高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)

1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
7 7 3 1 0 0 0
0
即得与原方程组同解的方程组
x1 2 x2 5
7 7
x3 x3
3 4
7 x4 7 x4
0, 0
取 x3 k1, x4 k2 ，则方程组的通解为
x1 2 7 k1 3 7 k2 2 7 3 7
x
x2 x3 x4
若将x1 c1, x2 c2 , , xn cn分别代入(4.1)中
的每个方程都成为恒等式, 则称
c1
x
c2
为(4.2)的解向量,
有时也简称为解.
cn
方程组(4.1)的全体解所构成的集合,称为 方程组的解集或通解.
定义2
如果两个方程组解集相同,则称这两个方程为 同解方程组或称这两个方程组同解.
(3)若R(A) n 1,则A的所有n 1阶子式都为零, A* O,从而R(A*) 0.
小结
齐次线性方程组 Ax 0
RA n Ax 0只有零解; RA n Ax 0有非零解.
求解Ax 0的基础解系与通解的步骤: 设R( Amn ) r n, 1.用初等行变换把A化为行最简形B；
,
线性表示
n
向量组1,2 , ,n与向量组1,2 , ,n , b等价
R(1,2, ,n,b)=R(1,2, ,n ), 即 R(A | b) R(A).
定理3 对于Ax=b,下列四个条件等价：
(1)Ax b有解(或相容);
(2)b可以由A的列向量组1 , 2 ,
,
线性表示;
n
(3)向量组1,2, ,n与向量组1,2, ,n, b
5
7 k1 4 k1 k2
7 k2
k1
5
7
1
0
k2
4
7
.
0
1
基础解系为:
2 7 3 7
1
5
7
1
,
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
7
.
0
0
1
定理2
设齐次方程组Amn x 0系数矩阵的秩R( A) r, n为方程组中未知数的个数.
(1)若r n,则Ax 0只有零解;
(2)若r n,则Ax 0有非零解,且存在一个由n r个
第四章 线性方程组
• 1.1 • 1.2 • 1.3 • 1.4
线性方程组的基本概念 高斯消元法 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
• 三个问题： （1）如何判别线性方程组是否有解？ （2）解有哪些性质？ （3）如何求解？ •一个重要概念：基础解系
1.1 线性方程组的基本概念
a11x1 a12x2
a21x1
a22
x2
am1x1 am2x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(4.1)
a11 a12
若记A
a21
a22
am1
am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
,
amn
xn
bm
则(4.1)可写成矩阵形式: Ax b
等价;
(4)R(A | b) R(A).
一、Ax b解的情况 设Ax 0的系数矩阵A的秩R( A) r, n为 未知量的个数 1.若R(A) R(A b) n,则Ax b有唯一解;
2.若R(A) R(A b) n,则Ax b有无穷多解;
3.若R(A) R(A b),则Ax b无解.
例3 求齐次线性方程组 x1 x2 x3 x4 0, 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0, 7 x1 7 x2 3 x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵A作初等行变换，化为行最简形:
1 A 2
1 5
1 3
1 2
~
1 0
0 1
2 7 5 7
3 7 4 7,
线性无关的解向量1,2, ,nr构成的基础解系.
证明 (1) 若R( A) R(1,2, ,n ) n,
则A的列向量组线性无关, 即,当且仅当x1 xn 0时,
x11 x22 xnn 0才成立，
Ax 0只有零解；
(2) 若R( A) R(1,2, ,n ) r n,
则向量组1 , 2 ,
x2 x2
x3 x3
x4 0 3x4 1
.
x1 x2 2x3 3x4 1 2
解 对增广矩阵B进行初等行变换，化为行最简形
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 B 1 1 1 3 1 ~ 0 0 2 4 1
1 1 2 3 1 2 0 0 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 ~ 0 0 1 2 1 2. 0 0 0 0 0
通解x
x2
x3
其中k1,
x4 k2
R.
k1 2k2 1 2
k2
k1
1 0
k2
0 2
0
1 2
.
0
1
0
§1.3 齐次线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
2.写出行最简形B所对应的方程组Bx 0；
3.令n r个自由变量取任意值,从而解得 主变量的值.
4.写出通解
x k11 k22 knr nr , (k1, k2 , , knr R).
1.4 非齐次线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a11x1 a12 x2
称
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
(4.9)
为(4.7)对应的齐次线性方程组(导出组).
非齐次线性方程组在什么条件下有解呢？
由(4.8)知, 方程组(4.7)有解
向量b可以由A的列向量组1 , 2 ,
2x1 2x2 x3 x1 2x2 4x3
6 3
5x1 8x2 x3 27
解 交换第一个方程与第二个方程,
x1 2x2 4x3 2x1 2x2 x3
3 6
① ②
5x1 8x2 x3 27 ③
x1 2x2 4x3 3 6x2 9x3 0
④ ⑤
1 8x2 21x3 12 ⑥
二、Ax b解的性质
1.若x 1, x 2是Ax b的解, 则x 1 2是对应Ax 0解; 证 : A(1 2 ) A1 A2 b b 0.
2.若x 0是Ax b的解, x 是Ax 0的解, 则x 0 是Ax b的解； 证 : A(0 ) A0 A b 0 b.
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
矩阵形式 : Ax b,
(4.7)
对Ax b,
a1 j
记 j
a2
j
,
j
1, 2,
amj
x1 b1
,
n,
x
x2
,
b
b2
,
xn bm
则Ax b的向量形式为: x11 x22 xnn b (4.8)
1 1 0 1 1 2 ~ 0 0 1 2 1 2.
0 0 0 0 0
同解方程组为
x1 x2 x4 x3 2x4
1 1
2, 2
令x2 k1, x4 k2 , 则x1 k1 k2 1 2, x3 2k2 1 2.
x1 k1 k2 1 2 1 1 1 2
(2)若x 为Ax 0的解, k为任意实数,则x k
也是Ax 0的解.
证 A(k ) k(A ) k 0 0, x k是Ax 0的解.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax 0 的解空间．
所以, R( B) =R (β1, …, βs) ≤R(1 , …, n-r)= n-R(A).
即 R(A)+R(B)≤ n.
例5 设A为n( 2)阶方阵, A*为A的伴随矩阵,证明: n, R(A) n,
R(A*) 1, R(A) n 1,
0, R(A) n 1.
证 (1)若R( A) n,则 A 0, A* A n 1 0,
amn xn 0
(4.5)
矩阵形式: Ax 0
(4.6)
向量形式 : x11 x22 xnn 0
一、齐次线性方程组解的性质
(1)若x 1, x 2为Ax 0的解,则x 1 2
也是Ax 0的解. 证 A(1 2 ) A1 A2 0, x 1 2是Ax 0的解.
例4 设A为m n , B为 n s ,满足AB =O, 证明：
R(A)+R(B)≤ n. 证 设 B = (β1, …, βs), 则
AB = A(β1, …, βs) = (Aβ1 , …, Aβs) = 0, Aβj = 0, j= 1, …, s.
βj ( j = 1, …, s)为Ax = 0的解，所以可由基础解系1, 2, …, n-r(r = R(A))线性表出.
,
线性相关,
n
即,存在x1, x2, , xn不全为零,使得
x11 x22 xnn 0,
Ax 0有非零解,
由于R(A) n,
则 A 的行阶梯形矩阵只含 r 个非零行，
从而知其有 n r 个自由未知量 ,
故有n r个基础解系.
由定理2可以看出齐次线性方程组解的 结构的一个特点:
系数矩阵的秩R( A) 基础解系的个数 = 未知量的个数n.
x1 2x2 4x3 3 6x2 9x3 0
6x3 12
（4.4）
由定理1知方程组(4.4)与原方程组是同解方程组.
由(4.4)易知x3 2, 代入第二个方程得x2 3,再回代第 一个方程得x1 1.所以原方程组的解为x (1,3, 2)T . 形如(4.4)的方程组称为行阶梯形方程组.
(4.2)
称矩阵B=(A
|
b)=
a11 a21
a12 a22
am1 am2
a1n a2n
b1 b2
amn bn
为线性方程组(4.1)的增广矩阵.
a1 j
若记 j
a2
j
,
j
1, 2,
, n,
amj
则(4.1)还可以写成向量形式:
x11 x22 xnn =b
(4.3)
定义1
二、基础解系
定义3 齐次线性方程组Ax 0的一组解1,2, ,t若满足
(1)1,2, ,t线性无关;
(2) Ax 0的任一解都能表示为1,2, ,t的线性
组合,
则称1,2, ,t为Ax 0的一组基础解系.
并称x k11 k22 ktt为Ax 0的通解.
齐次线性方程组的解法：用初等行变换将系数矩阵 化成行最简形，便可写出其通解．