新人教版九上《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件

三、构造新方程
例3、求一个一元二次方程，使 它的两个根是2和3，且二 次项系数为1.
变式：且二次项系数为5
三、构造新方程
例4、已知关于x的方程x2-5x-2=0（1）, 的两根的相反数 的平方 的倒数 都大2. . .
求关于y的方程.
比 且关于y的方程的两根分别是方程（ 1）
三、构造新方程
例5、小明和小敏解同一个一元二次
分析: (1)列出△的代数式,证其恒大于零
(2)(x1-1)(x2-1)<0 解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0 ∴方程总有两个不相等的实数根
m7 x x 1 2 9 m3 13 解得: m (2)由题意得: x1 x2 9 2 ( x1 1)( x2 1) 0 13 时方程的一根大于1,另一根小于1 m 当 2
x1
2
x
1
x x x x1. x2
2
1
2
2 1 1 9 x 6x 1 0 3 3 3 4 2 2 7 2 7 3 x 4x 1 0 3 3 3 2 1 7 3 x 7x 2 0 -2 3 3
1 9 1 3 2 3
-b+ b2-4ac -b- b2-4ac x1+x2= + 2a 2a
. x1 x2
-b- b2-4ac x2= 2a
-b+ b2-4ac -b- b2-4ac x1x2= 2a 2a
-2b = 2a b a
(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac) = 4a2
b2-(b2-4ac) = 4a2
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴
k 1 2 k 3 ( ) 4 1 2 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2
x1x2=
k 3 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
四、求方程中的待定系数
变式:方程 mx 2mx m 1 0(m 0)
2
有一个正根，一个负根，求m的取值范围.
解:由已知,
△= 4m 4m(m 1) 0
2
m 1 x1 x 2 0 m
即
m>0 m-1<0
∴0<m<1
两个正根
△≥0
X1X2＞0 X1+X2＞0
两个负根 一正根，一负根
还可以把 x 2 代入方程的两边，求出
k
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
2
解： 设方程的两根是 x1 , x2 ，那么 3 1 x1 x2 x1 x2 2 2 2 2 2 ① ( x1 x2 ) x1 2 x1 x2 x2
根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1) x x
2 1
2 2
(3)(x1 1)(x2 1) (4) x x x x x2 x1 2 (5) (6)(x1 x2 ) x1 x2
2 1 2 2 1 2
1 1 ( 2) x1 x2
关于两根几种常见的求值 2 2 2 1.x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x 2
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
*已知两个数的和与积，求两数
已知两个数的和是1，积是-2，则两个数 是
解法(一):设两数分别为x,y则: 解得:
我能行2
例2、已知方程 5 x kx 6 0 的一个根是2 求它的另一个根及 k 的值。 k 6 2 原方程可化为：x x 0 解： 想一想， 5 5 还有其他 设方程的另一根是 x1 ，那么 方法吗？
2
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是 ， k 的值是 7 。 5
c 4ac = 2 a 4a
任何一个一元二次方程的根与系数的关系：
（韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
b 那么X1 + X2= a
,
c X1 · X2 = a
注：能用根与系数的关系的 前提条件为b2-4ac≥0
韦达是法国十六世纪最有影响的数学 家之一。第一个引进系统的代数符号， 并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习 法律当过律师，后从事政治活动，当过 议会的议员，在对西班牙的战争中曾为 政府破译敌军的密码。韦达还致力于数 学研究，第一个有意识地和系统地使用 字母来表示已知数、未知数及其乘幂， 带来了代数学理论研究的重大进步。韦 达讨论了方程根的各种有理变换，发现 了方程根与系数之间的关系（所以人们 韦达（1540－1603） 把叙述一元二次方程根与系数关系的结 论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之 父”。
x x ( x1 x2 ) 2x1 x2
2 1 2 2 2
3 2 1 13 x x ( ) 2 ( ) 2 2 4
2 1 2 2
②
x1 x2 1 1 3 1 ( ) ( ) x1 x2 x1 x2 2 2
3
二、求关于两根的对称式或代数式的值 2 例2、设 x1 , x2是方程 2x 4x 3 0 的两个
2
***题9 在△ABC中a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C 的对边,且c= 5 3 ,若关于x的方程
(5 3 b) x 2ax (5 3 b) 0
有两个相等的实数根,又方程
2x (10sin A) x 5 sin A 0
2
的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
21.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系
九年级上册
复习提问 1.一元二次方程的解法 2.求根公式
方程
x2-3x+2=0
x1
x2
x1+ x2
x1∙x2
2 1 X2-2x-3=0 -1 3 X2-5x +4=0 1 4
3 2 5
2
-3 4
问题：你发现这些一元二次方程的两根 x1+ x2，x1 • x2与系数有什么规律？ 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2
x1+ x2，x1∙x2与系数有什么规律?
猜想：
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0） 的两根为x1、x2，则：
b 4ac 0
2
x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系.
b x1 x 2 a
c x1 x2 a
x1 x2
-b+ b2-4ac x1= 2a
1 1 x1 x2 4. x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 x12 x2 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 5. x1 x2 x2 x1 x1 x2
2.(x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x 2 3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
2
2
6. x1 x2
( x1 x 2 ) ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2
2
小结
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
{
x y 1
{
x=2 y=－1
或
{
ｘ＝－1 y=2
x y 2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 2 的两根则: 求得
a1 2, a2 1
a a20
∴两数为2,－１
*求未知系数的取值范围
*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.
(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?
方程时，小明看错了一次项系数所求 出的根为-9和-1；小敏看错了常数项
所求出的根是8和2。你知道原来的方
程是什么吗？
三、构造新方程
练习、甲、乙二人解同一个一元二次
方程时，甲看错了常数项所求出的根 为1，4；乙看错了一次项系数所求出
的根是-2，-3。则这个一元二次方程 2 为__________________ x -5x+6=0
一、直接运用根与系数的关系
例1、不解方程，求下列方程两根的和与积.
(1) x 6 x 15 0
2
( 2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ 时， a
注意“－ ”不要漏写.
我能行1
例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积： 2 2 ② ① x 3x 1 0 2x 4x 1 0
解：① x1 x2 3 ②
x1 x2 2
原方程可化为：
1 x 2x 0 2
2
1 x1 x 2 2
x1 x2 1
二次项不是1，可 以先把它化为1
*1.当a取什么值时,关于未知数x的方程 ax2+4x-1=0,只有正实数根? *2.已知:x1,x2是关于x的一元二次方程 4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实根,问 x1,x2能否同号?若能同号,请求出相应m的取 值范围;若不能同号,请说明理由.
五 综合
a 规定： sin A c
△≥0
X1X2＞0 X1+X2＜0 △＞0 X1X2＜0
四、求方程中的待定系数 2 例8、 已知方程 x kx k 2 0 的两 个实数根是 x1, x2 且x 求k的值。
注：能用根与系数的关系的前提条件为 2 b -4ac≥0
2 1
x 4
2 2
小结
一元二次方程根与系数的关系？
四、求方程中的待定系数
例6、如果－1是方程的一个根，
2x x m 0
2
则另一个根是____ｍ=____ -3 。
（还有其他解法吗？) 练习：已知3是方程 x mx 3 0 的一根，求m及另一根
2
四、求方程中的待定系数
例7、方程
x px q 0
2
的两根同为正数，求p、q的取值范围.