高考数学热点《计数原理》练习

从新高考考查情况来看，排列组合与二项式定理是新高考命题的热点，主要考查分类、分步计数原理的应用，排列与组合的综合应用，分组分配问题等，二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．主要考查学生的转化与化归、分类讨论思想，数学运算和逻辑推理等核心素养．
1、求二项式系数和或各项的系数和的解题技巧：
（1）形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．
（2）对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． （3）若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，
奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…
＝(1)(1)
2
f f +-，
偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝
(1)(1)
2
f f --. 2、解决排列问题的常见方法：
（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.
（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.
（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.
（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.
热点11 计数原理
（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.
3、解决组合问题的常见方法：
组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏。

热点1. 以实际情景为背景的排列组合问题
主要以接近生活的实际情况为主，多以选择或填空为主。

主要考查分类、分步计数原理的应用，突出分类讨论思想、转化化归思想的应用，问题情景的设置越来越接近生活,能否将实际问题合理、正确地转化成排列组合问题，是解决这类试题的关键。

热点2. 二项式定理及相关运用
二项式定理是中学数学的重要组成部分，高考中二项式定理是考点之一，二项式定理的应用在高考中一般以选择题和填空题的形式出现,难度不大。

A卷（建议用时60分钟）
一、单选题
1．（2021·河北衡水中学模拟预测）在2020中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机．若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）
A．51种B．224种C．240种D．336种
2．（2021·湖北·模拟预测）某校的6名高二学生打算参加学校组织的“篮球队”“微电影社团”“棋艺社”“美术社”“合唱团”5个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团至多2人参加，则这6人中至多有1人参加“微电影社团”的不同参加方法种数为（）
A ．1140
B ．3600
C ．5040
D ．6840
3．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知()12n
x -的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含2x 的系数为（ ） A ．312-
B ．31
C ．220-
D ．220
4.（2021·江苏常州·高三期中）已知()2021
202101202112x a a x a x -=++⋅⋅⋅+，则
3
202112232021
2222a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．2
5．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）2021年初，某市因新冠疫情面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国各地志愿者纷纷驰援．现有5名医生志愿者需要分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有（ ） A ．12种
B ．30种
C ．18种
D ．15种
6．（2021·江苏海安·高三期中）“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为1
6
，出厂时每箱装有6个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中
k (0≤k ≤6，k ∈N )个隐藏款的概率最大，则k 的值为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三期中）已知正整数8n ≥，若1()(1)n
x x x
--的展开式中不含x 5的项，
则n 的值为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
8．（2021·福建·莆田二中高三期中）现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有（ ） A ．18种
B ．36种
C ．48种
D ．72种
9．（2021·浙江·慈溪中学高三期中）用数字1、2、3组成五位数，且数字1、2、3至少都出现一次，这样的五位数共有（ ）个 A ．120
B ．150
C ．210
D ．240
10．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若
()()()
()
345
2012
2201201220121111x x x x a a x a x a x ++++++
++=+++
+，则3a 等于（ ）
A ．42012C
B ．32013C
C ．42013C
D ．52012C
11．（2021·湖南·模拟预测）某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个作为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这人想把满足这种特殊要求的号买全，则他要花的钱数为（ ） A ．3360
B ．6720元
C ．4320元
D ．8640元
12．（2022·上海·高三专题练习）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图；
如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）
A ．46
B ．44
C ．42
D ．40
13．（2021·重庆市杨家坪中学模拟预测）在二项式（x ﹣2y ）6的展开式中，设二项式系数和为A ，各项系数和为B ，x 的奇次幂项的系数和为C ，则AB
C
＝（ ） A ．﹣
16
91
B ．
1691
C ．﹣
9116
D ．
9116
二、多选题
14．（2021·辽宁丹东·高三期末）对于二项式3*
1()()n x n N x
+∈，以下判断正确的有（ ）
A ．存在n *∈N ，展开式中有常数项
B ．对任意n *∈N ，展开式中没有常数项
C ．对任意n *∈N ，展开式中没有x 的一次项
D ．存在n *∈N ，展开式中有x 的一次项
15．（2021·湖北襄阳·高三期末）若()
()2020
2320200123202012a a x a x a x x x a x =++++⋅⋅+-⋅∈R ，则（ ）
A ．01a =
B ．2020135201931
2
a a a a -+++⋅⋅⋅+=
C ．20200242020
31
2
a a a a ++++⋅⋅⋅+= D ．3202012232020
12222a a a a +++⋅⋅⋅+=- 16．（2021·山西大附中模拟预测）关于多项式6
21x x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
的展开式，下列结论正确的是（ ）
A ．各项系数之和为1
B ．各项系数的绝对值之和为212
C ．存在常数项
D ．x 3的系数为40
17．（2021·海南·三模）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中（ ）
A ．奇数有60个
B ．包含数字6的数有30个
C ．个位和百位数字之和为6的数有24个
D ．能被3整除的数有48个 三、填空题
18．（2021·浙江·台州一中高三期中）已知()23
6
12x a x x ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭的展开式中各项系数的和为1-，则=a ________，
该展开式中常数项为_____________.
19．（2022·浙江·模拟预测）已知多项式5623456
0123456(21)(1)x x a a x a x a x a x a x a x --+=++++++，则1a =
___________，123456351121a a a a a a +++++=___________.
20．（2021·全国·高三专题练习）有3个少数民族地区，每个地区需要一各支医医生和两名支教教师，现将3名支医医生（1男2女）和6名支教教师（3男3女）分配到这3地区去工作， （1）要求每个地区至少有一名男性，则共有________种不同分配方案； （2）要求每个地区至少有一名女性，则共有________种不同分配方案．
21．（2021·河北邯郸·高三期末）2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害，社会各界众志成城支援河南，邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A ，B ，C 三个城市运送物资，则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为______．
22．（2021·浙江·模拟预测）我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种.
23．（2021·全国·模拟预测）中国体育彩票坚持“公益体彩乐善人生”公益理念，为支持中国体育事业发展做出了贡献，其中“大乐透”是群众特别喜欢购买的一种体育彩票，其规则是从前区1到35的号码中选5个，后区1到12的号码中选2个组成一注彩票.其中复式玩法允许从前区选5个以上，后区选2个以上号码，那么从前区1到35的号码中选7个号码，从后区1到12的号码中选3个，组成的彩票注数为___________. 24．（2021·重庆市杨家坪中学模拟预测）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，克服困难积极复工，复产，复学．复学后，通过心理问卷调查，发现某校高三年级有6位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有三位心理老师，每位心理老师至少安排一位学生，至多安排三位学生，问共有_________种心理辅导安排方法．
25．（2021·广东实验中学模拟预测）8
11x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭展开式的项数为___________.
四、解答题
26．（2021·江苏如东·高三期中）已知2m
x
⎛ ⎝
的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为1
2. （1）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
B 卷（建议用时90分钟） 一、单选题
1．（2021·福建·厦门外国语学校模拟预测）武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三
家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（ ） A ．900种
B ．1200种
C ．1460种
D ．1820种
2．（2021·山东菏泽·二模）已知正整数n ≥7，若1()(1)n
x x x
--的展开式中不含x 5的项，则n 的值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
3．（2021·广东·模拟预测）某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3人，值班员工4人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一人值多天班时要相邻的安排方案有（ ） A ．249种
B ．498种
C ．1052种
D ．8640种
4．（2021·全国·高三专题练习）四色定理(Fourcolortheorem )又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie )提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P ABCD -的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（ ） A ．36种
B ．72种
C ．48种
D ．24种
5．（2021·全国·高三专题练习）英因数学家泰勒(B .Taylor ，1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.
由泰勒公式，我们能得到
()111
111!2!3!
!1!
e e n n θ=+++++++(其中e 为自然对数的底数，01θ<<，()()1!221n n n n ⨯-⨯
-⨯=⨯)，其拉格朗日余项是()1!
n e R n θ
=+.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的
e 的近似值也就越精确.若
()21!n +近似地表示e 的泰勒公式的拉格朗日余项n R ，n R 不超过2
3000
时，正整数n 的最小值是（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．（2021·吉林松原·高三阶段练习）“五一”小长假期间，某学生会组织看望留守老人活动，现安排A ，B ，
C ，
D ，
E ，
F ，
G ，
H 共8名学生的小组去看望甲，乙，丙，丁四位留守老人，小组决定两名学生看望一
位老人，考虑到学生与老人住址距离问题，学生A 不安排看望老人甲，学生B 不安排看望老人乙，则安排方法共有（ ） A ．1260种
B ．2520种
C ．1440种
D ．1890种
二、多选题
7．（2021·江苏如皋·高三期末）已知2n
x
⎛
⎝的二项式展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确
的是（ ）
A ．二项展开式中无常数项
B ．二项展开式中倒数第5项为390x
C ．二项展开式中各项系数之和为63
D ．二项展开式中二项式系数最大的项为3
2160x
8．（2021·辽宁实验中学二模）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进，例如：自然数1在二进制中就表示为1，2表示为10，3表示为11，7表示为111，即n +∈N ，11011222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+，其中01a =，0
i a =或()11,2,
,i k =，记()I n 为上述表示中0的个数，如()21I =，()70I =．则下列说法中正确的是（ ）．
A ．()()1218I I <
B ．()()()22211,2k k
I I k k +---=∈≥N
C ．()()()222I k I k k +=+∈N
D ．1到127这些自然数的二进制表示中()2I n =的自然数有35个
9．（2021·湖南·模拟预测）在()2
3
2
211x x x x ⎛
⎫+++ ⎪⎝
⎭的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A ．x 4的系数为16
B ．各项系数和为108
C ．无x 5项
D ．x 2的系数为8 10．（2022·全国·高三专题练习）已知()
2021
22021012202112x a a x a x a x -=++++，下列命题中，正确的是（ ）
A ．展开式中所有项的二项式系数的和为2021
2； B ．展开式中所有奇次项系数的和为202131
2
+；
C ．展开式中所有偶次项系数的和为202131
2
-； D ．3202112
23202112222a a a a +++⋅⋅⋅=-. 11．（2021·江苏如皋·高三期中）已知()2021
22021012202112x a a x a x a x -=++++，则（ ）
A ．展开式中所有项的系数和为1-
B ．展开式中二项系数最大项为第1010项
C ．
123
2021
23
2021
12222a a a a ++++
=- D ．12320212320212021a a a a +++
+=
12．（2021·江苏南京·一模）设*N n ∈，下列恒等式正确的为（ ）
A ．12
12n
n n
n n C C C -+++= B ．121122n
n n n n C C nC n -+++=⋅
C ．()2122
221212n n n n n C C n C n n -++
+=+ D ．()3132
3112432n
n n n n C C n C n -+++=-
13．（2021·江苏泰州·模拟预测）已知()()()23
20
12(21)2121
21n
n n x x x x a
a x a x a x ++++=++++下列说法
正确的是（ ）
A ．设1n b a =，则数列{}n b 的前n 项的和为2224n n S n +=--
B ．2a 22228
233
n n ++=-- C ．1n a -=
22
2
n n
n +-(*n N ∈) D ．()
*
11n n a n N a -⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭
为等比数列 14．（2021·全国·高三专题练习）甲､乙两人进行围棋比赛，共比赛()
*
2n n N ∈局，且每局甲获胜的概率和乙
获胜的概率均为1
2.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n ，则（ ） A ．1
(2)8
P =
B ．11(3)32
P =
C ．221()122n n
n C P n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
D ．()P n 的最大值为1
4
15．（2021·河北承德·二模）同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作《孙子算经》中就对同余除法有了较深的研究.设a ，b ，m 为正整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡.则下列选项中正确的是（ ） A ．若||a b km -=，*k N ∈，则(mod )a b m ≡
B ．()18
2563mod3≡
C ．若(1)(mod )a m m ≡+，(2)(mod )b m m ≡+，则(3)(mod )ab m m ≡+
D ．若(mod )a b m ≡，则(mod )n n a b m ≡，*n N ∈
16．（2021·江苏·金陵中学高三开学考试）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆
柱的表面积与球的表面积之比为n ，若()8
31m
f x x n
x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）
A ．()f x 的展开式中的常数项是56
B ．()f x 的展开式中的各项系数之和为0
C ．()f x 的展开式中的二项式系数最大值是70
D ．()16f i =-，其中i 为虚数单位
17．（2021·辽宁·模拟预测）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ） A ．若1班不再分配名额，则共有420C 种分配方法
B ．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有5
19C 种分配方法 C ．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D ．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
18．（2021·江苏盐城·二模）已知*n N ∈，2,1,n p q ≥+＝设()22k k n k
n f k C p q
-=，其中,2,k N k n ∈≤则（ ） A ．()20
1n
k f k ==∑
B ．()20
2n
k kf k npq ==∑
C ．若4np ＝，则()()8f k f ≤
D ．()()0
1
12212n
n
k k f k f k ==<<-∑
∑
三、填空题
19．（2021·湖南·长郡中学模拟预测）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为_____
20．（2021·湖北·汉阳一中模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5个人分到A ，B ，C 三个班，要求每班至少一人，则甲不在A 班的分法种数有______. 21．（2021·浙江·模拟预测）设(
)
2
2
2
3
4
2(0)a bx x
a bx cx dx x
b ++=++++≠，则d b =_____，2
2c b
的最小值是___. 22．（2021·重庆·模拟预测）
设x ()50
1x +的展开式中第______项最大．
23．（2022·上海·高三专题练习）考查等式：011
0r r r r
m n m m n m m n m n C C C C C C C ----++
+=(*)，
其中,,n m r *∈N ，r m n ≤<且r n m ≤-.某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有n 件，其中m 件是次品，其余为正品.现
从中随机取出r 件产品，记事件k A ={取到的r 件产品中恰有k 件次品}，则()k r k
m n m
k r
n
C C P A C --=，0k =，1，2，…，r .显然0A ，1A ，…，r A 为互斥事件，且01r A A A ⋃⋃⋃=Ω(必然事件)，因此
()()()()011
0011r r r m n m m n m m n m
r r
n
C C C C C C P P A P A P A C ----++
+=Ω=++
+=，所以
011
0r r r r m n m m n m m n m n C C C C C C C ----++
+=，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性
与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式(*)成
立，②等式
(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号___________.
24．（2021·安徽·亳州二中高二期末）如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.
四、解答题
25．（2021·福建·模拟预测）班级里共有()3n n ≥名学生，其中有A ，B ，C ．已知A ，B ，C 中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”．（1）求班级里朋友圈个数的最大值()F n ．（2）求班级里朋友圈个数的最小值()G n ．
26．（2021·湖北·襄阳四中一模）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在1654年也发现了这一规律，所以
这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.
（1）记杨辉三角的前n 行所有数之和为n T ，求{}n T 的通项公式；
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3:4:5？若存在，试求出是第几行；若
不存在，请说明理由；（3）已知n 、r 为正整数，且3n r ≥+.求证：任何四个相邻的组合数r n C 、1r n C +、2r n C +、
3r n C +不能构成等差数列
27．（2020·江苏·滨海县八滩中学二模）已知()()01
1n
n n n n f x C x C x =--()()1k
n
k
n C x k +
+--+
()()1n n
n
n C x n +--，其中R x ∈，*N n ∈，N k ∈，k n ≤.
（1）试求()1f x ，()2f x ，()3f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论.
28．（2021·江苏·扬州市江都区大桥高级中学高三阶段练习）设0()(1)n
k k n
k m
P n m C m k
==-+∑，，()n n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，．（1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值；（2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．
29．（2021·江苏·泰州中学模拟预测）（1）已知：111m m x
n n n C C C ---+=及
1
m m n y m C C n -=，（2n ≥，*n N ∈，*)m N ∈．求
x ；y （结果用m ，n 表示）（2）已知012
1111()(1)234
2
n
n
n n n n f n C C C C n =-+-
+-+，*n N ∈．猜想()f n 的表达式并用数学归纳法证明你的结论．。