由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)

图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正 周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角 坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标 系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图 像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考
01 引言
三角函数的重要性
在数学和物理中，三角函数是描述周 期性现象的重要工具，如振动、波动 、交流电等。
三角函数在解决实际问题中具有广泛 应用，如信号处理、工程设计、天文 学等。
手动画图方法
坐标纸
使用坐标纸和绘图工具（如直尺、圆规等）手动绘制三角函数图像。首先确定坐 标轴，然后根据函数表达式计算出各点的坐标，最后用平滑的曲线连接这些点。
描点法
在坐标纸上选择一些关键点（如极值点、零点等），然后根据函数表达式计算这 些点的坐标。将这些点描在坐标纸上，并用平滑的曲线连接这些点。
综合以上信息写出解析式
根据周期、相位和振幅写出三角函数的解析 式。
三角函数图像的应用拓展
解决实际问题
三角函数图像可以用于解决许多实际问 题，如振动分析、波动研究等。
控制系统分析
在控制系统分析中，三角函数图像可 以用于研究系统的稳定性、响应时间
等。
信号处理
在信号处理领域，三角函数图像可以 用于分析信号的频率、幅度等特性。
3. 求解未知数
根据已知条件和解题步骤，求解未知数。
4. 验证答案
对得到的答案进行验证，确保答案的正确性和合理性。
06 总结与思考
三角函数解析式的求解思路
观察图像确定周期
首先观察给定的三角函数图像，确定其周期。
确定相位
根据图像的起点或峰值确定三角函数的相位， 即确定函数的零点。
确定振幅
根据图像的最大值和最小值确定振幅，即函 数的系数。
三角函数图像的观察方法
观察图像的周期性 三角函数的周期性可以通过图像 观察出来，例如正弦函数和余弦 函数的周期为2π。
观察图像与坐标轴的交点 三角函数图像与坐标轴的交点也 是重要的信息，例如正弦函数与y 轴的交点表示函数的零点。
观察图像的对称性 三角函数图像具有对称性，例如 正弦函数在y轴两侧对称，余弦函 数在x=π处对称。
都是单调递增的，其中$k in Z$。
03 三角函数图像的绘制
使用数学软件绘制
MATLAB
MATLAB是一款功能强大的数学软件，可以方便地绘制各种三角函数图像。通 过简单的编程语句，可以轻松地生成和显示正弦、余弦、正切等函数的图像。
GeoGebra
GeoGebra是一款几何与代数相结合的软件，也支持三角函数的绘制。用户可 以在同一坐标系中绘制多个三角函数图像，并进行比较和观察。
3
确定解析式
根据角频率和周期，利用三角函数的基本形式$y = Asin(omega t + varphi)$或$y = Acos(omega t + varphi)$确定解析式。
已知最值点求解析式
确定最值点
观察图像，确定三角函数的最值点坐标。
利用最值公式
根据最值点和角频率的关系，利用最值公式$y_{max} = Asqrt{1 + frac{1}{tan^2 varphi}}$或$y_{min} = -Asqrt{1 + frac{1}{tan^2 varphi}}$求出振幅$A$和初相角$varphi$。
确定解析式
根据振幅和初相角，利用三角函数的基本形式确定解析式。
已知与坐标轴交点求解析式
确定与坐标轴交点
观察图像，确定三角函数与坐标轴的交点坐标。
利用交点坐标
根据交点和三角函数的关系，列出方程组，解出振幅$A$和初相 角$varphi$。
确定解析式
根据振幅和初相角，利用三角函数的基本形式确定解析式。
05 实例分析
例题一：已知图像求解析式
01
1. 确定周期
观察图像，确定三角函数的周期。
3. 确定振幅
观察图像的最高点和最低点，确定 三角函数的振幅。
03
02
2. 确定相位
根据图像的起点位置，确定三角函 数的相位。
4. 写出解析式
根据周期、相位和振幅，写出对应 的三角函数解析式。
04
例题二：已知解析式求图像
数学建模
在数学建模中，三角函数图像可以用 于描述周期性变化的现象，如人口增 长、季节性变化等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
观察图像的极值点 三角函数图像在极值点处达到最 大或最小值，这些点可以通过观 察图像确定。
02 三角函数的基本性质
正弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。周期性正弦函数具有来自期性，最小正周期为 $2pi$。
单调性
在每个周期内，正弦函数在$[0, pi]$ 上单调递增，在$[pi, 2pi]$上单调递 减。
03
对称变换
三角函数图像具有对称性，如关于y轴对称、关于原点中心对称等。例
如，正弦函数关于y轴对称，余弦函数关于x轴对称。
04 由三角函数图像求解析式 的方法
已知周期性求解析式
1 2
确定周期
观察图像，确定三角函数的周期。
利用周期公式
根据周期和角频率的关系，利用周期公式$T = frac{2pi}{omega}$求出角频率$omega$。