常用逻辑用语章节能力测试题

常用逻辑用语章节能力测试题
一、选择题(本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．)
1．已知原命题：“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )
A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真
B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假
C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真
D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 2．给出下列命题：
①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3
在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；
④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①②③
D ．①②④
3．已知命题p ：点P 在直线y ＝2x －3上；命题q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使命题“p 且q”为真命题的一个点P(x ，y)是( )
A ．(0，－3)
B ．(1,2)
C ．(1，－1)
D ．(－1,1)
4．若命题p ：圆(x －1)2
＋(y －2)2
＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( )
A ．“p∨q”为假
B ．“p∨q”为真
C ．“p∧q”为真
D ．以上都不对 5．“p∧q 是真命题”是“p∨q 是真命题”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：a ∈(A ∪B)，那么命题“非p”是( )
A ．a ∈A
B ．a ∈∁U B
C ．a ∉(A∩B)
D ．a ∈(∁U A∩∁U B) 7．如果命题“p ⌝∨q ⌝”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( )
①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧q”是假命题；
③命题“p∨q”是真命题； ④命题“p∨q”是假命题． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④
8．已知命题p 1：函数y ＝2x
－2－x
在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x
＋2－x
在R 上为减函数，
则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(⌝p 1)∨p 2与q 4：p 1∧(⌝p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4
9．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a≥－2x 2
＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．a≤－3或a>2
B ．a≥2
C ．a>－2
D ．－2<a<2
10．命题p ：∃m 0∈R ，使方程x 2
＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“⌝p”形式的命题是( )
A ．∃m 0∈R ，使得方程x 2
＋m 0x ＋1＝0无实根
B ．对∀m ∈R ，方程x 2
＋mx ＋1＝0无实根 C ．对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根 11．“∃x 0∉M ，p(x 0)”的否定是( )
A ．∀x ∈M ，⌝p(x)
B ．∀x ∉M ，p(x)
C ．∀x ∉M ，⌝p(x)
D ．∀x ∈M ，p(x)
12．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2
－3x ＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是( )
A ．②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．命题“末位数字是0的整数能被5整除”．条件p 是____________________，结论q 是________________，是________命题．(填“真”或“假”)
14．已知命题p ：x≤1，命题q ：1
x <1，则⌝p 是q 的________条件．(填“充要”，“充分
不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中的一个)
15．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________． 16.命题“存在x R ∈，使得2
250x x ++=”的否定是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x ，a x
>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x|. (4)∃x 0∈R ，使x 2
0＋1<0.
18．（12分）写出下列命题的否定．
(1)正方形的四条边都相等；
(2)已知a ，b ∈N ，若ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除； (3)若x 2
－4x ＋3＝0，则x ＝3或x ＝1.
19．(12分)已知命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2
≤0的解集为∅；命题乙：函数y ＝(2a 2－a)x
为增函数，当甲、乙有且只有一个是真命题时，求实数a 的取值范围．
20．(12分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f(x)＝－(5－2m)x
是减函数．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．
21 (12分)设0,,1a b c <<，求证：(1),(1),(1)a b b c c a ---4
1
22．(12分)设命题p ：实数x 满足x 2
－4ax ＋3a 2
<0，其中a>0，命题q ：实数x 满足
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2) ⌝p 是⌝q 的充
分不必要条件，求实数a 的取值范围．
常用逻辑用语章节能力测试题答案及解析
一、选择题(本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．)
1．D ．解析：因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．
2．C ．解析： ①∠A ＞∠B ⇒a ＞b ⇒sin A ＞sin B ．②③易知正确．④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，故①②③正确．
3．C ．解析： p 且q 为真命题，则p 、q 都是真命题，∴点P 为直线y ＝2x －3与y ＝－3x
＋2的交点，即(1，－1)．
4．B ．解析：命题p ：直线x ＝1是圆(x －1)2
＋(y －2)2
＝1的一条直径，故p 为真命题．
命题q ：在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π
2，故q 为假命题．
∴p ∧q 为假，p ∨q 为真．
5．A ．解析： p ∧q 是真命题 ⇒p ∨q 是真命题，p ∨q 是真命题推不出p ∧q 是真命题． 6．D ．解析：一般情况下，命题“p 或q”的否定为“非p 且非q”，所以a ∉(A ∪B)⇔a ∈(∁
U
A∩∁U B)．
7．A ．解析： ∵p ⌝∨q ⌝是假命题，∴⌝(p ⌝∨q ⌝)是真命题
即p ∧q 是真命题，∴p ∨q 是真命题．
8．C ．解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴y ＝－2－x
＝－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12x 在R 上为增函数，∴y ＝2x
－2－x
在R 上为增函数，故p 1是真命题．
y ＝2x
＋2－x
在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题． ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 与D ，
q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：⌝p 1是假命题，
(⌝p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A.故选C.
9．B ．解析：依题意：ax 2＋4x ＋a≥－2x 2＋1恒成立，即(a ＋2)x 2
＋4x ＋a －1≥0恒成立，
所以有：2a +>0且0∆≥⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
a>－2，
a 2
＋a －6≥0⇔a≥2.
D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根
10．B.解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对∀m ∈R ，方程x 2
＋mx ＋1＝0无实根”．故选B. 11．C ．
12．D ．解析：当x ＝π4
时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2
－3x ＋2<0得1<x<2，
∴命题q 为真命题．∴p ∧q 为真，p ∧¬q 为假，¬p∨q 为真，¬p∨¬q 为假． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．） 13．一个整数的末位数字是0 这个整数能被5整除 真
14．充分不必要．解析： p ：x≤1⇒⌝p ：x>1⇒1x <1，但1
x
<1推不出 x>1.∴⌝p 是q 的充
分不必要条件．
15．∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>0． 16.对任意x R ∈，都有2
250x x ++≠．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵a x
>0(a>0且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题． (3)y ＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题． (4)对任意x 0∈R ，x 2
0＋1>0.∴命题(4)是假命题． 18．解析：(1)正方形的四条边不都相等；
(2)已知a ，b ∈N ，若ab 能被5整除，则a 、b 都不能被5整除； (3)若x 2
－4x ＋3＝0，则x≠3且x≠1.
19．解析：当甲为真命题时，记集合A ＝{a|(a －1)2
－4a 2
<0}＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪⎪⎪
a<－1或a>
1
3， 当乙为真命题时，记集合B ＝{a|2a 2
－a>1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪
⎪⎪
a<－1
2或a>1
. ∴当甲真乙假时，集合M ＝A∩(∁R B)＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪⎪⎪
1
3<a≤1
；当甲假乙真时，集合N ＝(∁R A)∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪
⎪⎪
－1≤a＜－1
2. ∴当甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围是M ∪N ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪
－1≤a<－
1
2或1
3<a≤1. 20．解析：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即若p 是真命题，则m<1；
若f(x)＝－(5－2m)x
是减函数，须5－2m>1，即q 是真命题时，则m<2.
由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题，
因此有⎩
⎪⎨
⎪⎧
m<1
m≥2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
m≥1，
m<2，解得：1≤m<2，所以实数m 的取值范围为1≤m<2．
21 证明：假设(1),(1),(1)a b b c c a ---同时大于
41，即11(1),(1),44
a b b c ->-> 1
(1)4c a ->，而1111
,,2222
a b b c -+-+≥>≥>
11
,22c a -+≥>得1113
2222a b b c c a -+-+-+++> 即33
22
>，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立 22．解析：(1)由x 2－4ax ＋3a 2
<0得(x －3a)(x －a)<0，又a>0，所以a<x<3a ，
当a ＝1时，1<x<3，即p 为真命题时实数x 的取值范围是1<x<3.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6≤0，x 2
＋2x －8>0.解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2≤x≤3，
x<－4或x>2.
即2<x≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x≤3.
若p ∧q 为真，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
1<x<3，
2<x≤3⇔2<x<3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．
(2) ⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，即⌝p ⇒⌝q 且⌝q ⌝p.
设A ＝{x|x≤a 或x≥3a}，B ＝{x|x≤2或x>3}，则A 是B 的真子集. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2，所以实数a 的取值范围是(1,2]．。