章末检测4：第三章 空间向量与立体几何

章末检测卷(三)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c 答案 B

解析 对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a·b ＝0.对于C ，a 2＝b 2，只能推得|a |＝|b |，而不能推出a ＝±b .对于D ，a·b ＝a·c ，可以移项整理推得a ⊥(b －c )．

2．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( ) A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1

答案 A

解析 ∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)， ∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.

3．已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 答案 C

解析 ∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝2－25×6＝0，

∴〈a ，b 〉＝90°.

4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→

＝c ，则用向量a ，b ，

c 可表示向量BD 1→

等于( )

A ．a ＋b ＋c

B ．a －b ＋c

C ．a ＋b －c

D ．－a ＋b ＋c

答案 D

解析 BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→

＝－a ＋b ＋c .

5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )

A ．cos θ＝n·a

|n||a |

B ．cos θ＝|n·a|

|n||a |

C ．sin θ＝n·a

|n||a |

D ．sin θ＝|n·a|

|n||a |

答案 D

解析 若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝

β－90°或θ＝90°－β，cos β＝n·a

|n||a |，∴sin θ＝|cos β|＝|n·a||n||a|.

6．将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD (如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )

A ．相交且垂直

B ．相交但不垂直

C ．异面且垂直

D ．异面但不垂直

答案 C

解析 在题图1中的等腰直角三角形ABC 中，斜边上的中线AD 就是斜边上的高，则AD ⊥BC ，翻折后如题图2，AD 与BC 变成异面直线，而原线段BC 变成两条线段BD 、CD ，这两条线段与AD 垂直，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，故AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BC . 7．在以下命题中，不．正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；

③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →

，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．1 答案 C

解析 ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由向量的数量积的性质知，不正确．

8．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )

A.PC →与BD →

B.DA →与PB →

C.PD →与AB →

D.P A →与CD →

答案 A

解析 建立如图所示的空间直角坐标系．

设矩形ABCD 的长、宽分别为a ，b ，P A 长为c ，则A (0,0,0)，B (b,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，P (0,0，c )． 则PC →＝(b ，a ，－c )，BD →＝(－b ，a,0)，DA →＝(0，－a,0)，PB →＝(b,0，－c )，PD →

＝(0，a ，－c )，AB →＝(b,0,0)，P A →＝(0，0，－c )，CD →

＝(－b,0,0)． ∴PC →·BD →＝－b 2＋a 2不一定为0. DA →·PB →＝0，PD →·AB →＝0，P A →·CD →＝0. 9．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．P (2,3,3) B ．P (－2,0,1) C ．P (－4,4,0) D ．P (3，－3,4)

答案 A

解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →

＝(1,4,1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，

∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．

10.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ，BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为( )

A ．1

B ．2 C. 2

D. 3

答案 C

解析 |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →

＝1＋1＋1

＋0＋0＋2×1×1×cos 120°＝2.∴|CD →

|＝ 2. 11．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于 ( )