中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件

时，S有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－ （m2－6m）＝－ （m－3）2＋ .


∵－ ＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－



−
＋ .∴


时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图
二次函数综合题
类型一最值问题
典例1 （2023·
宁夏）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于A，
B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是（－1，0），抛物线的对称轴
是直线x＝1.
（1） 直接写出点B的坐标.
（2） 在对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标和PA＋
PC的最小值.
A，B（1，0），与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC.
（1） 求这个二次函数的解析式.
（2） 在二次函数图象上是否存在点P（不与点B重合），使得S△PAC＝
S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
[思路点拨] （1） 利用待定系数法即可求解；（2） 根据S△PAC＝
的周长最小.∵ B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，∴
OB＝OC＝6.∵ 点O，E关于直线BC对称，∴ 易得四边形
OBEC为正方形.∴ E（6，6）.∵ A（－2，0），B（6，
0），∴ OA＝2，AB＝8，BE＝6.∴ AE＝ + ＝
+ ＝10.∴ △AOD周长的最小值为DA＋DO＋AO＝
（3） 第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为
N，连接BC，交MN于点Q.依题意补全图形，当MQ＋ 2CQ的值最大
时，求点M的坐标.
[思路点拨] （1） 由抛物线的对称性可直接求得点B的坐标；（2）
连接BC，则BC与直线x＝1的交点就是所求作的点P，易知点C的坐
标是（0，3），利用待定系数法可求出直线BC对应的函数解析
＝ − ，
+ ′ = ，
解得
∴ 直线BC对应的函数解析式为y＝－x＋6.同理，可得直线AC对
′ = .
′ = ，
应的函数解析式为y＝3x＋6.∵ PD∥AC，∴ 可设直线PD对应的函数解析式为y＝3x＋d.
得



将点P的坐标代入y＝3x＋d，得d＝－ m2－m＋6.∴



∵ 抛物线对应的函数解析式为y＝－ x2＋2x＋6，∴ 设P , − + + （0＜m＜6）.


，


.
当t＝
跟踪训练
1. （2023·
张家界）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋
c的图象与x轴交于点A（－2，0），B（6，0），与y轴交于点C（0，
6），D为线段BC上的一动点.
（1） 求二次函数的解析式；
解：（1） 由题意，设二次函数的解析式为y＝a（x＋2）（x－6）.将C
DA＋DE＋AO＝AE＋AO＝10＋2＝12.
（3） 如图②，过动点D作DP∥AC，交抛物线第一象限部分于点P，连
接PA，PB，AD，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，
求点P的坐标，并求出此时S的最大值.
解：（3） 设直线BC对应的函数解析式为y＝kx＋b'.将B（6，0），C（0，6）代入，
Rt△BOC中，BC＝ + ＝3 .∵ 点A，B关于直线x＝1对
称，∴ PA＝PB.∴ PA＋PC＝PB＋PC＝BC＝3 ，即PA＋PB的最小
值为3 .
（3） 补全图形如图②所示.由（2），得抛物线对应的函数解析
式为y＝－x2＋2x＋3，直线BC对应的函数解析式为y＝－x＋3，
①，连接BC，则BC与直线x＝1的交点就是所求作的点P.设直线BC对
应的函数解析式为y＝kx＋b'.把C（0，3），B（3，0）代入，得
＝ − ，
′ = ，
解得
∴ 直线BC对应的函数解析式为y＝－
′ = .
+ ′ = ，
x＋3.∴ 当x＝1时，y＝2，∴ P（1，2）.∵ OB＝OC＝3，∴ 在

（0，6）代入，得6＝a×（0＋2）×（0－6），解得a＝－ .∴


2
数的解析式为y＝－ （x＋2）（x－6）＝－ x ＋2x＋6.


二次函
（2） 如图①，连接AD，OD，求△AOD周长的最小值；
解：（2） 如图，作点O关于直线BC的对称点E，连接AE，
交BC于点D，连接EC，EB，则DO＝DE，易知此时△AOD
＝ − + ，
联立
= −



− + ，
解得






直线PD对应的函数解析式为y＝3x－ m2－m＋6.
＝ + ，




＝ − − + .








∴ D（ m2＋ m，－ m2－ m＋6）.
∵ 点P，D都在第一象限，








∴ S＝S△PAD＋S△PBD＝S△PAB－S△DAB＝ AB·（ − + + ) − （ − − ＋）