高中数学必修一第二章基本初等函数知识点与常考题(附解析)

必修一第二章基本初等函数知识点与常考题(附解析)
知识点：
第二章 基本初等函数
2.1 指数函数
2.1.1指数与指数幂的运算
【知识要点】 1、根式的概念：
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0【注意】
(1)n a =
(2)当 n a = ，当 n ,0
||,0
a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
2、分数指数幂
（1）正数的正分数指数幂的意义，规定：0,,,1)m n
a a m n N n *=>∈>且
（2）正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m n
m n
a
a m n N n a
*=
>∈>且
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3、实数指数幂的运算性质
（1）(0,,)r s r s
a a a
a r s R +=>∈
（2）()(0,,)r s rs
a a a r s R =>∈
（3）(b)(0,0,)r r r
a a
b a b r R =>>∈
【注意】
在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122
[(111≠
2.1.2指数函数及其性质
【知识要点】 1、指数函数的概念
一般地，函数x
y a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2
定义域R ,+∞） （1）过定点（0x=0时，y=1
(2)在R 上是增函数 （3）当x>0时,y>1;
2.2 对数函数
2.2.1对数与对数运算
【知识要点】 1、对数的概念
一般地，如果x
a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a x N = （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式） 【注意】
（1）注意底数的限制，a>0且a ≠1； （2）真数N>0；
（3）注意对数的书写格式．
2、两个重要对数
（1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ；
（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化
log x a x N a N =⇔=
对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 【结论】
（1）负数和零没有对数
（2）log a a=1, log a 1=0，特别地，lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 （3）对数恒等式：log N
a a N =
4、如果a > 0，a ≠ 1，M > 0，N > 0 有
（1）log M N log log a a a M N ∙=+（）
两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 （1）N M N
M
a a a
log log log -= 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 （3）log log n n a a M n M =∈（R ）
一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍 【说明】
（1）简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… （2）有时可逆向运用公式
（3）真数的取值必须是(0,＋∞)
（4）特别注意：N M MN a a a log log log ⋅≠
()N M N M a a a log log log ±≠± 5、换底公式
()log lg log 0,1,0,1,0log lg c a c b b
b a a
c c b a a
=
=>≠>≠>
利用换底公式推导下面的结论 ①a
b b a log 1log =
②log log log log a b c a b c d d =③log log m n
a a n
b b m =
2.2.2 对数函数及其性质
【知识要点】 1、
对数函数的概念
函数log a y x = (a>0，且a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+
∞）．
【注意】
（1
）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：log a
y =log 2a y x =+ 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
（2）对数函数对底数的限制：a>0，且a ≠1 2、对数函数的图像与性质
对数函数log
y x =(a>0，且a ≠1)
【重要结论】
在log a b 中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有log a
b>0;
当a,b 不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有log a
b<0.
【口诀】底真同大于0（底真不同小于0）.
（其中，底指底数，真指真数，大于0指log a
b 的值）
3、如图，底数 a 对函数x y a log = 的影响.
规律：底大枝头低, 头低尾巴翘 4考点
Ⅰ、log a b, 当a,b 在1的同侧时, log a b >0；当a,b 在1的异侧时, log a b <0
Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。

掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=log a a)进行传递.
Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性.
Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=log a a ，用y=1去截图象得到对应的底数。

Ⅴ、y=a x (a>0且a ≠1) 与y=log a x(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x 对称。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.
(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0. 6 比较大小的方法
(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较
2.3幂函数
【知识要点】 1、幂函数定义
一般地，形如y x α
=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常
数．
2、幂函数性质归纳
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．
常考题：
一．选择题（共11小题）
1．已知f （x 5）=lgx ，则f （2）=（ ） A ．lg2 B ．lg32 C ．
D ．
2．若x ∈（e ﹣1，1），a=lnx ，b=（）lnx ，c=e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞b ＞c D ．b ＞a ＞c
3．f（x）=则f[f（）]=（）
A．﹣2 B．﹣3 C．9 D．
4．设a=log32，b=ln2，c=，则（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
5．设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）
A．B．C．D．
6．函数y=a x+2﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过的点是（）
A．（0，0）B．（0，﹣1）C．（﹣2，0）D．（﹣2，﹣1）
7．函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1） C．（1，+∞）D．（3，+∞）
8．函数y=的图象大致是（）
A．B．C．D．
9．已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f （x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）
A．10个B．9个C．8个D．1个
10．设函数f（x）=e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）=f（x2），则下列结论一定不成立的是（）
A．x2f（x1）＞1 B．x2f（x1）=1 C．x2f（x1）＜1 D．x2f（x1）＜x1f（x2）11．若四个幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c
二．填空题（共17小题）
12．若a=log43，则2a+2﹣a=．
13．方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．
14．若函数f（x）=是奇函数，则m=．
15．若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是．
16．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．
17．函数的定义域是．
18．计算÷=．
19．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．
20．函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．
21．=．
22．设函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下列命题：
（1）f（x）有最小值；
（2）当a=0时，f（x）的值域为R；
（3）当a＞0时，f（x）在区间[2，+∞）上有单调性；
（4）若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥﹣4．则其中正确的命题是．（写上所有正确命题的序号）．
23．设函数f（x）=2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），有下列命题
①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③；
④．其中正确的命题序号是．
24．已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=．
25．对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=．
26．设函数f（x）=，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是．27．若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=．
28．设，则的定义域为．
三．解答题（共22小题）
29．已知函数f（x）=，
（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．
30．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
31．已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
32．设f（x）=为奇函数，a为常数，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞+m恒成立，求实数m的取值范围．
33．（文）已知函数f（x）=
（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；
（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；
（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．
34．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
35．已知偶函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R），
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
36．已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求使f（x）＞0的x取值范围．
37．已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=1+x+（b∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．
38．已知函数
（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上不等式|f（x）|≤3恒成立，求实数a的取值范围．
39．计算：
（I）（2）+0.2﹣2﹣π0+（）；
（Ⅱ）log3（9×272）+log26﹣log23+log43×log316．
40．已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．
（1）试求f（x）的表达式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；
（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．
41．已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f（x）=log2．
（1）求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．
42．设常数a≥0，函数f（x）=．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
43．已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．
44．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．
45．不用计算器计算：
（1）log3+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0；
（2）（）﹣（）0.5+（0.008）×．
46．已知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；（3）在（2）的条件下，记f﹣1（x）为f（x）的反函数，若关于x的方程f﹣1（x）=5k•2x﹣5k有解，求k的取值范围．
47．已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）利用1）的结论求解不等式2|lnx|≤•|x﹣1|．并利用不等式结论比较ln2（1+x）与的大小．
（3）若不等式对任意n∈N*都成立，求a的最大值．
48．已知f（x）=（a x﹣a﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）讨论f（x）的单调性．
（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．
49．设函数f（x）=e ax（a∈R）．
（I）当a=﹣2时，求函数g（x）=x2f（x）在区间（0，+∞）内的最大值；
（Ⅱ）若函数h（x）=﹣1在区间（0，16）内有两个零点，求实数a的取值范围．
50．已知函数（a＞0），且f（1）=2；
（1）求a和f（x）的单调区间；
（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．
必修一第二章基本初等函数知识点与常考题(附解析)
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．已知f（x5）=lgx，则f（2）=（）
A．lg2 B．lg32 C．D．
【解答】解：令x5=2，
∴得x=，
∵f（x5）=lgx，
∴f（2）=lg=lg2．
故选：D．
2．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx
∴a∈（﹣1，0），即a＜0；
又y=为减函数，
∴b=＞==1，即b＞1；
又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），
∴b＞c＞a．
故选：B．
3．f（x）=则f[f（）]=（）
A．﹣2 B．﹣3 C．9 D．
【解答】解：∵f（x）=，
∴==﹣2．
∴f[f（）]=f（﹣2）==9．
故选：C．
4．设a=log32，b=ln2，c=，则（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【解答】解：a=log32=，b=ln2=，
而log23＞log2e＞1，所以a＜b，
c==，而，
所以c＜a，综上c＜a＜b，
故选：C．
5．设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意=
故选：C．
6．函数y=a x+2﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过的点是（）
A．（0，0）B．（0，﹣1）C．（﹣2，0）D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：令x+2=0，解得x=﹣2，
所以当x=﹣2时，函数y=a0﹣1=0，
即函数y=a x+2﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（﹣2，0）．
故选：C．
7．函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1） C．（1，+∞）D．（3，+∞）
【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）=x2﹣2x﹣3单调递减，
而0＜＜1，由复合函数单调性可知y=log 0.5（x2﹣2x﹣3）在（﹣∞，﹣1）上
是单调递增的，在（3，+∞）上是单调递减的．
故选：A．
8．函数y=的图象大致是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，
所以排除A，B
当x=1时，f（x）=0排除C
故选：D．
9．已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f （x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）
A．10个B．9个C．8个D．1个
【解答】解：作出两个函数的图象如上
∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数
∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，
在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，
在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，
且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，
再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x=1时y=0；x=10时y=1，
再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，
故选：A．
10．设函数f（x）=e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）=f（x2），则下列结论一定不成立的是（）
A．x2f（x1）＞1 B．x2f（x1）=1 C．x2f（x1）＜1 D．x2f（x1）＜x1f（x2）【解答】解：f（x）=，
作出y=f（x）的图象，
若0＜x1＜1＜x2，则f（x1）=＞1，f（x2）=x2＞1，
则x2f（x1）＞1，则A可能成立；
若0＜x2＜1＜x1，则f（x2）=＞1，f（x1）=x1＞1，
则x2f（x1）=x2x1=1，则B可能成立；
对于D．若0＜x1＜1＜x2，则x2f（x1）＞1，x1f（x2）=1，则D不成立；
若0＜x2＜1＜x1，则x2f（x1）=1，x1f（x2）＞1，则D成立．
故有C一定不成立．
故选：C．
11．若四个幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c
【解答】解：幂函数a=2，b=，c=﹣，d=﹣1的图象，正好和题目所给的形
式相符合，
在第一象限内，x=1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b ＞c＞d．
故选：B．
二．填空题（共17小题）
12．若a=log43，则2a+2﹣a=．
【解答】解：∵a=log43，可知4a=3，
即2a=，
所以2a+2﹣a=+=．
故答案为：．
13．方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．
【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，
∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），
化为（3x）2﹣12•3x+27=0，
因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，
∴3x=3，3x=9，
解得x=1或2．
经过验证：x=1不满足条件，舍去．
∴x=2．
故答案为：2．
14．若函数f（x）=是奇函数，则m=2．
【解答】解：∵函数f（x）=是奇函数，
∴f（﹣x）+f（x）=+=0，
化为（m﹣2）（2x﹣1）=0，
∵上式恒成立，∴m﹣2=0，
解得m=2．
故答案为：2．
15．若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是0＜a＜．
【解答】解：①当0＜a＜1时，作出函数y=|a x﹣1|图象：
若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点
由图象可知0＜2a＜1，
∴0＜a＜．
②：当a＞1时，作出函数y=|a x﹣1|图象：
若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点
由图象可知0＜2a＜1，
此时无解．
综上：a的取值范围是0＜a＜．
故答案为：0＜a＜
16．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实
数a的取值范围是（1，2] ．
【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+
∞），
故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．
①若a＞1，f（x）=3+log a x在它的定义域上单调递增，
当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．
②若0＜a＜1，f（x）=3+log a x在它的定义域上单调递减，
f（x）=3+log a x＜3+log a2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．
综上可得，1＜a≤2，
故答案为：（1，2]．
17．函数的定义域是[0，+∞）．
【解答】解：由函数可得，1﹣≥0，即≤，解得x≥0，故函数的定义域是[0，+∞），
故答案为[0，+∞）．
18．计算÷=﹣20．
【解答】解：
=lg
=﹣20
故答案为：﹣20
19．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=
．
【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，
所以，
解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；
当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，
所以，
解得b=﹣2，a=，
综上a+b=，
故答案为：
20．函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．
【解答】解：∵f（x）=log 2•log（2x）
∴f（x）=log（）•log（2x）
=log x•log（2x）
=log x（log x+log2）
=log x（log x+2）
=，
∴当log x+1=0
即x=时，函数f（x）的最小值是．
故答案为：﹣
21．=﹣4．
【解答】解：=
==﹣4
故答案为：﹣4．
22．设函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下列命题：
（1）f（x）有最小值；
（2）当a=0时，f（x）的值域为R；
（3）当a＞0时，f（x）在区间[2，+∞）上有单调性；
（4）若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥﹣4．则其中正确的命题是（2）（3）．（写上所有正确命题的序号）．
【解答】解：∵u=x2+ax﹣a﹣1的最小值为﹣（a2+4a+4）≤0
∴函数f（x）的值域为R为真命题，故（2）正确；
但函数f（x）无最小值，故（1）错误；
若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，
则
解得a＞﹣3，故（3）正确，（4）错误；
故答案为：（2）（3）．
23．设函数f（x）=2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），有下列命题
①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③；
④．其中正确的命题序号是①③④．
【解答】解：=，所以对于①成立，
+≠，所以对于②不成立，
函数f（x）=2x，在R上是单调递增函数，
若x1＞x2则f（x1）＞f（x2），则，
若x1＜x2则f（x1）＜f（x2），则，故③正确
说明函数是凹函数，而函数f（x）=2x是凹函数，故
④正确
故答案为：①③④
24．已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）（x＞1）．
f（x）=1+a x的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．
把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）．
故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．
25．对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=2．
【解答】解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），
所以对于函数f（x），
当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，
又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，
故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，
故答案为：2．
26．设函数f（x）=，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，
当x0＞0时，则x0＞1，
故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
27．若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，
且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=．
【解答】解：当a＞1时，有a2=4，a﹣1=m，
此时a=2，m=，此时g（x）=﹣为减函数，不合题意；
若0＜a＜1，则a﹣1=4，a2=m，故a=，m=，g（x）=在[0，+∞）上是增函数，符合题意．
故答案为：．
28．设，则的定义域为（﹣4，﹣1）∪（1，4）．【解答】解：要使函数有意义，则解得x∈（﹣2，2）
要确保两个式子都要有意义，则⇒x∈（﹣4，﹣1）∪
（1，4）
故答案为：（﹣4，﹣1）∪（1，4）
三．解答题（共22小题）
29．已知函数f（x）=，
（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=，
令g（x）=﹣x2﹣4x+3，
由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，
而y=t在R上单调递减，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，
即函数f（x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）．
（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3，
所以h（x）应有最小值﹣1，
因此=﹣1，
解得a=1．
即当f（x）有最大值3时，a的值等于1．
（3）由指数函数的性质知，
要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．
应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，
因此只能有a=0．
因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．
故a的取值范围是{0}．
30．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即
又由f（1）=﹣f（﹣1）知．
所以a=2，b=1．
经检验a=2，b=1时，是奇函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．
又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式．
所以k的取值范围是k＜﹣．
31．已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：﹣3＜x＜1，
则函数的定义域为：（﹣3，1）
（2）函数可化为f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）
由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，
即x2+2x﹣2=0，
∵，∴函数f（x）的零点是
（3）函数可化为：
f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）=log a[﹣（x+1）2+4]
∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，
∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，
即f（x）min=log a4，由log a4=﹣4，得a﹣4=4，
∴
32．设f（x）=为奇函数，a为常数，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞+m恒成立，求
实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．
∴．检验a=1（舍），∴a=﹣1．
（2）由（1）知
证明：任取1＜x2＜x1，∴x1﹣1＞x2﹣1＞0
∴
即f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（1，+∞）内单调递增．
（3）对[3，4]于上的每一个x的值，不等式恒成立，即
恒成立．
令．只需g（x）min＞m，
又易知在[3，4]上是增函数，
∴．
∴时原式恒成立．
33．（文）已知函数f（x）=
（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；
（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．
【解答】解：（1）由题意知，≥3x；
化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，
解得，﹣1≤3x≤；
故x≤﹣1；
（2）由题意，f（0）==0，
故a=1；
再由f（1）+f（﹣1）=0得，b=3；
经验证f（x）=是奇函数，
（3）证明：∵y=f（x）的定义域为R，∴b≥0；
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）=（3a+b），
∵x1＜x2，∴＞0；
故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，
当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，
当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性．
34．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题设知：当m=7时：|x+1|+|x﹣2|＞7，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
，或，或，
解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，等价于m+4≤3，
∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
35．已知偶函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R），
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个
公共点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=f（﹣x）得到：f（﹣1）=f（1）⇒log4（4﹣1+1）﹣k=log4（4+1）+k，
∴．
（Ⅱ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点
即方程有且只有一个实根
化简得：方程有且只有一个实根
令t=2x＞0，则方程有一个正根
①，不合题意；
②或﹣3
若，不合题意；若
③若一个正根和一个负根，则，即a＞1时，满足题意．
所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=﹣3}
36．已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求使f（x）＞0的x取值范围．
【解答】解：（1）由对数函数的定义知．如果，则﹣1＜x＜1；如果，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（﹣1，1）
（2）∵，
∴f（x）为奇函数．
（3）（ⅰ）对a＞1，log a等价于，①
而从（1）知1﹣x＞0，故①等价于1+x＞1﹣x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log a等价于
0＜．②
而从（1）知1﹣x＞0，故②等价于﹣1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（﹣1，0）时有f（x）＞0．
37．已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=1+x+（b∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由为奇函数得f（﹣x）+f（x）=0，即，
所以，解得a=1，
经检验符合题意，故，
所以f（x）的定义域是（﹣1，1）；
（Ⅱ）不等式f（x）≤lgg（x）等价于，
即b≥x2+x在有解，
故只需b≥（x2+x）min，
函数在单调递增，
所以，
所以b的取值范围是．
38．已知函数
（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上不等式|f（x）|≤3恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）a=1时，，
∵f（x）在（﹣∞，0）上递减，∴f（x）＞f（0），
∴f（x）∈（3，+∞）．
（2）|f（x）|≤3即﹣3≤f（x）≤3⇔﹣4﹣≤a≤2﹣
⇔﹣4•2x﹣≤a≤2•2x﹣，
∵2•2x﹣在[0，+∞）上单调递增，
∴2•2x﹣≥1；
令g（x）=⇔﹣4•2x﹣（x≥0），g′（x）=﹣4ln2•2x﹣ln2=
＜0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（0）=﹣5．
由﹣4•2x﹣≤a≤2•2x﹣恒成立，得﹣5≤a≤1．
所以实数a的取值范围为[﹣5，1]．
39．计算：
（I）（2）+0.2﹣2﹣π0+（）；
（Ⅱ）log3（9×272）+log26﹣log23+log43×log316．
【解答】解：（Ⅰ）
=
=
=
=；
（Ⅱ）
=
=
=
=8（log33）+1+2
=8+1+2
=11．
40．已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．
（1）试求f（x）的表达式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；
（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，
设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则
f（x）=﹣f（﹣x）
=﹣（2x+2﹣x），
故f（x）=；
（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）
=，
∵x1＜x2＜0，
∴﹣＜0，0＜＜1，
故f（x1）﹣f（x2）＞0，
故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；
（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为
t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，
化简可得，t＞﹣，
令g（x）=﹣=﹣1+，
∵x∈（0，1），
∴g（x）＜﹣1+=0，
故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为
t＞0．
41．已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f（x）=log2．
（1）求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．
【解答】解：（1）由，
得32x﹣4﹣10•3x﹣2+9≤0，
即（3x﹣2﹣1）（3x﹣2﹣9）≤0，
∴1≤3x﹣2≤9，2≤x≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）因为
=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
当，即时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当log2x=1或log2x=2，即x=2或x=4时，y max=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
42．设常数a≥0，函数f（x）=．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
【解答】解：（1）∵a=4，
∴
∴，
∴，
∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，
∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．
∵2x﹣2﹣x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，
∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）=，满足条件；
当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
43．已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．
【解答】解：（1）①若a＞0，b＞0，则y=a•2x与y=b•3x均为增函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为增函数；
②若a＜0，b＜0，则y=a•2x与y=b•3x均为减函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R 上为减函数．
（2）①若a＞0，b＜0，
由f（x+1）＞f（x）得a•2x+1+b•3x+1＞a•2x+b•3x，
化简得a•2x＞﹣2b•3x，即＞，
解得x＜；
②若a＜0，b＞0，
由f（x+1）＞f（x）可得＜，
解得x＞．
44．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）为偶函数，∴﹣2m2+m+3为偶数，
又f（3）＜f（5），∴＜，即有：＜1，
∴﹣2m2+m+3＞0，∴﹣1＜m＜，又m∈Z，∴m=0或m=1．
当m=0时，﹣2m2+m+3=3为奇数（舍去），
当m=1时，﹣2m2+m+3=2为偶数，符合题意．
∴m=1，f（x）=x2
（2）由（1）知：g（x）=log a[f（x）﹣ax]=log a（x2﹣ax）（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数．
令u（x）=x2﹣ax，y=log a u；
①当a＞1时，y=log a u为增函数，只需u（x）=x2﹣ax在区间[2，3]上为增函数．即：⇒1＜a＜2
②当0＜a＜1时，y=log a u为减函数，只需u（x）=x2﹣ax在区间[2，3]上为减函数．
即：⇒a∈∅，
综上可知：a的取值范围为：（1，2）．
45．不用计算器计算：
（1）log3+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0；
（2）（）﹣（）0.5+（0.008）×．
【解答】解：（1）原式=
=
=．
（2）原式=
=
=．
46．已知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；（3）在（2）的条件下，记f﹣1（x）为f（x）的反函数，若关于x的方程f﹣1（x）=5k•2x﹣5k有解，求k的取值范围．
【解答】解：（1），
所以当a＞0时，定义域为（﹣∞，﹣2a﹣1）∪（3a﹣1，+∞）
当a＜0时，定义域为（﹣∞，3a﹣1）∪（﹣2a﹣1，+∞）；
当a=0时，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）（4分）
（2）函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，
当且仅当﹣2a﹣1=﹣（3a﹣1）⇔a=2，
此时，．（6分）
对于定义域D=（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）内任意x，﹣x∈D，
f（﹣x）=log2=log2=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（8分）
当x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）内单调递减；
由于f（x）为奇函数，所以在（﹣∞，﹣5）内单调递减；（10分）
（3），x≠0 （12分）
方程f﹣1（x）=5k⋅2x﹣5k即，令2x=t，则t＞0且t≠1，得，又，所以当k＞0，f﹣1（x）=5k⋅2x﹣5k解．（14分）
47．已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）利用1）的结论求解不等式2|lnx|≤•|x﹣1|．并利用不等式结论比较ln2（1+x）与的大小．
（3）若不等式对任意n∈N*都成立，求a的最大值．
【解答】解：（1），定义域x|x＞0
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）对
当x≥1时，原不等式变为
由（1）结论，x≥1时，f（x）≤f（1）=0，即成立当0＜x≤1时，原不等式变为，即
由（1）结论0＜x≤1时，f（x）≥f（1）=0，
综上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
∵x＞0时，，即，
∴
用（其中x＞﹣1）代入上式中的x，可得
（3）结论：a的最大值为
∵n∈N*，∴∵，∴
取，则x∈（0，1]，∴
设，
∵g（x）递减，
∴x=1时
∴a的最大值为．
48．已知f（x）=（a x﹣a﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）讨论f（x）的单调性．
（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=，
所以f（x）定义域为R，
又f（﹣x）=（a﹣x﹣a x）=﹣（a x﹣a﹣x）=﹣f（x），
所以函数f（x）为奇函数，
（2）任取x1＜x2
则f（x2）﹣f（x1）=（a x2﹣a x1）（1+a﹣（x1+x2））
∵x1＜x2，且a＞0且a≠1，1+a﹣（x1+x2）＞0
①当a＞1时，a2﹣1＞0，a x2﹣a x1＞0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，
②当0＜a＜1时，a2﹣1＜0．，a x2﹣a x1＜0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，
所以f（x）为增函数；
（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，
即b小于等于f（x）的最小值，
由（2）知当x=﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为（）=﹣1，
∴b≤﹣1．
求b的取值范围（﹣∞，﹣1]．
49．设函数f（x）=e ax（a∈R）．
（I）当a=﹣2时，求函数g（x）=x2f（x）在区间（0，+∞）内的最大值；（Ⅱ）若函数h（x）=﹣1在区间（0，16）内有两个零点，求实数a的取
值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，函数f（x）=e﹣2x，
∴函数g（x）=x2e﹣2x，
∴g′（x）=2xe﹣2x+x2e﹣2x•（﹣2）=2x（1﹣x）e﹣2x，
令g′（x）=0，解得x=0或x=1；
∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）是增函数，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数；
∴在区间（0，+∞）内g（x）的最大值是g（1）=e﹣2；
（Ⅱ）∵函数h（x）=﹣1=x2e﹣ax﹣1，
∴h′（x）=2xe﹣ax+x2（﹣a）e﹣ax=e﹣ax（﹣ax2+2x），
令h′（x）=0，∵e﹣ax＞0，
∴﹣ax2+2x=0，解得x=0或x=（a≠0）；
又h（x）在（0，16）内有两个零点，
∴h（x）在（0，16）内不是单调函数；
∴∈（0，16），解得a＞①；
又x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，
x∈（，16）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
∴在（0，16）上h max（x）=h（）=e﹣2﹣1；
令e﹣2﹣1＞0，解得﹣＜a＜②；
又，即，解得a＞ln2③；
由①②③组成不等式组，解得ln2＜a＜；
∴实数a的取值范围是ln2＜a＜．
50．已知函数（a＞0），且f（1）=2；
（1）求a和f（x）的单调区间；
（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．
【解答】解：（1）函数（a＞0），且f（1）=2，∴log2（a2+a﹣2）=2=log24，
∴，
解得a=2，
∴f（x）=log2（22x+2x﹣2），
设t=22x+2x﹣2＞0，解得x＞0，
∴f（x）的递增区间（0，+∞）；
（2）f（x+1）﹣f（x）＞2，
∴log2（22x+2+2x+1﹣2）﹣log2（22x+2x﹣2）＞2=log24，
∴22x+2+2x+1﹣2＞4（22x+2x﹣2），
∴2x＜3，
∴x＜log23，
∵x＞0
∴0＜x＜log23
∴不等式的解集为（0，log23）。