10191-数学建模-A中南大学汤嘉、高世方、孙长江

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：中南大学参赛队员(打印并签名) ：1. 汤嘉2. 高世方3. 孙长江指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张佃中日期： 2006 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘 要针对出版社的资源配置问题，建立了以追求经济效益和社会效益最大为目标函数的双目标整数规划模型，得出了对各门课程的书号分配方案。

首先，从总社的经济效益考虑，利用MATLAB 和EXCEL 软件,从2001年－2005年的调查数据中提取出A 出版社在五年中各课程图书销售量，利用线性回归模型预测出2006年各课程图书的销售量i b 。

求出各i b 与相应的定价i m 及固有利润率σ的乘积之和为总社的总利润。

其次，考虑产品的社会效益。

从调查所得的数据中分析整理出与产品强势程度相关联的指标，如：图书权威性、印刷质量等七个指标。

对全部产品的各指标分别进行归一化处理，形成一个概率分布列，计算每个分布列的熵值来确定出每个指标对社会效益的权重大小。

从而得出与产品强势成正比的权重矩阵，预测出2006年各产品的强势度系数。

用线性加权法将经济效益和社会效益整合为一个目标函数，建立起规划模型。

在建立目标函数的过程中，先要将社会效益和经济效益进行归一化，适当选取两者的权重系数α，利用LINGO 求解，权重α在0～1之间取值时的最大利润值和相应的书号分配方案。

详见5.4双目标规划模型及其求解当α=0.5且图书利润率为定价的2％时的最大利润为：71.0610⨯元。

此时各分社分得的书号数分别为：58,46,120,62，72，46，20，40，36。

最后，对模型进行改进，在目标函数中引入一个均衡项，备于总社在分配书号时，对非强势产品进行适当的照顾。

关键词（线性回归 熵值法 整数规划 ）1．问题背景与重述1.1问题背景市场经济条件下，竞争日益激烈，每个企业都在追求生产的高效率。

合理配置资源，对提高资源利用率和生产效率，增大企业收益，加快企业发展，是大有裨益的。

，而如何合理配置生产资源，是每个企业所面临的问题。

按照增加强势产品支持力度的原则分配书号。

资源配置是出版总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社当年的经济效益和长远发展战略。

1.2问题重述出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本和利润。

某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。

事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。

资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程做出出版计划，付诸实施。

本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。

2．模型假设1．产品是指某一具体课程的图书；2. 出版业市场相对稳定，即不会出现某种书的销量大起大落的现象；3. 每年各个部门的工作人员总数不会发生变化；4. 为保持工作连续性和对各分社计划一定程度上的认可，A出版社在分配书号时至少保证分给各分社0申请数量的一半；5. 出于本位利益或其他原因考虑，分社会主观夸大申请的书号数，也会造成计划数与实际分配数的差距；6. 同一课程不同书目价格差别不大，同时销售量相近）且该出版社在定价时保持对所有教材利润率同一；7. “计划销售量”表示由各门课程申请的书号数计算的总销售量，“实际销售量”表示由分配到的书号数计算的总销售量，它们的差别反应了计划的准确度；8. 强势度与平均价格，印张，权威性，印刷质量，价格满意度，销量，市场占有率，，出版社在您心中的位置以及新颖性这些因素有关；3．符号说明i x 第i 门课所拥有的书号数i c 综合评价指标（强势度）i m 第i 门课程书的平均价格σ 图书利润率为定价的2％ i s 第i 门课程书的实际销售量i r 各分社的准确度指标，i r =实际得到的书号数/申请的书号数 i ω 各种因素占影响综合效益指数的权重 第i 学科中所含总书号数，i i u x =∑i l 第i 门课程图书，一个书号平均卖出的书量i μ 为工人对第i 个课程数目的工作能力 i d 为第j 个学科分配的人力资源数量 j v 第j 个学科申请的书号α 社会效益占总经济效益中的权重系数 β 均衡调节项在总经济效益中的权重系数4．问题分析题目给出的数据量大，信息多，而出版社只关注自己发行的72门课程教材的分配方案，故我们先把附录2中的数据进行分类处理（先按出版社分类，然后再分析A 出版社的各课程的有关指标），用Excel 中的数据透视的方法筛选，分析，得到价值比较高的信息。

从整体上来讲，问题属于资源分配问题，要求在书号为500个的情况下，总社按照强势原则来给各个分社分配书号。

以及综合评价的模型，定义出强势度的概念，找出影响每门课程强势度的因素，并以这些因素之间的权重，做为我们强势度的衡量标准，同时根据前五年的销售量用回归的方法分析置信区间，满足是线性回归的关系，取每一个的平均值来预测2006年的书的销售数量。

假设书号数与利润率成正比的关系，（1） 对“书号”概念的理解：一个课程中的一种书记为一个书号。

（2） 有些课程的图书在此次调查中没有被调查到，会造成一定的偏差。

对这些未调查到的图书信息，不予考虑。

（3） 把强势度理解为由若干因素综合影响的结果。

这些因素之间是有不同的权重的。

（4） 权重的分析与计算权重系数应当是对各个指标在指标总体中的变异程度和对其他指标影iu响程度的度量。

这里要确定各个指标对强势度的影响，在实际的综合评价中，考虑采用“熵值法”确定各指标的权重。

熵反映了系统无序化程度,也可以用其值来判断某个指标的离散程度。

指标差异程度的大小,反映了该指标在整个综合评价指标体系中的评价地位,因此,完全可以根据指标差异程度,以信息熵为工具,给各经营指标赋予恰当的权重,从而进行多指标的综合评价,得出客观的评价结果。

（5）强势度是反映社会效益的一个值，而与经济效益无关。

我们把与利润收益和社会效益有关的字表分别提取出来，根据强势度和利润收益两个方面进行双目标规划。

5．模型建立与求解5.1数据处理鉴于问题的数据量大，包含信息多的特点，运用excel对数据进行初步的归类，筛选，透视等功能。

➢市场占有率：对于某一门课程，A出版社的书所占百分比（即市场占有率）的计算。

利用EXCEL的数据透视功能，分别显示出在调查范围内，进修此门课程的人数数以及其中用A出版社书所出版图书的人数。

从而求得A出版社第i门课程图书的市场占有率。

得出2001年（其他年份类似）每门课的市场占有率如下：用柱形图表示如下：➢ A 出版社各门课程所有教材在读者心中的地位、印刷排版、权威性、新颖性、价格等满意度指标可以通过EXCEL 的“数据”菜单下的“数据透视表和数据透视图”功能来获得。

（详见附件《data.xls 》） ➢ A 出版社各门课程的准确度i r = 实际得到的书号数/申请的书号数。

（详见附件《准确度1.xls 》）通过以上数据的提取与处理，得到数据矩阵，供熵值法确定权重时用（准确度矩阵详见附表1）。

5.2衡量强势产品的指标综合考虑读者对各项指标的关注和生产过程中的相关指标，选取权威性，印刷质量，价格满意度，市场占有率，准确度，出版社在您心中的位置以及新颖性作为评价指标，具体如下表：指标代码指标名称指标含义权威性读者给出第i门课程图书的“权威性”的均值印刷质量读者给出的第i门课程图书印刷质量的均值新颖性读者给出的第i门课程图书新颖性的均值价格满意度读者给出的第i门课程图书价格满意度的均值市场占有率A出版社的第i门课程图书占市场上同类书的百分比准确度分社得到的书号数与申请书号数之比出版社在读者心中的位置读者给出的对出版社印象值的均值指标的选取i q i n i o i p i b ir5.3用熵值法来确定各个影响因素之间的权重，确定强势度的指标i c 。

对于A 出版社，有72个课程名,通过分析提取相关数据，得出7个影响产品强势度的指标,形成原始指标数据矩阵727()ij A a ⨯，第i 种课程名称书的第j 个指标为ij a 。

ij ρ为ij a 在不同的课程中出现的概率。

(1)对越小越优指标,处理如下式: 首先，进行指标的正向化，以及一致化(1)对越大越优指标,处理方法如下式:影响我们社会指标的min max min i i i ia a a a a *-=- (0,1)a *∈其次，进行指标的无量纲化为便于统计比较,除去不同指标间的量纲差异, 的方法,对正向化后的指标进行无量纲化,如下:121()1nijijj ij i ij aaa a n a **=****=--∑∑计算第j 项指标下第i 评价单元指标值的比重或概率ijρ1ijij niji a a ρ=**=∑计算第j 项指标的熵值j e11ln()ln()nj ij ij i e n ρρ==-∑计算第j 项指标的差异性系数1j jg e =-1jj mjj g gω==∑定义权数为经济效益指数为1mi j ij j c ωρ==∑ 为第i 种课程综合评价的值，强势度。

得出每年各课程的强势度，其分布表如下（2001－2005）：由以上五组数据，预测出2006年相应的强势度数据，具体得到的强势度排名如下表所示：这里定义72门课程中的占有率前20名的为强势产品。

画出相应的柱状图如下：5.4双目标整数规划模型分别以经济效益和社会效益为目标建立整数规划模型；利用线性加权的方法，把这两个目标整合出以综合效益为目标函数的整数规划模型。