当当， 在xoy 平面上任一点的解（ ）． （A ）都不是惟一的 （B ）都是惟一的（C ）都与x 轴相交 （D ）都与x 轴相切5. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件．（A ）充分 （B ）必要 （C ）充分必要 （D ）必要非充分6．方程d 1d y x=（ ）． （A ）有奇解1y =± （B ）有奇解1y = （C ）无奇解 （D ）有奇解7．方程222+-='x y y （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无8．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x+=的积分因子是（ ）． （A ）⎰=x x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 9．方程2d d y xy =过点)1,3(-的解的存在区间是（ ）． （A ）),0(∞+ （B ）)3,(-∞ （C ）),2(∞+ （D ）),2[∞+ 10．方程21y y -='过点)0,0(的解x y sin =，这个解的存在区间是（ ）．（A ）),0(∞+ （B ）)0,(-∞ （C ）]2,2[ππ-（D ）),(∞+-∞ 11．一阶线性非齐次方程组T 1),,(),()(d d n y y Y x F Y x A xY Λ=+=的任一解的图像是1n +维空间1(,,,)n x y y L 中的（ ）．（A ）一个曲面 （B ）一条曲线 （C ）一族曲线 （D ）一族曲面12．n 维方程组),(d d Y x F xY =的任一解的图像是n +1维空间),(Y x 中的（ ）． （A ）一个曲面 （B ）n 个曲面 （C ）一条曲线 （D ）n 条曲线13．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t y x ty t y x t x e 23d d sin d d 的任一解的图像是),,(y x t 空间中的（ ）． （A ）一个曲面 （B ）两个曲面 （C ）两条曲线 （D ）一条曲线14．若12(),()x x ϕϕ是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们（ ）共同零点．（A ）可以有 （B ）在0x =处可以有（C ）不能有 （D ）在1x =处可以有15. 用特定系数法求方程sin y y x x ''+=的非齐次特解11,y y 应设为（ ）．（A ）1()sin ()cos y x Ax B x x Cx D x =+++ （B ）1sin y Ax x =（C ）1()sin y Ax B x =+ （D ）1()sin ()cos y Ax B x Cx D x =+++16．已知方程4xy y x '''+=的一个特解为2x ，又对应齐次方程0xy y '''+=有一个特解为ln x ，则原方程的通解为（ ）．（A ）212ln y C C x x =++ （B ）2212ln y C x C x x =++（C ）212ln y C x C x x =++ （D ）3212ln y C x C x x =++17．方程的2e tx x x ++=&&&的任一解的图像是三维空间(,,)t x x &中的（ ）．（A ）一个曲面 （B ）一条曲线 （C ）一族曲面 （D ）一族曲线18．方程22e x y x y xy x '''++=的任一解的最大存在区间一定是（ ）．（A ）(,0)-∞ （B ）[0,)+∞ （C ）[1,)+∞ （D ）(,)-∞+∞19．平面自治系统在相平面上的一条轨线，对应（ ）积分曲线．（A ）一条 （B ）两条 （C ）无穷多条 （D ）三条 20．平面系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（ ）． （A ）不稳定结点 （B ）稳定焦点 （C ）不稳定焦点 （D ）鞍点21．相平面上的一条轨线对应平面自治系统的（ ）积分曲线．（A ）一条 （B ）二条 （C ）三条 （D ）无穷条22．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是（ ）． （A ）结点 （B ）中心 （C ）鞍点 （D ）焦点23．下列微分方程中的线性微分方程为（ ）（A ）02=-''y y （B ）y x y +='5（C ）21xy ='' （D ）x y y y e 2='+'' 24. 方程)0(d d ∞<≤=y y xy 过点(0, 0)有（ ）． (A) 一个解 (B) 两个解 (C) 无数个解 (D) 三个解25．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x26. 方程4d d +-=x y x y （ ）奇解．(A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 27．),(y x f y '有界是方程),(d d y x f x y =初值解惟一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分28. 两个不同的线性齐次微分方程组（ ）的基本解组．(A) 一定有相同 (B) 可能有相同 (C) 一定有相似 (D) 没有相同29.若A (x ), F (x )≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组n x x x xR Y R F Y A Y ∈∈+=,),()(d d 的任一非零解 ( ).（A ）可以与x 轴相交 （B ）不可以与x 轴相交（C ）可以与x 轴相切 （D ）不可以可以与x 轴相切30. 函数组)(1x ϕ，)(2x ϕ在区间],[b a 上的朗斯基行列式恒为零是它们在],[b a 上线性相关的（ ）．(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件31. 方程02=+'+''xy y y 的非零解在xoy 平面上（ ）与x 轴相切．(A) 可以 (B) 不可以 (C) 原点处可以 (D) 也许可以32．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，当系数满足（ ）时，其朗斯基行列式等于常数．(A)⎰x x p d )(e =常数 (B)⎰-x x p d )(e =常数 (C)⎰x x q d )(e =常数(D)⎰-x x q d )(e =常数三、计算题(求下列方程的通解或通积分)1．2d d x x yx y=+2．xy y '=3．d sin d e y y x xx +=4．0d 2d )3e (322=++y y x x y x x5．0)d (d 222=-+y y x x xy6．21(e )d d 0x yx y x x -+=7．012)(2=+'-'y x y8．22sin yy y y x '''-=9．0d d )e (2=+-y x x y x y10．03)(22=+'+''x y y y11. d 2d d 34d x x yt y x yt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩12. d 23d d 2d y x yt yx yt ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13. d d d4d x x yt y x yt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩14．dd d d x yt yx t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩15．求方程t x x sin =+&&的通解．16．求方程x y y y x cos e 422=+'-''的通解．17．求方程x y y 3sec 2=+''的通解．18．求方程255x y y -='-''的通解． 19．x xy xy y=+2d d 20. y x xy +=e d d 21．222d d -=+y x xy x y 22. xy x y x y tan d d += 23. 5d d xy y xy += 24．y y x y xy sin sin cos cos d d 2=- 25．0d 3d 24223=-+y yx y x y x 26．0d d )1(2=+--y x x y x 27．01)d (d )cos 2(2=-+-y x x x xy28．3)(y y x y '+'=29．x y y 2sin 34=+''30．239x y y =-'' 31．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y x tyy t x 2d d 3d d 32．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=yx tyy x t x 32d d d d四、证明题1．设()y x 是),0[∞+上的连续可微函数，且满足lim (()())0x y x y x →+∞'+=．求证lim ()0x y x →+∞=． 2．证明：一阶微分方程1sin d d 22++=y x y x y 的任一解的存在区间必是(,)-∞+∞．3．证明：若)(x y 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(sin )(d d y y x P x y的解，则0)(≡x y ，其中)(x P 在区间),(∞+-∞上连续．4．设)(x f 为区间),(∞+-∞上的有界连续函数．证明：方程)(d d x f y xy =+ 在区间),(∞+-∞上存在一个有界解． 5．设)(x y 是方程0)(d d )(d d 22=++y x q x y x P x y 的非零解，其中)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续．求证：当0)(0=x y 时，必有0d d 0≠=x x x y ． 6．证明，当0,0p q ≥>时，方程 0y py qy '''++=的一切解在[0,)+∞上有界．7．试证当0,0p q >>时，方程0y py qy '''++=的一切解当x →+∞，都趋于零．8．设方程()()0y p x y q x y '''++=中()p x 和()q x 在(,)-∞+∞上连续，且()0q x <．求证：对方程的任一满足00()y x y =的非零解()y y x =．函数0()d ()()()e xx p t t f x y x y x ⎰'=为(,)-∞+∞上的严格单调递增函数，其中0,0()x y 为平面内任一点．9．设函数)(t f 在区间),[∞+a 上连续，且0)(lim =+∞→t f t ，试证明：非齐次线性方程 )(4d d 4d d 22t f x t x tx =++ 的任一解)(t x 均有0)(lim =+∞→t x t ． 10．设)(t f 是),0[∞+上的连续函数，且0)(lim =+∞→t f t ．证明：方程 )(7d d 8d d 22t f x t x t x =++ 的任一解)(t x 均满足0)(lim =+∞→t x t ． 11．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．12．假设)(1x y ，)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 定义在),(b a 上的解，其中)(x p ，)(x q 在),(b a 上连续，求明：如果)(1x y ，)(2x y 均在),(0b a x ∈点取局部极值，则)(1x y ，)(2x y 在),(b a 上不能构成方程的基本解组．13．设G 是xoy 平面上的某区域，),(y x f 在G 内连续且对y 是单调不增的．求证：方程 ),(d d y x f xy = 的右行解恒由初值惟一确定．14．假设)(x ϕ在),(∞+-∞上连续，且在该区间上0)(<x ϕ，求证：方程y x xy sin )(d d ϕ=的所有解的存在区间为),(∞+-∞，且是单调不增或单调不减函数．。