江西省上高二中高三上学期第五次月考——数学(理)数学

江西省上高二中
2015届高三上学期第五次月考
数学（理）试题
一、选择题
1．若复数满足，则复数的虚部为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．设全集U=R ,若集合M =，N =，则=
（ ）
A ．（－3，2）
B ．（－3，1） Ｃ．（－∞，1）∪（4，+∞） ）D ．（－3，0）
3．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )
A.103 B ．4 C.163
D ．6 4. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
( )
A ．48+8
B ．48
C ．32+8
D ．80
最5. 已知函数()sin cos f x a x b x =-（a 、b 为常数，）在处取得
小值，则函数是（ ）
A. 奇函数且它的图象关于点对称
B. 奇函数且它的图象关于点对称
C. 偶函数且它的图象关于点对称
D. 偶函数且它的图象关于点对称
6．下列命题中是假命题．．．
的是（ ） A ． 243,()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅使是幂函数，且在上递减
B ．使得函数是偶函数；
C ．使得cos()cos cos α+β=α+β；
D ．,lg()lg lg a b R a b a b +∀∈+≠+，;
7．定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（ ）
A ．减函数且
B ．减函数且
C ．增函数且
D ．增函数且
8. 已知函数9()4,(0,4),1
f x x x x =-+∈+当时，取得最小值，则在直角坐标系中函数的图像为（ ）
9.如右图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面则线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数的定义域为的单调函数，且对任意的
实数x 、y ，等式恒成立，若数列 满足，且11()(2)
n n f a f a +=--，则的值为( ) A.4017 B.4018 C.4019 D.4021
11．中，，AB=2，AC=1，D 是边BC 上的一点（包括端点），则•的取值范围是（ ）
A ． [1，2]
B ．[0，1]
C ． [﹣5，2]
D ． [0，2]
12．已知函数()()2212,3ln 2
f x x ax
g x a x b =+=+设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（ ） A ． B ． C ． D ．
二．填空题
13、在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示的面积，若=B a c b S C c ∠-+=
则),(4
1,sin 222=
14.表示不超过的最大整数.
13S =++=，
210S =++++=，
321S =++++++=，那么
S 9= --------------
15.下列四个命题：
①函数与的图像关于直线对称； ②函数2()lg(2)f x ax x a =-+的值域为，则实数的取值范围为；
③在中，“”是“”的充分不必要条件；
④数列的通项公式为22()n a n λn n N +=++ ∈，若是单调递增数列，则实数的取值范围为。

其中真命题的序号是_________
16．已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间内任取两个实数，且，不等式
1)1()1(>-+-+q p q f p f 恒成立，则实数的取值范围为_____________．
三．解答题（共70分）
17（本小题满分12分）已知集合{}2320A x x x =-+≤，集合{}22B y y x x a ==-+，集合{}240C x x ax =--≤.命题，命题，
（I ）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（II ）若命题为假命题，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）在所对的边分别为a,b,c,且
（1）求()2B+C 2sin +cos2B+C 2
； （2）若,求面积的最大值.
19．(本小题满分12分)如图：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1．
（1）求证：A 1C//平面AB 1D ；
（2）求点C 到平面AB 1D 的距离．
（3）求二面角B —AB 1—D 的大
小；
20. （本题满分12分）
已知函数，．
（1）当时，判断方程在区间上有无实根；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21. (本小题满分12分)
已知等差数列的前项和为，并且，，数列满足：，11()2n n n b b n N n +++=
∈，记数列的前项和为. （1）求数列的通项公式及前项和公式；
（2）求数列的通项公式及前项和公式；
（3）记集合2(2T ){|,}2
n n S M n λn N n +-=≥∈+，若的子集个数为16，求实数的取值范围。

22、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.
(1)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

2015届高三第五次月考数学试卷（理科）答案1.2
DBCAB DABCD CA 13. 45° 14. 171 15. ②④ 16.
17.解：（1）()222B+C cos ,2sin +cos2B+C =2cos cos 2322
A A A =+且
()242141cos +2cos 12939A A =+-=⨯+= （2）2222a 2cos b c bc A =+-由得
即222
2423=22c 333
9211929535sin 1=22234ABC bc b c bc b bc bc S bc A ∆+-⨯≥-⨯=∴≤⎛⎫∴=≤⨯⨯-=⨯ ⎪⎝⎭
面积的最大值为
18.
19.（
1）连接A 1B ，设A 1B∩AB 1=E ，连结DE ，
∵ABC —A 1B 1C 是正三棱柱且AA 1=AB ，
∴四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点，
又D 是BC 的中点，∴DE//A 1C ……………………3分 DE 平面AB 1D ，A 1C 平面AB 1D ，∴A 1C//平面AB 1D ……………………4分
（2）∵平面B 1BC 1⊥平面ABC 且AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1， 又AD 平面AB 1D ，∴平面B 1BCC 1⊥平面AB 1D ，
在平面B 1BCC 1内作CH ⊥B 1D 交B 1D 的延长线于点H ，则 CH 的长度就是点C 到平面ABCD 的距离
由△CDH ∽△B 1DB 得：5
511=⋅=D B CD BB CH ， 即点C 到平面AB 1D 的距离是 ……………………………………8分 （或者等体积法）
（3）在平面ABC 内作DF ⊥AB 于点F ，在平面A 1ABB 1内作FG ⊥AB 1于点G ，连结DG 。

∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，
∴DF ⊥平面A 1ABB 1，FG 是DG 在平面A 1ABB 1上的射影， ∵FG ⊥AB 1， ∴DG ⊥AB 1， ∴∠FGD 是二面角B —AB 1—D 的平面角 ……6分 ∵A 1A=AB=1，在正△ABC 中，，在△ABE 中，FG=
在Rt △DFG 中，3
6tan ==∠FG DF FGD ， ∴二面角B —AB 1—D 的大小为 ……………………12分 21. 解： （1）时，令()()()1
2ln h x f x g x x x x =-=--，
()2
22112'()10x h x x x x -=+-=≥，在上为增函数 又，所以在内无实数根 。

5分
（2）恒成立， 即恒成立，
又，则当时，恒成立，
令，只需小于的最小值，
()()
2222(ln ln 2)'1x x x G x x -++=- ， ， 当时，
在上单调递减，在的最小值为，
则的取值范围是 。

12分
20.解析：（1）设数列的公差为，
由题意得，解得，∴，∴。

（2）由题意得， 叠乘得121121112()()21212
n n n n n n n b b b n n n b b b b b n n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=--. 由题意得231232222n n n T =++++ ① 234111*********
n n n n n T +-=+++++ ② ②—① 得：11111(1)11111222112248222212n n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=--- ∴
（3）由上面可得，令，
则，，，，。

下面研究数列的单调性，
∵2211(1)1(1)(2)(1)()222
n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=， ∴时，，，即单调递减。

∵集合的子集个数为16，∴中的元素个数为4，
∴不等式，解的个数为4，
∴
22、解：当a =－3时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-=35
2321252)(x x x x x x f ， 不等式f(x)≥3的解集为。

5分
(Ⅱ) |x + a| + |x －2|≤|x －4|，有|x + a| ≤|x －4|-|x －2|， 当有|x + a| ≤(4-x)-(2-x)=2, 即。

10分。