2018-2019学年高二数学抛物线练习题及答案详解

2018-2019学年高二数学抛物线练习题
A级——基础小题练熟练快
1．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为() A．(0,1)B．(0,2)
C．(1,0) D．(2,0)
解析：选A由抛物线x2＝2py(p＞0)的准线为y＝－p
2
＝－1，得p＝2，故所求抛物线
的焦点坐标为(0,1)．
2．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()
A．2 B.1 2
C.3
2
D.
5
2
解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2
＝3，所以点C的横坐标是x1＋x2
2
＝
3
2
.
3．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P 作准线l的垂线，垂足为Q.若△QAF的面积为2，则点P的坐标为() A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4)
C．(1,2) D．(1,4)
解析：选A设点P的坐标为(x0，y0)．因为△QAF的面积为2，所以1
2
×2×|y0|＝2，
即|y0|＝2，所以x0＝1，所以点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．
4．已知点F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()
A.7
4
B.
5
4
C.3
4
D．1
解析：选B设A(x A，y A)，B(x B，y B)，则|AF|＋|BF|＝x A＋p
2
＋x B＋
p
2
＝x A＋x B＋p＝3，
则AB的中点C x A＋x B
2
，
y A＋y B
2
到y轴的距离d＝
x A＋x B
2
＝
3－p
2
＝5
4
.
5．已知点A(0,2)，抛物线C1：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶5，则a的值为()
A.1
4
B.
1
2
C．1 D．4
解析：选D依题意，点F的坐标为a
4
，0，设点M在准线上的射
影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶5，则|KN|∶
|KM|＝2∶1.∵k FN＝0－2
a
4
－0
＝－
8
a
，k FN＝－
|KN|
|KM|
＝－2，∴
8
a
＝2，解得a＝4.
6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为4，则|AB|＝()
A．6 B．8
C．12 D．16
解析：选D设A y21
4
，y1，B
y22
4
，y2，F(1,0)．当AB⊥x轴时，|AB|＝4，S△AOB＝
1
2
|OF|·|AB|
＝2，不成立，所以
y2
y22
4
－1
＝
y1
y21
4
－1
?y1y2＝－4.由△AOB的面积为4，得
1
2
|y1－y2|×1＝4，所以
y21＋y22＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝y21＋y22
4
＋2＝16.
7．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为1
2
，则
点P到x轴的距离为________．
解析：设点P的坐标为(x P，y P)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的
定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故
x P
x P－－1
＝
1
2
，
解得x P＝1，
所以y2P＝4，所以|y P|＝2.
答案：2
8．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx＝30°.
直线OA的方程y＝
3
3
x，
代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.
即得A的坐标为(6,23)．
∴|AB|＝43，正三角形OAB的面积为1
2
×43×6＝12 3.
答案：12 3
9．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为 2.
答案：2
10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析：设A(x A，y A)，B(x B，y B)，点A在第一象限，
则|AF|＝x A＋1＝3，所以x A＝2，y A＝22，
所以直线AB的斜率为k＝22
2－1
＝2 2.
则直线AB的方程为y＝22(x－1)，
与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，x A＋x B＝5 2，
所以x B＝1
2
，所以|BF|＝x B＋
p
2
＝
1
2
＋1＝
3
2
.
答案：3 2
B级——中档题目练通抓牢
1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P是抛物线C的准线上一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点．若|PQ|＝2|QF|，则直线PF的方程为() A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0
解析：选B如图，过点Q作QM⊥l于点M.∵|QF|等于点Q到准
线的距离|QM|，∴|PQ|＝2|QM|，∴∠PQM＝45°，∴∠PFO＝45°，
∴直线PF的倾斜角为135°，即斜率k＝－1，∴直线PF的方程为y－
0＝－1×(x－2)，即x＋y－2＝0.
2．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 7
2
，4，则|PA|
＋|PM|的最小值是()
A.7
2
B．4
C.9
2
D．5
解析：选C设抛物线y2＝2x的焦点为F，
则|PF|＝|PM|＋1
2
，∴|PM|＝|PF|－
1
2
.
∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－1 2 .
将x ＝7
2代入抛物线方程
y 2
＝2x ，得y ＝±7.
∵
7＜4，∴点A 在抛物线的外部．
∴当P ，A ，F 三点共线时，|PA|＋|PF |有最小值．∵F
1
2
，0，∴|AF |＝72－12
2＋4－02＝5. ∴|PA|＋|PM |有最小值5－12＝9
2
.
3.如图，过抛物线y 2
＝2px(p>0)的焦点F 的直线依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC|＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为
()
A ．y 2
＝32
x B ．y 2
＝3x C ．y 2
＝92
x D ．y 2
＝9x
解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，
D ，
设|BF |＝a ，则|BC|＝2a ，由抛物线的定义得，|BD |＝a ，
故∠BCD ＝30°，在直角三角形
ACE 中，
因为|AE |＝|AF |＝3，|AC|＝3＋3a ，2|AE |＝|AC|，
所以6＝3＋3a ，从而得a ＝1，因为BD ∥FG ，所以
|DB ||FG |＝|BC|
|FC |
. 即1p ＝23，解得p ＝32，因此抛物线方程为
y 2
＝3x.
4．(2017·山东高考)在平面直角坐标系
xOy 中，双曲线x 2
a 2－y
2
b
2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2
＝2py(p>0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF|＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p
2
，
由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p
2
＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p.
联立x 2a
2－y
2
b 2＝1，
x 2
＝2py
消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2
＝0，
所以y 1＋y 2＝2pb 2
a 2，所以2pb
2
a 2＝p ，
即
b 2
a 2＝12，故
b a ＝2
2
，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2
2
x.
答案：y ＝±2
2
x
5．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2
于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB
为直角，则实数
a 的取值范围为________．
解析：如图，设C(x 0，x 20)(x 2
0≠a)，A(－a ，a)，B(a ，a)，则CA ―→＝(－a －x 0，a －x 20)，CB ―→＝(a －x 0，a －x 2
0)．∵CA ⊥CB ，∴CA ―→·CB ―→
＝0，
即－(a －x 2
0)＋(a －x 20)2
＝0，(a －x 2
0)(－1＋a －x 2
0)＝0. ∴x 2
0＝a －1≥0，∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)
6．已知抛物线y 2
＝2px(p>0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的
点，A 到抛物线准线的距离等于
5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2
，
于是4＋p
2＝5，∴p ＝2.
∴抛物线方程为
y 2
＝4x.
(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝4
3，
∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－3
4.
∴FA 的方程为y ＝4
3
(x －1)，①
MN的方程为y－2＝－3
4
x，②
联立①②，解得x＝8
5
，y＝
4
5
，
∴N的坐标为8
5
，
4
5
.
7.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
因为点P(1,2)在抛物线上，
所以22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB.
则k PA＝y1－2
x1－1
(x1≠1)，k PB＝
y2－2
x2－1
(x2≠1)，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA＝－k PB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
得y21＝4x1，①y22＝4x2，②
所以y1－2
1
4
y21－1
＝－
y2－2
1
4
y22－1
，
所以y1＋2＝－(y2＋2)．
所以y1＋y2＝－4.
由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)，
所以k AB＝y1－y2
x1－x2
＝
4
y1＋y2
＝－1(x1≠x2)．
C级——重难题目自主选做
1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A′，B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点E(－2,3)，则圆C 的方程为()
A ．(x ＋1)2＋(y －2)2
＝2 B ．(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝5 C ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝17 D ．(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝26 解析：选B 设直线AB 的方程为x －1＝ty. 由
x －1＝ty ，y 2
＝4x ，
得y 2
－4ty －4＝0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A ′(－1，y 1)，B ′(－1，y 2)．∴y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4.
又∵以A ′B ′为直径的圆C 过点E (－2,3)，A ′E ――→＝(－1,3－y 1)，B ′E ――→
＝(－1,3－y 2)，∴A ′E ――→·B ′E ――→＝1＋(3－y 1)(3－y 2)＝0，
即y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋10＝－4－12t ＋10＝0，解得t ＝12.
∴y 1＋y 2＝2，∴圆C 的圆心为
－1－12
，y 1＋y 22
＝(－1,1)．
半径R ＝|y 1－y 2|
2＝
y 1＋y 22
－4y 1y 2
2
＝ 5.
∴圆C 的方程为(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝5.
2．(2018·武汉调研)已知直线y ＝k(x －2)与抛物线Γ：y 2
＝1
2
x 相交于A ，B 两点，M 是
线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N.
(1)证明：抛物线Γ在点N 处的切线与直线
AB 平行；
(2)是否存在实数
k 使NA ―→·NB ―→＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由
y ＝k x －2，
y 2
＝12
x
消去y 并整理，
得2k 2x 2－(8k 2
＋1)x ＋8k 2
＝0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2
＋1
2k 2，x 1x 2＝4，
∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2
＋1
4k
2，
y M ＝k(x M
－2)＝k 8k 2＋14k 2－2＝1
4k
.
由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，x N ＝2y 2
N ＝18k
2，
∴N 18k 2，14k
.
设抛物线Γ在点N 处的切线l 的方程为y －
14k ＝m x －1
8k 2，将x ＝2y 2
代入上式，得
2my 2
－y ＋14k －m
8k
2＝0.
∵直线l 与抛物线Γ相切，
∴Δ＝1－4×2m ×14k －m 8k 2＝m －k 2
k 2＝0，∴m ＝k ，即l ∥AB. (2)假设存在实数
k ，使NA ―→·NB ―→＝0，则NA ⊥NB.
∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝1
2|AB|.
由(1)，得|AB|＝1＋k 2
|x 1－x 2|
＝1＋k 2
·x 1＋x 22
－4x 1x 2＝
1＋k 2
·
8k 2
＋12k
2
2
－4×4＝1＋k 2
·16k 2
＋1
2k
2.
∵MN ⊥y 轴，
∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2
＋14k 2－1
8k 2＝16k 2
＋18k 2.
∴16k 2
＋18k 2＝121＋k 2
·16k 2
＋12k 2，解得k ＝±12.
故存在k ＝±1
2
，使NA ―→·NB ―→＝0.。