2024年新高考九省联考新题型选择、填空题专项突破(解析版)

2024新高考九省联考新题型选择、填空题专项突破
第一组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1(2024·浙江温州·温州中学校考一模)某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的10分位数为()
A.93
B.93.5
C.94
D.94.5
【答案】B
【分析】利用百分位数的定义即可得解.
【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，
因为10×80%=8，
所以这组数据的s2=4.8分位数第8个数与第9个数的平均值，即93+94
2
=93.5.
故选：B.
2(2024上·广东汕头·高三统考期末)关于椭圆2,4,7,7,7,8,8,9,9,9与双曲线7+8
2
=7.5的关系，下列
结论正确的是()
A.焦点相同
B.顶点相同
C.焦距相等
D.离心率相等【答案】C
【分析】利用椭圆与双曲线的标准方程分别考虑其性质即可得解.
【详解】对于椭圆s2=1
10
[(7-7)2×3+(8-7)2×2+(9-7)2×3+(4-7)2+(2-7)2]=4.8，显然25-k>
9-k恒成立，
设椭圆的长轴长为e=1
3，短轴长为k，焦距为
41
8，
所以7
4，则
x2
k+5
+
y2
9
=1，则e=1
3，
所以椭圆的焦点为±4,0
，焦距为k>4，顶点和离心率是变化的；
对于双曲线e2=(k+5)-9
k+5
=1
9，显然其焦点在k=
41
8轴上，只需考虑焦距即可，不妨设其焦距为2c2，
则c22=9+7=16，故e2=9-(k+5)
9
=1
9，所以双曲线的焦距为2c2
=8；
所以椭圆与双曲线的焦距相等，故C正确，其余选项都不正确.故选：C.
3(2024上·陕西西安·高三统考期末)设数列a n
是递增的等比数列，公比为41
8，前a n
项和为S n.若
n，则S5=()
A.31
B.32
C.63
D.64
【答案】A
【分析】由等比数列基本量的计算结合已知得首项、公比，从而由等比数列求和公式运算即可得解.【详解】由题意可得S11=，整理得2q2-5q+2=0，解得a n
或a4<a6，
而a3+a7=34，且数列a n
是递增的等比数列，所以a4⋅a6=280不符合题意，
所以a4=14,a6=20，则S11=11(a1+a11)
2
=11a6=2201，
故m⎳l.
故选：A.
4(2024上·江苏无锡·高三江苏省江阴长泾中学校考阶段练习)已知m，n，l是三条不重合的直线，
l⎳α⇒m⎳α是两个不重合的平面，则下列说法不正确的是()
A.若l⎳β，m⎳β，则l⊂α
B.若m⊂α⇒α⎳β，l⎳m，l⊂α，则m⎳n
C.若m⎳n，m⎳β，则l⊂α
D.若m、n是异面直线，m⊂α，l∩m=M⇒α⎳β，l⊥m且l⊥n，则m⎳α
【答案】B
【分析】A：由面面平行证明线面平行的过程进行判断；B：根据面面平行时两个平面内直线的位置关系作出判断；C：根据平行的传递性进行判断；D：结合图示以及异面直线特点和线面平行的性质进行判断.
【详解】对于A：两个平面平行，一个平面内的一条直线平行于另外一个平面，故A正确；
对于B：两个平行平面内的两条直线位置可以是平行或异面，即m⎳n不一定正确，故B错误；
对于C：两条平行线中的一条直线垂直于某个平面，则另外一条直线也垂直于此平面，故C正确；
对于D：如图，
因为m⎳l，所以存在直线α⎳β，α,β且满足m,l，又l⊥m，所以l⎳m，
同理存在直线l⊂α，m⊂β且满足α,β，又l⊥n，所以l∩m=M，
因为l⎳β是异面直线，所以m⎳β相交，设a∩b=A，
又a,b⊂α，所以B，故D正确．
故选：B．
5(2024上·河南焦作·高三统考期末)小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为()
A.48
B.32
C.24
D.16
【答案】C
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】1与4相邻，共有A22=2种排法，
两个2之间插入1个数，
共有A12=2种排法，再把组合好的数全排列，共有A33=6种排法，
则总共有2×2×6=24种密码．
故选：C
6(2024·全国·校联考模拟预测)在平面直角坐标系B中，已知A1,0
，B0,3
，动点P满足B，且x +
y =1，则下列说法正确的是()
A.P 的轨迹为圆
B.P 到原点最短距离为1
C.P 点轨迹是一个菱形
D.点P 的轨迹所围成的图形面积为4
【答案】C
【分析】由题意得B ，结合A 可知A ，画出图形可知P 点轨迹是一个菱形，故C 错误A 正确；由点到直线的距离即可验证B ；转换成B 面积的两倍来求即可.
【详解】设P 点坐标为a ,b ，则由已知条件B 可得B ，整理得A ．又因为B ，所以P 点坐标对应轨迹方程为B ．
A 33=6，
且3×6=18时，方程为A ；A ，且b <0时，方程为b =3a -3；A 33=6，且6×6=36时，方程为b =3a +3；sin θ+3π
4 =，且b <0时，方程为3a +b =-3．P 点对应的轨迹如图所示：55，且255
，所以P 点的轨迹为菱形．A 错误，C 正确；原点到tan θ：3a +b -3=0的距离为tan ∠POx =1
2B 错误；
轨迹图形是平行四边形，面积为tan ∠QOx =2
2
=1，D 错误．
故选：C ．
7(2024·全国·模拟预测)已知tan θ=tan ∠QOx -∠POx =
tan ∠QOx -tan ∠POx
1+tan ∠POx tan ∠QOx =1-121+12
=
1
3，θ，则sin 2θ+cos 2θ=1等于()
A.sin θ=1010,cos θ=31010
B.
2
3
C.=
55
D.C
【答案】D
【分析】结合两角和的正弦公式及切化弦即可求解.【详解】因为sin 2α+β =sin α+α+β =sin αcos α+β +cos αsin α+β ，所以F 21,0 ．
两边除以F 30,1 ，得22．故选：D ．
8(2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)已知直线C 过双曲线x 的左焦点y ，
且与双曲线的
左支交于C ，C 两点，并满足CB =4FB
，点P 与点C 关于原点对称，若△F 1PF 2，则双曲线C 的离心率P (
)
A.∠F 1PF 2
B.
5
3
C.
102
D.
103
【答案】C
【分析】设双曲线的右焦点为F 1，得到四边形AF 1BF 为矩形，设|BF |=t ，则|CF |=3t ，根据双曲线的定义和△CBF 1为直角三角形，求得P x ,y ，在直角△BFF 1中，利用勾股定理，列出方程，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为F 1，连接-x ，因为x ，所以四边形AF 1BF 为矩形，设|BF |=t ，则|CF |=3t ，由双曲线的定义得：y ，C ，
又因为△CBF 1为直角三角形，所以PF 3 =22
3
，即PF 1 +PF 2 =
42
3
<F 1F 2 =2，，解得t =a ，所以PF 1 +PF 2 ≤PF 1 +PF 2 +PF 3 =22，，又因为△BFF 1为直角三角形，C ，所以F 30,1 ，即F 1F 2 =2，，所以OF 3 =1，，即F 3.故选：C ．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9(2024·山西临汾·统考一模)已知函数△F 1PF 2，则下列说法正确的是()
A.点C 是f (x )图象的一个对称中心
B.函数f (x )在C 上单调递减
C.函数f (x )在0,π2
上的值域为[-2,1] D.函数f (x )在[0,2π]上有且仅有2个极大值点
【答案】ABD
【分析】首先化简f (x )解析式.选项AB ，代入验证可得；选项C ，将2x +
π
6
看作整体，得整体角范围，结合正弦函数图象可求值域；选项D ，由整体角取值求出所有极大值点，再确定[0,2π]上的极大值个数即可.
【详解】0<42-5
3
<1
P 0,42-53 ∠F 1PF 2>90°.
则f (x )的最小正周期为E :x 2
a 2-y 2
b 2=1a >0,b >0 ，
选项A ，当x =
5
12
π时，F 2，故点F 1是f (x )图象的一个对称中心，A 正确；选项B ，当P 时，PF 1 =2PF 2 ，
取到最大值，又f (x )的周期为E ，则f (x )在y =±3x ，即y =±x 单调递减，故B 正确；
选项C ，当y =±2x 时，2PO =PF 1 +PF 2 ，F 1F 2 =PF 2 -PF 1
，
则2PO 2+F 1F 2 2=2PF 1 2+2PF 2 2
，故f (x )在c 上的值域为-1,2 ，C 错误；
选项D ，由b ，解得x =k π+π
6，PF 1 -PF 2 =PF 2 =2a .
当x ∈[0,2π]时，得O 或7π
6
，
所以f (x )在[0,2π]上有且仅有两个极值点，D 正确.故选：ABD .
10(2024上·云南德宏·高三统考期末)已知2PO =PF 1 +PF 2 是复数F 1F 2 =PF 2 -PF 1
的共轭复数，则下列说法正确的是(
)
A.z ⋅z =z 2
B.若|z |=1，则c 2=3a 2
C.a 2+b 2=3a 2
D.若|z +1|=1，则|z -1|的最小值为1
【答案】CD
【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A ；结合特殊值法可判断B ；结合复数模长的性质可判断C ；结合复数的几何意义可判断D .
【详解】对于A ，设a ，则b ，但z 2=a +bi 2=a +bi a +bi =a 2+2abi -b 2，故A 错误；
对于B ，令y =±b
a
x ，满足y ，故B 错误；
对于C ，设y =±a b
x ，则z =a -bi 所以b a ，则c
a z ⋅z =a 2+
b 2⋅a 2+b 2=a 2+b 2，所以f (x )，故C 正确；
对于D ，设π，则π
6
,0 ，
即f (x )，表示以-1,0 为圆心，半径为1的圆，f (x )表示圆上的点到1,0 的距离，故z -1 的最小值为22-1=1，故D 正确.故选：CD
11(2024·全国·校联考模拟预测)已知函数f x 的定义域为=2sin 2x -π3 +3，T =2π
2
=π、π
6,3 都有f x ，且f 0 =1，则(
)
A.f -1 =2
B.f 1 =3
C.f x 是增函数
D.f x 是偶函数
【答案】BC 【分析】通过赋值法求出函数y =f x 解析式，然后逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】令x =5π12，得x =π
12
，则f 1 =3，
令-π2<2x -π3<π2，则-π6<2x <5π6，①
令-π12<x <5π12，则f x ，即-π12,5π12
，②
联立①②可得f x =2x +1，则z
1=z 2
，f 1 =3，A 错B 对，
函数f x =2x +1为增函数，且为非奇非偶函数，C 对D 错.故选：BC .
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的基本性质问题，解题的关键在于对z 1z 2=0、z 1 =z 2 进行赋值，通过构建方程组求解函数解析式，然后利用函数的基本性质来进行判断.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12(2024·全国·高三专题练习)设集合z 1⋅z 1 =z 2⋅z 2 ，z 1 =z 2 ，则z 21=z 2
2，则实数a 的取值范围为.
【答案】0,1
【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足z 1=z 2
，则z 1,z 2，故只需根据包含关系列出不等式组求出参数范围即可.
【详解】由题意z 1
=z 2，z 1=1,z 2=i 或z 1-z 2 =z 1+z 2 ，若满足z 1z 2=i ≠0，则z 1=a +bi a ,b ∈R ,z 2=c +di c ,d ∈R ，又因为z 1 =z 2 ，
所以a 2+b 2=c 2+d 2，解得0<a <1.故答案为：0,1 .
13(2024·广东肇庆·统考模拟预测)在四面体P -ABC 中，z 1 =z 2 ，若z 21=1≠z 2
2=-1，
则四面体P -ABC 体积的最大值是，它的外接球表面积的最小值为.
【答案】 3
3
f (x +2)+f (x )=f (2026)
【分析】根据余弦定理以及不等式可得AB ⋅AC ≤4，进而可求解面积的最大值，进而根据BP ⊥PC ，即可求解高的最大值，进而可求解体积，根据正弦定理求解外接圆半径，即可根据球的性质求解球半径的最小值，即可由表面积公式求解.【详解】由余弦定理可得f (2023)+f (2025)=f (2024),故f (2023)，所以AB ⋅AC ≤4，
当且仅当f (2024)时取等号，故2024
i =1f (i )=2024，
故f (x +2)+f (x )=f (2026)面积的最大值为3，f (x +1)-1，
由于BP ⊥PC ，所以点f (x +2)+f (x )=f (2026)在以f (x +4)+f (x +2)=f (2026)为直径的球上(不包括
平面f (x +4)=f (x ))，故当平面f (x )平面f (x +1)-1时，此时h 最大为半径1
2
BC =1，
故f (-x )+f (x +2)=2，
由正弦定理可得：x =-1，f (1)=1为f (x +2)+f (x )=f (2026)=f (2)外接圆的半径，
设四面体P -ABC 外接球半径为R ,则f (4)=0,其中f (0)=0分别为球心和f (-x )+f (x +2)=2外接圆的圆心，故当OO 1=0时，此时f (0)+f (2)=2最小，
故外接球的表面积为4πR 2=16π
3
,
故答案为：3
3
,f (3)+f (1)=2
14(2023上·上海宝山·高三上海交大附中校考期中)已知OA 、
OB 、OC
为空间中三个单位向量，且OA ⊥OB 、f (2023)+f (2025)=f (3)+f (1)=2、OB 与OC 夹角为120°，点P 为空间一点，满足OP =1且OP ⋅OC ≤OP ⋅OB ≤OP ⋅OA ，则f (2022)最大值为．【答案】
217/1
7
21【分析】以=f (1)+f (3) +f (2)+f (4)为坐标原点，=2+2+0=4为2024i =1
f (i )=506[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]=506×4=2024轴，A =x x 2-2x -24≤0 为B =x m 2<x <m 2+2 轴，垂直于zOy 平面为m 2
轴,建立空间直角坐标系，由OP ⋅OC ≤OP ⋅OB ≤OP ⋅OA
坐标表示得A ∩B =∅，结合不等式的性质进行求解.
【详解】因为OA ⊥OB
、-4≤x ≤6，OB ∩OC =O ，OB ,OC ⊂平面m 2≥0，
所以m 2≥6平面m 2，以6为坐标原点，6为ABE 轴，823为4π
3
轴，垂直于zOy 平面为G 轴，建立如图所
示的空间直角坐标系.
因为OA 、OB 、OC 为空间中三个单位向量，OB 与OC 夹角为120°，即∠BOC =120°，则A 0,0,1 ，
C 0,1,0 ，O ，即ABE ，OC
=0,1,0 ，BCE ，设Rt △OEG ，则O ，
因为OP ⋅OC ≤OP ⋅OB ≤OP ⋅OA ，所以H ，
所以OH ⊥且y ≤z ，
所以OG =1，即OH =EO ⋅OG EG =6
3，
当ABE 时，解得r =EO 2-OH 2=2-23=233；当πr 2=4π3时，解得82
3
；
所以
4π
3
，即min a 1,a 2,⋯,a n ，a 1，解得y 2≤3
7
，
故⋯，
则a n 最大值为217
.故答案为：
217
.【点睛】空间向量数量积的最值问题，可以根据所给向量的关系，直接列出方程或不等式关系，也可以建立适当的空间直角坐标系，利用坐标运算找到代数关系，借助基本不等式或函数思想解决；
第二组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1(2024上·广东汕头·高三统考期末)已知全集10，7,8,9,7,4,8,9,9,7,2，则集合s 2=4.8为()
A.2,4,6,7
B.0,2,4,6,8
C.7+82=7.5
D.s 2=1
10
[(7-7)2×3+(8-7)2×2+(9-7)2×3+(4-7)2+(2-7)2]=4.8
【答案】C
【分析】利用韦恩图即可得解.
【详解】因为x 2k +5
+y 29=1e =1
3，
又k ，所以4187
4
.故选：C .
2(2024·云南昆明·统考一模)某学校运动会男子100m 决赛中，
八名选手的成绩(单位：x 2
k +5
+y 29=1)分别为：e =13，13.15，k >4e 2=(k +5)-9k +5
=1
9，12.96，0<k +5<9，-5<k <4，e 2=9-(k +5)9=
19
，则下列说法错误的是()A.若该八名选手成绩的第k =3百分位数为13.155，则x =13.15B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则x =13.15C.若该八名选手成绩的极差为n ，则12.90≤x ≤13.24D.若该八名选手成绩的平均数为13.095，则x =13.15【答案】A
【分析】举反例判断A ,利用众数和平均数定义判断B 、D ,分情况讨论x 判断C .
【详解】对A ,因为8×75%=6，当a 4<a 6,八名选手成绩从小到大排序a 3+a 7=34，故该八名选手成绩的第a 4+a 6=34百分位数为a 4⋅a 6=280，但x =13≠13.15，故A 错误；
对B ,由众数是出现次数最多的数据，B 正确；
对C ,当S 11=11(a 1+a 11)
2
=11a 6=220，极差为13.24-x >0.34，不符合题意舍去；
当12.90≤x ≤13.24，极差为13.24-12.9=0.34，符合题意
当x>13.24，极差为x-12.9>0.34不符合题意舍去，综上，12.90≤x≤13.24，C正确；
对D,平均数为l⎳m解得x=13.15，故D正确.
故选：A
3(2024上·山东威海·高三统考期末)已知F1，F2分别为双曲线m⎳β的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2+y2=a2相切于点l∩m=M⇒α⎳β，且与双曲线的右支交于点m⎳l，若|PQ|=|QF2|，则该双曲线的离心率为()
A.m⎳α
B.3
C.m⎳l
D.α⎳β
【答案】D
【分析】由勾股定理得α,β，利用双曲线定义可得m,l，即可求解.
【详解】解：连接α⎳β，则OP⊥PF1，如图所示：
由l⊂α，得m⊂β，
而点Q在双曲线的右支上，则α,β，因为l,m⊂α，
所以l∩m=M，即l⎳β，
则双曲线的离心率为：m⎳β，
故选：D
4(2024·全国·模拟预测)已知S n是等差数列A的前B项和，公差C，a1=1，若E成等比数列，则S n+9 a n+3
的最小值为
A.13
6
B.2
C.10-1
D.B 【答案】A
【解析】由B成等比数列可得数列的公差，再利用等差数列的前A项和公式及通项公式可得S n+9
a n+3为关于
A的式子，再利用对勾函数求最小值.
【详解】∵A成等比数列，
∴B，解得：A，
∴B，
令B，令A，其中B的整数，
∵函数B在(0,10]递减，在[10,+∞)递增，
∴当A时，A；当B时，y=9
4，
∴y min=13
6
.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基本量运算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，
考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意6×6=36为整数，如果利用基本不等式求解，等号是取不到的.
5(2024·湖北·校联考模拟预测)在18+36=54中，已知sin θ+3π
4
=，则tan B tan C =()
A.3
B.2
C.
3
D.1
【答案】A
【分析】根据条件，利用降幂升角公式得到55
，由A +B +C =π，得到tan θ，再利用余弦的和差角公式即可求出结果.
【详解】因为sin θ,cos θ，所以tan ∠POx =
1
2
，又A +B +C =π，所以tan θ=tan ∠QOx -∠POx =tan ∠QOx -tan ∠POx
1+tan ∠POx tan ∠QOx =
1-1
21+12
=
13
，得到θ，
整理得sin 2θ+cos 2θ=1，所以sin θ=1010,cos θ=310
10
，故选：A .
6(2024·重庆·统考一模)2023年杭州亚运会吉祥物组合为
“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，
某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为()
A.50
B.36
C.26
D.14
【答案】A
【分析】按照sin θ+
3π4 =sin θcos 3π4+cos θsin 3π4=-22×1010+22×31010和=5
5
分组讨论安排.
【详解】(1)按照C 分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C 24=6种，
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有F 21,0 种，(2)按照F 30,1 分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C 34⋅A 22=8种，
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有C 24A 22=12种，
故共有6+24+8+12=50种，故选：A .
7(2024上·浙江宁波·高三统考期末)将函数y 的图象向右平移
π
6
个单位后得到函数g x 的图象.若y =g x 在-m ,m 上恰有三个不同的零点，则实数C 的取值范围为()
A.△F 1PF 2
B.C
C.P
D.∠F 1PF 2
【答案】A
【分析】根据平移变换得到C ，且x +1
2
+y 2+
x -1
2
+y 2+x 2+y -1 2=22，结合函数零点个数
得到不等式，求出实数C 的取值范围.
【详解】F 3，
由题意得△F 1PF 2，故当x ∈-m ,m 时，∠F 1PF 2>90°，
显然当2x -π6=0，即x =π
12
为y =g x 的一个零点，
要想y =g x 在-m ,m 上恰有三个不同的零点，若x ，解得C ，若y ，无解，若-y ，无解.故选：A
8(2024·全国·高三专题练习)如图，
加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆(或双曲线)上两条相互垂直的切线的交点y 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．则双曲线C 的蒙日圆的面积为(
)
A.x
B.PF 3 =223
C.PF 1 +PF 2 =42
3
<F 1F 2 =2， D.C
【答案】B
【分析】设两条互相垂直的切线的交点为P (x 0,y 0)，设过点x 2
2
+y 2=1且与曲线C 相切的一条切线方程是F 3
0,1 ，
F 1F 2 =2，，由直线与双曲线相切联立方程，且OF 3 =1，，得出关于F 3的一元二次方程组△F 1PF 2，由根与系数的关系即可得出该双曲线蒙日圆的方程，即可求解．
【详解】设两条互相垂直的切线的交点为P (x 0,y 0)，由题可知，双曲线上两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为0，设过点F 30,1 且与曲线C 相切的一条切线方程是C ，P 0,y ，由0<y <1得，
(4-9k 2)x 2+(18x 0k 2-18ky 0)x -9(kx 0-y 0)2-36=0，
则21+y 2=22-1+y ，即(18x 0k 2-18ky 0)2-4⋅(4-9k 2)⋅[-9(kx 0-y 0)2-36]=0，
整理得，y =42-2±(8-42)
6
，
因为过点y =1有两条直线与曲线C 相切，
所以x 20-9≠0，且P 0,42-5
3
，即∠F 1PF 2>90°，则-3<x 0<3，得E :x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 ，
又因为过点F 1的这两条切线互相垂直，所以F 2，即F 1，
故该双曲线的蒙日圆方程为：x 2+y 2=5，半径为P ，
所以该双曲线蒙日圆的面积为PF 1 =2PF 2 ，故选：B ．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9(2024上·山东青岛·高三统考期末)一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，
所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A ：“至少有1个红球”，事件B ：“至少有1个白球”，事件C =A ∩B ，则()
A.事件A ，B 不互斥
B.事件A ，B 相互独立
C.E
D.y =±2x
【答案】AD
【分析】根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断A ,B ；根据条件概率的公式计算P A |B 和P B |A ，可判断C ，由条件概率结合交事件的性质可判断D .
【详解】对于A ,由于至少有一个红球和至少有一个白球，可以同时发生，故事件A 与事件B 不互斥，A 正确；
对于BC ，y =±2x , 2PO =PF 1 +PF 2 ,F 1F 2 =PF 2 -PF 1
,
所以2PO 2+F 1F 2 2=2PF 1 2+2PF 2 2
，故B 错误；故a ，c ，故C 错误；对于D ，a ,故b ,故D 正确，故选：AD .
10(2024上·山东威海·高三统考期末)在正方体PF 1 =2PF 2 中，PF 1 -PF 2 =PF 2 =2a ，PF 1 =4a 分别为线段BD 1，F 1F 2上的动点，则()
A.存在F 1O +F 2O =0 ，PO =PF 1 +F 1O
PO =PF 2 +F 2O
两点，使得2PO =PF 1 +PF 2 B.A 1P ⊥DC 1
C.2PO 2+F 1F 2 2=PF 2 +PF 1 2+PF 2 -PF 1 2=2PF 1 2+2PF 2 2
与D 1C 1所成的最大角为
π
4
D.a 2+b 2=3a 2与平面A 1DC 1所成的最大角的正弦值为
22
3【答案】ABD
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角、线面角的向量求法逐项判断即得.【详解】在正方体a 中，建立如图所示的空间直角坐标系，令b ，
则x ，y =±b
a
x ，
由y 在线段BD 1上，得a 2=b 2+c 2，则P (2t ,2t ,2-2t )，0≤t ≤1，
由f (x )=2sin x ⋅cos x +23sin 2x 在线段f (x )上，得π，则Q (2u ,0,2u )，0≤u ≤1，
对于A ，当u =t =12时，f (x )，即QP ⎳AB ，而Q ∉AB ，则f x =2sin 2x -π
3
+3，A 正确；
对于B ，f x =sin2x +31-cos2x =sin2x -3cos2x +3，=2sin 2x -π3 +3，T =2π
2
=π，则
A 1P ⊥DC 1，
B 正确；
对于C ，f x ，2x -π3=π2+k π，当x =5π12+k π
2
时，k ∈Z ，
此时k =-1与D 1C 1所成的角为90°，C 错误；
对于D ，x =5π12，设平面A 1DC 1的法向量n =(x ,y ,z )，则-π2<2x -π3<π
2
，
令-π6<2x <5π6，得-π12<x <5π12，f x ，设-π12,5π
12 与平面A 1DC 1所成的角为z 1=z 2 ，
则z 1
=z 2，
当且仅当u =1
2
时取等号，D 正确.
故选：ABD
11(2024·湖南邵阳·统考一模)已知函数f x 与其导函数g x 的定义域均为z 1⋅z 1 =z 2⋅z 2
，
且f x -1 和g 2x +1 都是奇函数，且g 0 =1
3，则下列说法正确的有()
A.g x 关于z 1,z 2对称
B.f x 关于z 1=1,z 2=i 对称
C.g x 是周期函数
D.z 1z 2=i ≠0
【答案】ACD
【分析】对于A ,根据f x -1 为奇函数，得到关系式，两边求导即可判断；对于B ，利用f x 的图象可以由f x -1 向左平移1个单位即可判断；对于C ,根据g 2x +1 是奇函数及g x 关于z 1=1,z 2=i 对称得到关系式，综合分析即可求得周期；对于D ,结合已知条件可求得z 1 =z 2 的值，进一步计算即可.【详解】因为f x -1 为奇函数，所以R ，所以f (x )，即f (x +2)+f (x )=f (2026)，
所以g x 的图象关于直线f (1)+f (3)=2对称.故A 正确；因为f x -1 为奇函数，则其图象关于0,0 对称，向左平移一个单位后得到f x 的图象，则f x 的图象关于-1,0 对称，故B 错误；
因为g 2x +1 为奇函数，则f (x )，则有f (x +1)-1，所以f (1)=1①,
又f (x +2)+f (x )=f (2026)，则f (x +4)+f (x +2)=f (2026)②,由①②f (x +4)=f (x )，则f (x )，
则f (x +1)-1，f (-x +1)-1=-f (x +1)+1，则g x =g (x +8)，
所以8是函数g x 的一个周期.，
g x 是周期函数，故C 正确；
因为g 0 =1
3
，f (x +2)+f (x )=f (2026)=f (2)，x =2
所以f (4)+f (2)=f (2)，f (4)=0，
所以∑i =1
12ig (2i )=(-1-2+3+4-5-6+7+8-9-10+11+12)×
1
3
=4，故D 正确，故选：ACD .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12(2024·湖南邵阳·统考一模)已知f (-x )+f (x +2)=2，则x =0.
【答案】f (0)+f (2)=2
【分析】分别令f (2)=2和f (x +2)+f (x )=2，联立方程组求得f (3)+f (1)=2，再令f (-x )+f (x +2)=2，求得a 0=1，即可求得f (3)+f (3)=2的值.【详解】由f (3)=1，
令f (2023)+f (2025)=f (3)+f (1)=2，可得f (2024)=f (0)=0，即f (2022)+f (2024)=f (2)+f (0)=2
令f (2023)=f (3)=1，可得f (2022)+f (2024)=2f (2023)，即f (2023)，
联立方程组，求得f (2022)，再令f (2024)，可得a 0=1，所以=f (1)+f (3) +f (2)+f (4).故答案为：=2+2+0=4.
13(2024·全国·高三专题练习)如图所示，2024i =1
f (i )=506[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]=506×4=2024内切圆的圆心为I ，若AB =2，AC =1，
∠BAC =120°，则AI ⋅AC =.
【答案】
3-72
【分析】根据余弦定理可得A ∩B =∅，利用等面积法求得内切圆半径x 2-2x -24≤0，再根据数量积的定义结合内切圆性质运算求解.【详解】设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，内切圆半径为r ，由余弦定理可得-4≤x ≤6，即A =x -4≤x ≤6 ，由A ∩B =∅的面积可得m 2≥0，解得内切圆半径m 2≥6，又因为m 2为6的角平分线，可得∠IAC =60°，设AC 与内切圆相切于点D ，连接ABE ，
则ID ⊥AC ，可得4π3
，所以BC .故答案为：
3-72
14(2024上·浙江温州·高三统考期末)已知四棱锥P -ABCD 的底面为边长为1的菱形且∠DAB =60°，O 平面ABCD ，且EO ,OG ，M ，N 分别为边PB 和PD 的中点，EG =22-12=3平面AMN =Q ，则
V =2×AB ×BC ×EO 3=2×2×2×23=82
3，四边形AMQN 的面积等于．
【答案】 23712/1
12
7
【分析】过点A 作AD 的垂线AE ，建立如图空间直角坐标系，设PQ =λPC
，利用空间向量法求出平面O 的
法向量BCE ，由题意可知n
⋅MQ =0，求出点Q 的坐标，进而可求得PQ ；再求得AQ ⊥MN ，从而利用三角形面积公式即可得解.【详解】过点A 作AB 的垂线AE ，建立如图空间直角坐标系，
由题意可知H ，OH ⊥，
则BCE ，OG =1，
设PQ =λPC ，即ABE ，则r =EO 2-OH 2=2-23=23
3
，
所以πr 2=
4π3，设平面82
3
的一个法向量为n =(x ,y ,z )，则min a 1,a 2,⋯,a n ，令y =3，得x =3,z =-3，所以n
=(3,3,-3)，
因为a n 平面max a 1,a 2,⋯,a n a 1，所以A ,M ,N ,Q 四点共面，得n ⋅MQ
=0，
即a n ，解得λ=1
3
，
则a >0，b >0，min max 1a ,1b
,a 2+b 2
，此时PQ =36 2+12 2+13 2=23
；
又max 1a ,1b ,a 2+b 2 =m ，所以AQ ⋅MN =36×-34 +12×14
=0，则AQ ⊥MN ，因为b >0，MN =-34 2+14 2=12
，
所以四边形m ≥1b
的面积为12AQ ⋅MN =12×73×12=7
12.
故答案为：23；7
12.
【点睛】关键点睛：本题主要考查利用向量法证明空间的线面关系，根据A ,M ,N ,Q 四点共面确定n ⋅MQ
=0是本题的关键，属于难题.
第三组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1(2024·江苏·高二学业考试)运动员甲10次射击成绩(单位：环)如下：7,8,9,7,4,8,9,9,7,2，则下列关于这组数据说法不正确的是( ).A.众数为7和9 B.平均数为7
C.中位数为7
D.方差为s 2=4.8
【答案】C
【分析】结合众数、平均数、中位数、方差分别进行计算即可.【详解】由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，故众数为7和9，故A 正确；
计算平均数为7+8+9+7+4+8+9+9+7+2
10
=7，故B 正确；
将10次射击成绩从小到大排列为:2,4,7,7,7,8,8,9,9,9，
则中位数为7+8
2=7.5，故C 错误；
方差为s 2=1
10
[(7-7)2×3+(8-7)2×2+(9-7)2×3+(4-7)2+(2-7)2]=4.8，
故D 正确，故选：C .
2(2023上·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末)已知椭圆
x 2k +5
+y 29=1的离心率e =1
3，则k 的值可能是()A.3 B.7
C.3或
418
D.7或
74
【答案】C
【分析】根据给定的方程，按焦点位置分类求解作答.
【详解】椭圆x 2k +5
+y 29=1的离心率e =1
3，
当椭圆焦点在x 轴上时，k +5>9，即k >4，e 2=(k +5)-9k +5
=19，解得k =41
8，
当椭圆焦点在y 轴上时，0<k +5<9，即-5<k <4，e 2=9-(k +5)
9=1
9
，解得k =3，
所以k的值可能是3或41 8 .
故选：C
3(2023下·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列a n
为递增数列，S n为其前n项和，a3+a7=34,a4⋅a6=280，则S11=()
A.516
B.440
C.258
D.220
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出a4,a6，再利用前n项和公式求解作答.
【详解】等差数列a n
为递增数列，则a4<a6，由a3+a7=34，得a4+a6=34，而a4⋅a6=280，
解得a4=14,a6=20，所以S11=11(a1+a11)
2
=11a6=220.
故选：D
4(2022下·云南昆明·高一昆明市第三中学校考期中)已知直线l，m和平面a、b，下列命题正确的是()
A.m⎳l，l⎳α⇒m⎳α
B.l⎳β，m⎳β，l⊂α，m⊂α⇒α⎳β
C.l⎳m，l⊂α，m⊂β⇒α⎳β
D.l⎳β，m⎳β，l⊂α，m⊂α，l∩m=M⇒α⎳β
【答案】D
【分析】A、B、C根据线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质判断线面、面面的位置关系，根据面面平行的判定判断D.
【详解】A：m⎳l，l⎳α，则m⎳α或m⊂α，错误；
B：若m⎳l时，α⎳β或α,β相交；若m,l相交时，α⎳β，错误；
C：l⎳m，l⊂α，m⊂β，则α,β平行、相交、重合都有可能，错误；
D：l,m⊂α，l∩m=M且l⎳β，m⎳β，根据面面平行的判定知：α⎳β，正确.
故选：D
5(2024上·江西上饶·高二校考阶段练习)某中学进行数学竞赛选拔考试，A，B，C，D，E共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.A和B去向教练询问比赛结果，教练对A说：“你和B都没有得到冠军．”对B说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有()
A.54种
B.72种
C.96种
D.120种
【答案】A
【分析】根据题意分两种情况讨论：
当A是最后一名，B可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次；
当A不是最后一名，A，B需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法计数原理可得.
【详解】根据题意可知A和B都没有得到冠军，且B不是最后一名，分两种情况：
①A是最后一名，则B可以为第二、三、四名，即B有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，
有A33=6种情况，此时有3×6=18种名次排列情况；
②A不是最后一名，A，B需要排在第二、三、四名，有A23=6种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A33=6种情况，此时有6×6=36种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有18+36=54种.
故选A．
6(2024上·江西新余·高三统考期末)如图，sinθ+3π4
=()
A.-
255
B.-
55
C.
55
D.
255
【答案】C
【分析】利用两角差的正切展开式求出tan θ，可得sin θ,cos θ，再由两角和的正弦展开式可得答案.
【详解】由图可知，tan ∠POx =12，tan ∠QOx =2
2
=1，
所以tan θ=tan ∠QOx -∠POx =tan ∠QOx -tan ∠POx 1+tan ∠POx tan ∠QOx =1-121+12=1
3，
因为θ第一象限角，所以sin 2θ+cos 2θ=1可得sin θ=
1010,cos θ=310
10
，所以sin θ+3π4 =sin θcos 3π4+cos θsin 3π4=-22×1010+22×
310
10
=55.
故选：C .7(2024上·四川成都·高三石室中学校考期末)曲线C 是平面内与三个定点F 1-1,0 ，
F 21,0 和F 30,1 的距离的和等于2
2的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线C 关于x 轴、y 轴均对称；
②曲线C 上存在点P ，使得PF 3 =22
3
；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积最大值是1；④曲线C 上存在点P ，使得∠F 1PF 2为钝角.其中所有正确结论的序号是()
A.②③④
B.②③
C.③④
D.①②③④
【答案】C
【分析】根据题意得曲线C 的方程为
x +1
2
+y 2+
x -1
2
+y 2+x 2+y -1 2=22，可判断①错误；
②假设结论成立，推得曲线C 不存在；当点P 为F 3点时，△F 1PF 2的面积最大，最大值是1，故③正确；在曲线C 上再寻找一个特殊点P (0，y )，验证∠F 1PF 2>90°即可判断④正确．【详解】设曲线C 上任意一点P x ,y ，由题意可知C 的方程为
x +1
2
+y 2+x -1
2
+y 2+x 2+y -1 2=2 2.
①错误，在此方程中用-x 取代x ，方程不变，可知C 关于y 轴对称；同理用-y 取代y ，方程改变，可知C 不关于x 轴对称，故①错误.
②错误，若PF 3 =223，则PF 1 +PF 2 =42
3
<F 1F 2 =2，
曲线C 不存在，故②错误.③正确，PF 1 +PF 2 ≤PF 1 +PF 2 +PF 3 =22，
P 应该在椭圆D ：x 2
2
+y 2=1内(含边界)，
曲线C 与椭圆D 有唯一的公共点F 30,1 ，此时F 1F 2 =2，OF 3 =1，当点P 为F 3点时，△F 1PF 2的面积最大，最大值是1，故③正确；④正确，由③可知，取曲线C 上点F 30,1 ，此时∠F 1F 3F 2=90°，下面在曲线C 上再寻找一个特殊点P 0,y ，0<y <1，则21+y 2+1-y =22，
把21+y 2=22-1+y 两边平方，
整理得3y 2+(2-42)y +42-5=0，
解得y =42-2±(8-42)6，即y =1或42-5
3
.
因为0<42-53<1，则取点P 0,42-5
3 ，此时∠F 1PF 2>90°.故④正确．故答案为：C ．
8(2024上·山东青岛·高三统考期末)已知O 为坐标原点，
双曲线E :x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 的左、右焦点依次为F 1、F 2，过点F 1的直线与E 在第一象限交于点P ，若PF 1 =2PF 2 ，OP =7a ，则E 的渐近线方程为()
A.y =±2x
B.y =±3x
C.y =±x
D.y =±2x
【答案】A
【分析】由平面向量的线性运算可得2PO =PF 1 +PF 2 ，F 1F 2 =PF 2 -PF 1 ，由平面向量数量积的运算性质可
得出2PO 2+F 1F 2 2=2PF 1 2+2PF 2 2
，可得出关于a 、c 的齐次等式，由此可得出a 、b 满足的等量关系，由此可得出该双曲线渐近线的方程.【详解】如下图所示：
因为PF 1 =2PF 2 ，由双曲线的定义可得PF 1 -PF 2 =PF 2 =2a ，则PF 1 =4a ，
因为O 为F 1F 2的中点，则F 1O +F 2O =0 ，则PO =PF 1 +F 1O
PO =PF 2 +F 2O
，所以，2PO =PF 1 +PF 2 ，又因为F 1F 2 =PF 2 -PF 1
，
所以，2PO 2+F 1F 2 2=PF 2 +PF 1 2+PF 2 -PF 1 2=2PF 1 2+2PF 2 2
，即27a 2+2c 2=2×4a 2+2×2a 2，整理可得c 2=3a 2，即a 2+b 2=3a 2，所以，b =2a ，
因此，该双曲线的渐近线方程为y =±b a
x =±2x .
故选：A .
【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：
(1)定义法：直接利用a 、b 求得比值，则焦点在x 轴上时，渐近线方程为y =±b a
x ，焦点在y 轴上时，渐近线
方程为y =±a
b
x ；
(2)构造齐次式：利用已知条件结合a 2=b 2+c 2，构建b a 的关系式(或先构建c
a
的关系式)，再根据焦点位置
写出渐近线方程即可.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9(2023下·西藏拉萨·高一统考期末)已知函数f (x )=2sin x ⋅cos x +23sin 2x ，则()
A.f (x )的最小正周期为π
B.
π
6,0 是曲线f (x )的一个对称中心
C.x =
π
12
是曲线f (x )的一条对称轴 D.f (x )在区间π6,5π
12 上单调递增
【答案】AD
【分析】先求出f x =2sin 2x -π
3
+3，结合正弦函数的图像与性质对四个选项一一验证即可.【详解】f x =sin2x +31-cos2x =sin2x -3cos2x +3
=2sin 2x -π3 +3，T =2π
2
=π，A 对．
π
6,3 是曲线f x 的一个对称中心，
B 错．2x -π3=π2+k π，x =5π12+k π2，k ∈Z ，k =-1时，x =-π12，k =0时，x =
5π12∴x =π
12不是f x 的一条对称轴，C 错．
-π2<2x -π3<π2，-π6<2x <5π6，-π12<x <5π12
，∴f x 在-π12,5π
12
上单调递增，D 对．
故选：AD .
10(2024·全国·高三专题练习)设z 1,z 2是复数，
则下列说法正确的是()A.若z 1=z 2 ，则z 1
=z 2 B.若z 1-z 2 =z 1+z 2 ，则z 1z 2=0
C.若z 1 =z 2 ，则z 1⋅z 1 =z 2⋅z 2
D.若z 1 =z 2 ，则z 21=z 2
2【答案】AC
【分析】由共轭复数概念判断A ；令z 1=1,z 2=i 判断B 、D ；根据复数模的求法，结合共轭复数及复数乘法运算判断C ；
【详解】若z 1=z 2 ，则z 1,z 2互为共轭复数，故z 1 =z 2，故A 正确；若z 1=1,z 2=i ，则z 1-z 2 =z 1+z 2 ，而z 1z 2=i ≠0，故B 错误；设z 1=a +bi a ,b ∈R ,z 2=c +di c ,d ∈R ，
若z 1 =z 2 ，则a 2+b 2=c 2+d 2，
又z 1⋅z 1 =a +bi a -bi =a 2+b 2,z 2⋅z 2
=c +di c -di =c 2+d 2，
故z 1⋅z 1 =z 2⋅z 2 ，故C 正确；
若z
1=1,z 2=i ，则z 1 =z 2 ，而z 21=1≠z 22=-1，
故D 错误．。