5 第五节 隐函数的求导公式 (定理 两个方程确定两个一元隐函数 定理 两个方程确定两个二元隐函数

x 2 y 2 z 2 1, z xy
确定了
1 x2 1 x2 和 , 它们是连续函数, 且有连续 z x 1 x2 1 x2 2x
1 x
3 2 2
1 x
2
, z x
x4 2x2 1
1 x
3 2 2
, 满足
2
1 x
4
解
x
47 6 7 47 5, y 2 . 3 4 3 4 7 6 7 6
例 (补) (1) (2)
x 2 y 2 z 2 1, 设 求 z xy.
y x 和 zx ; x 2 y 2 z 2 1, 在点 0, 1, 0 附近所确定的隐 z xy
x 2 y 2 z 2 1, z xy
在点 P x0 , y0 , z0 的某一邻域
内能够唯一确定一对连续且有连续导数的函数 y y x 和
z z x , 它们满足 y0 y x0 , z0 z x0 . 在 x 2 y 2 z 2 1 的两边对 x 求导, 则 x yy x zz x 0 , 从而 yy x zz x x . 在 z xy 的两边对 x 求导, 则 z x y xy x , 从而 xy x z x y .
x0 , y0 , z0

2 y 2z x 1 x , y
0 0 , z0
2 y0 2 x0 z0 0

(这等价于 x0 , y0 , z0 1, 0, 0 , 1, 0, 0 . 理由是: 因
x0 y0 z0 0 , 故 2 y0 2 x0 z0 2 2
y0
y
x0 z0
2 x0 y0

0

2 2 y 0 1 x 0 . 2 2 2 x0 y0 z0 1 0, 于是, 2 y0 2 x0 z0 0 等价于 y0 0 . 又由 , x0 y0 z0 0,
知 y0 0 等价于 x0 , y0 , z0 1, 0, 0 , 1, 0, 0 ), 则由隐函数存 在定理 3, 方程组
x 2 y 2 z 2 1, 在点 0, 1, 0 附近所确定的隐 z xy y2 x2 0 , z x 0 y xz 0, 1, 0 1 .
0, 1, 0
x yz 函数的导数 y x 0 y xz
1, 0
4
符号同上.
x 2 y 2 z 2 1, z xy
是单位球面 x 2 y 2 z 2 1 和马
鞍面 z xy 的交线.
5
当 y0 0 时, 在点 P x0 , y0 , z0 附近, 隐函数 y 导数 y x
(2) 在点 P x0 , y0 , u0 , v0 1, 2, ,
v u v 1, 2 , 1, 2 , 1, 2 . x y y
解法一 (1) 将 xu yv 0 的两边对 x 求导, 得
ux u v y 0, 即 x x
3 2 2
1 x
2
1 x
3 2 2
1
2 x 0
1 x
与解法一的结果一致.
当 y0 0 时, 在点 P x0 , y0 , z0 附近, 隐函数 y 续导数 y x
x 2 y 2 z 2 1, z xy
确定了
1 x2 1 x2 和 , 它们是连续函数, 且有连 z x 1 x2 1 x2 2x
1 x2 1 x2 和 代入解法一的结果 z x 1 x2 1 x2 2x
x yz y2 x2 和 z , 得 y x x y xz y xz x4 2x2 1
1 x
3 2 2
和
1 x
2
1 x
3 2 2
, 与上述结果一致.
2
点 P x0 , y0 , z0 , 使 F x0 , y0 , z0 x0 2 y0 2 z0 2 1 0 ,
G x0 , y0 , z0 x0 y0 z0 0 , J x0 , y0 , z0 F, G y, z
(3)
x 2 y 2 z 2 1, 在点 0, 1, 0 附近所确定的隐 z xy x yz y xz 0 , z x 0 y2 x2 y xz 1 .
0,
1, 0
函数的导数 y x 0 解法二
0,
函数的导数 y x 0 和 zx 0 ;
(3)
x 2 y 2 z 2 1, 在点 0, 1, 0 附近所确定的 z xy
隐函数的导数 y x 0 和 zx 0 .
解法一 (1) 设 F x, y , z x 2 y 2 z 2 1 , G x, y , z xy z . 任取
1 x2 1 x2 , y , y 1 x2 1 x2 附近, 总有两组隐函数 和 满足 2 2 1 x 1 x z x 1 x2 z x 1 x2 , 1 x2 , y 1 x2 0 y 1 , 在 1, 0, 0 附近, 也总有两组隐函数 1 x2 0 z 1 . z x 1 x2 1 x2 , y 0 y 1 , 1 x2 和 满足 1 x2 0 z 1 . z x 1 x2 ,
2 1 x0 , y0 2 1 x0 2 1 x0 z x . 0 2 0 1 x 0
把y 和 z x
x yz 1 x2 1 x2 和 代入解法一的结果 y z x x 2 2 y xz 1 x 1 x 2x
式)
F F , G y J G y, z y F z G z
在点 P x0 , y0 , z0 不等于零, 则方程组
F x, y , z 0, G x, y , z 0
在点 P x0 , y0 , z0 的某邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连 续导数的函数 y y x , z z x , 它们满足条件 y0 y x0 ,
Gv G v , u Fv Fu x Gv Gu
Gy Gx u , Fu Fv y Gu Gv
,
Gu v Fu y Gu
.
10
例3 (1) 求
设
xu yv 0, yu xv 1.
u u v v , , , ; x y x y 2 5 u 1 处, 求 1, 2 , x 5
Fx G u x Fu x Gu Fv u u x , y , v v x , y , Fu Fx
满足
Fy
u0 u x0 , y0 , v0 v x0 , y0 , Fv Gv Fv Gv
且有
Fu Fy Gy Fv Gv
2
1 x
y x 0
2x
1 x
3 2 2
1 x
2 x 0
0 , z x 0
x4 2x2 1
1 x
3 2 2
1 ,
2 x 0
1 x
与解法一的结果一致.
8
当 y0 0 时, P x0 , y0 , z0 1, 0, 0 或 1, 0, 0 . 在 1, 0, 0
3 2 2
1 x
1 x
2
, z x
x4 2x2 1
1 x
3 2 2
, 满足
2
1 x
7
2 1 x0 , y0 2 1 x0 2 1 x0 z x . 0 2 0 1 x 0
把y
y x z x
3
解
yy x zz x x , 得 x zx y , xy x y x z y x y 1 x y y2 x2 x yz , z . x y z y z y xz y xz x 1 x 1
(2)
第五节
隐函数的求导公式
隐函数存在定理 3 (补)
设 F x, y , z 和 G x, y , z 在点
P x0 , y0 , z0 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又 F x0 , y0 , z0 0 , G x0 , y0 , z0 0 , 且函数行列式 (或称雅可比
得
u y x u u v x xu yv v y v yu xv 2 , . x y x x y 2 x x y x 2 y 2 y x y x
u v y u . x x u v 将 yu xv 1 的两边对 x 求导, 得 y v x 0 , 即 x x u v y x v . x x x v u x y u , x y x x x 2 y 2 0 的条件下, 解 由 在J u v y x y x v , x x
且函数行列式
在点 P x0 , y0 , u0 , v0 不等于零, 则方程组
F x, y , u , v 0, G x, y , u , v 0
在点 P x0 , y0 , u0 , v0 的某邻域内恒能唯一确定一组连续且具 有连续偏导数的函数
z0 z x0 , 且有 Fx y x Gx Fy Gy Gy Gz , z x Fz Fy Gz Gy Fz Fy Fx Gx Fz Gz
.
1
补充 求解二元线性方程组的克莱姆法则 例 解方程组
23 3 x 4 y 23, 7 x 6 y 47. 3 23
9
隐函数存在定理 4 (即书 P.34 的定理 3) 设 F x, y , u , v 和 G x, y , u , v 在点 P x0 , y0 , u0 , v0 的某一邻域内具有对各个 变量的连续偏导数, 又 (或称雅可比式)
F F , G u J G u, v u F v G v F x0 , y0 , u0 , v0 0, G x0 , y0 , u0 , v0 0,
y2 x2 , 得 y x y xz
1 x
3 2 2
1 x
2
和 z x
x4 2x2 1
1 x
3 2 2
, 与
21 x6上述结果一致.y x 0 2x 0 , z x 0
x 0
x4 2x2 1
1 x