第三讲 2023年高考椭圆小题突破之椭圆弦的中点的性质1

椭圆弦的中点的性质1――直接用公式
知识点：椭圆中心弦（直径）的性质 1．
设直线l 与椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>交于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点且
AB 、OM 的斜率存在，则2
2OM AB
b k k a
=-.
2．
设直线l 与椭圆()22
2210y x a b a b
+=>>交于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点且
AB 、OM 的斜率存在，则2
2OM AB
a k k b
=-.
1．
（1）过椭圆x 2
16
+y 2
4
=1 内一点M (2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分，则这条弦所在直线的方程为 ． 解：1111
4242
l OM l l k k k k ⋅=-
⇒⋅=-⇒=-， ()1
:122
l y x -=-
-， :240l x y +-=
（2）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为45的直线与
椭圆C 交于,A B 两点，若()3,2M -为线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率是 ． A
B ．1
2
C ．25
D
【答案】A
【详解】设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，222222
11222222
2
2b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩， 相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，因直线AB 的倾斜角为45，即直线AB 的斜率为
12
12
1y y x x -=-， 又()3,2M -为线段AB 的中点，则126x x +=-，124y y +=，因此有22460a b -=，即2223
b a =，
所以椭圆C
的离心率e ==.
（3）过椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，
P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2-，则椭圆C 的方程为 ．
A ．
2
2
18
4
x y +
=
B ．22
195x y +=
C ．22
173x y +=
D ．
22
1106
x y += 【答案】A
【详解】依题意，焦点(2,0)F ，即椭圆C 的半焦距2c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，
则有222222
11222222
22b x a y a b b x a y a b
⎧+=⎨+=⎩，两式相减得：2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 而1201202,2x x x y y y +=+=，且001
2
y x =-，即有2212122()()0b x x a y y --+-=， 又直线l 的斜率12
12
1y y x x -=-，因此有222a b =，而2224a b c -==，解得228,4a b ==，经验证符合题意， 所以椭圆C 的方程为2
2
18
4
x y +
=.
故选：A
（4）已知椭圆r:x 2
a
2+y 2
b
2=1(a >b >0)的右焦点为F (1,0),且离心率为1
2
，∆ABC 的三个顶
点都在椭圆r 上，设∆ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，且k 1、k 2、k 3均不为0.O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1.则1k 1
+1k 2
+1
k 3
=__________．
（5）已知O 为坐标原点，椭圆T ：
x 2a
2+
y 2b 2
=1的离心率为√2
2
，一个顶点为B(0,1)，过椭圆
上一点P 的两条直线PA ，PC 分别与椭圆交于A ，C ，设PA ，PC 的中点分别为D ，E ，直线PA ，PC 的斜率分别是k 1，k 2(k 1,k 2<0)，若直线OD ，OE 的斜率之和为2，则4k 1+k 2的最大值为______．
故4k 1+k 2的最大值是−9
4
.
故答案为：−9
4
【点睛】考查点差法求斜率关系式，和利用基本不等式求最值，意在考查推理能力和计算能力，属于中档题型，本题的关键是利用点差法求斜率间的关系.
（6）已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>右顶点为(2,0)A ，上顶点为B ，该椭圆上一点P 与A 的
连线的斜率1
4
-
，AP 的中点为E ，OE 的斜率为1. 若C D 、分别是x 轴､y 轴负半轴上的动点，且四边形ABCD 的面积为2，则三角形COD 面积的最大值是 ． A ．322- B ．3+22
C ．22-
D ．
3222
-
【答案】A
解：2
21114b b a
-⋅=-⇒=，则即c
设(,0),(0,),0,0m D n m n -->>，则由四边形ABCD 的面积为2，有
()()1
2122
m n ++=，
即22mn m n ++=，由基本不等式得22mn m n mn ++=≥+2≤
从而三角形COD 的面积211
(23
22
S mn =≤=-2m =，1n =时取到.
所以三角形COD 面积的最大值为3- 故选：A.
（7）已知椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)，P (0,2)，Q (0,−2)过点P 的直线l 1与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线l 2与椭圆交于C ，D ，且满足l 1∕∕l 2，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为4√3，则该椭圆的离心率为_______．
A．1
3B．2
3
C．√3
3D．√6
3。