高一数学上学期期中期末考试精选50题基础解析版

期中解答题精选50题（基础版）
1．（2020·新疆巴州第一中学）设函数2
2
1()1x f x x +=-求证：1()()f f x x =- 【分析】直接将1x
代入函数化简即可. 【详解】
2
2
1()1x f x x +=-，
()2
22
21111111x x f f x x x x ⎛⎫+ ⎪
+⎛⎫⎝⎭∴===- ⎪-⎝⎭⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，即得证. 2．（2020·宾县第一中学）已知函数()2
f x 3x 5x 2=+-.
（1）求()3f ，()1f a +的值； （2）若()4f a =-，求a 的值.
【答案】（1）40，23116a a ++；（2）23
a =-，或1a =- 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）令()4f a =-，解出即可. 【详解】解：（1）
()2352f x x x =+-，
()233353240f ∴=⨯+⨯-=，
()()()2
21315123116f a a a a a +=⨯++⨯+-=++；
（2）令()4f a =-，
即()2
3524f a a a =+-=-，
解得：23
a =-，或1a =-.
3．（2020·济南市济阳区第一中学高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0
x ≤时，()2
2f x x x =--．
（1）求函数()()f x x R ∈的解析式；
（2）写出函数()()f x x R ∈的增区间(不需要证明）
【答案】（1）()222.0
2,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩
；（2）(),1-∞-和()1,+∞．
【分析】（1）当0x >时，0x -<，根据()()f x f x =--可得函数解析式； （2）根据二次函数的性质可得答案． 【详解】()1函数()f x 是定义在R 上的函数
∴当0x >时，0x -<，
()()f x f x ∴=--
又当0x ≤时，()2
2f x x x =--
()()()()2
222f x f x x x x x ⎡⎤∴=--=-----=-⎣⎦
∴函数()()f x x R ∈的解析式为：()222.02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩
；
()2由二次函数的性质可知
函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞．
4．（2020·大同市第四中学校）已知函数2
2()1x f x x =+．
（1）求11(2),(3)23
f f f f ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
的值；
（2）求证：1()f x f x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭是定值． 【答案】（1）1，1；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据函数解析式代入即可求解. （2）根据解析式，代入整理即可求解.
【详解】（1）因为()2
2
1x f x x =+，
所以()2
222
112221212112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭， ()2
222
113331313113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫
⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
．
（2）()2
222222
2211111111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+=+== ⎪++++⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，是定值． 5．（2020·拉萨市第四高级中学高一期中）已知二次函数()2
f x ax bx c =++，满足
(0)(1)0f f ==，且()f x 的最小值是1
4
-．
（1）求()f x 的解析式；
（2）设函数2()52g x x x =+-，函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间[2,5]-上的最值. 【答案】（1）2()f x x x =-；（2）最大值14，最小值28-.
【分析】（1）由已知条件列方程组，可求出,,a b c 的值，从而可得,,a b c ； （2）由题意得()62h x x =-+，再利用其单调性可求出其在[2,5]-上的最值 【详解】（1）因为(0)(1)0f f ==， 所以(0)0,(1)0f c f a b c ===++=，
由二次函数的性质得11
1
1
2424f a b c ⎛⎫
=++=- ⎪⎝⎭，
解得，1,1,0a b c ==-= 所以2()f x x x =-
（2）依题得：()62h x x =-+ 函数()h x 在区间内[2,5]-单调递减 当2x =-时，()h x 有最大值14 当5x =时，()h x 有最小值28-
6．（2020·南宁市第十九中学）已知函数()2
6
x f x x +=-． （1）点()86,在()f x 的图像上吗？ （2）当3x =时，求()f x 的值； （3）当()8f x =时，求x 的值．
【答案】（1）不在，（2）53
-，（3）50
7
【分析】（1）将点的坐标代入解析式中验证即可； （2）将3x =代入函数中直接求解； （3）由()8f x =，可得
2
86
x x +=-，从而可求出x 的值 【详解】解：（1）因为()82
85686
f +=
=≠-，
所以点()86,不在()f x 的图像上， （2）()325
3363
f +=
=--， （3）由()8f x =，得
286
x x +=-，解得50
7x =
7．（2020·云南砚山县第三高级中学高一期中）判断下列函数的奇偶性． （1）2
1
()f x x =
； （2）()31f x x =-+；
【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数.
【分析】先求函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可 【详解】（1）因为定义域为：{}0x x ≠ 所以定义域关于原点对称， 又因为22
11
()()()f x f x x x -=
==-，所以函数f （x ）是偶函数； （2）因为定义域为R ，关于原点对称
又因为()31f x x =-+，则()31()f x x f x -=+≠，()31()f x x f x -=+≠-， 所以()f x 是非奇非偶函数；
8．（2019·广东高一期中）已知函数f (x 1
2
x +． （1）求函数f (x )的定义域； （2）求f (－3)，f (2
3
)的值；
（3）当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值．
【答案】（1）[3,2)(2,)---+∞；（2）()31f -=-；23
()38
f =；
（3）()12f a a +；()111
f a a -=+ 【分析】（1）由平方根被开方数大于等于0,分母不为零,同时成立求出定义域; （2）代入解析式,求出()3f -,23f ⎛⎫
⎪⎝⎭的值;
（3）代入解析式,即可求出结果. 【详解】（1）要使函数有意义,须
303
3202x x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⇒-≤⎨
⎨+≠≠-⎩⎩
且2x ≠-， 所以函数的定义域为[3,2)(2,)---+∞
（2）(
)12f x x =+,所以()1301,32
f -=+=--
+213
()23823
f ==+ （3）0,11a a >∴->-,(
)12
f a a =+ (
)111
f a a -=+ 9．（2020·云南砚山县第三高级中学高一期中）
（1）求解：2340x x --=； （2）解不等式的解集：(9)0x x -> ； 【答案】（1）124,-1x x ==；（2）{}|09x x <<. 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）直接解一元二次不等式即可 【详解】(1)2340x x --=
(4)(1)0x x -+= 124,-1x x ==
(2)不等式化为(9)0x x -<， 09x ∴<<，
∴不等式的解集为{}|09x x <<；
10．（2019·抚顺市雷锋高级中学高一期中）已知0x >，求函数4
y x x
=+的最小值，并说明当x 为何值时y 取得最小值.
【答案】最小值为4，当2x =时y 取得最小值
【分析】根据基本不等式求得函数的最小值，且求得此时x 的值. 【详解】因为0x >
，所以4224y x x =+≥⨯=. 当且仅当4
x x
=
时取等号.24x =.因为0x >，所以2x =. 所以2x =为何值时y 取得最小值4.
11．（2019·抚顺市雷锋高级中学高一期中）已知一元二次方程22320x x +-=的两个实数根为12,x x .
求值：（1）22
12x x +； （2）
12
11+x x . 【答案】（1）
17
4
；（2）32.
【分析】利用韦达定理可得12123
,12
x x x x +=-⋅=-，再对所求式子进行变行，即
222121212()2x x x x x x +=+-；
12
1212
11x x x x x x ++=⋅；两根和与积代入式子，即可得到答案； 【详解】解：因为一元二次方程22320x x +-=的两个实数根为12,x x ，所以由根与系数关系可
知12123
,12
x x x x +=-⋅=-.
（1）222
121212()2x x x x x x +=+-9172(1)44=-⨯-=；
（2）1212123
113212
x x x x x x -
++===⋅-.
12．（2019·抚顺市雷锋高级中学高一期中）解一元二次不等式：2560x x -+>. 【答案】(,2)(3,)-∞⋃+∞.
【分析】对多项式进行因式分解得256(2)(3)x x x x -+=--，再利用大于取两边，即可得到答案；
【详解】解：因为256(2)(3)x x x x -+=--， 所以原不等式等价于(2)(3)0x x -->. 所以所求不等式的解集为(,2)(3,)-∞⋃+∞.
13．（2020·河北英才国际学校高一期中）已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的范围. 【答案】225a b <+<
【分析】根据不等式的性质可得出答案. 【详解】解：23a <<，
426a ∴<<，又21b -<<-， 225a b ∴<+<.
14．（2021·四川省武胜烈面中学校高一期中）（1）解不等式2210x x --+<. （2）若不等式20ax x b -+<的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求实数a ，b 的值； 【答案】（1）不等式的解集为{|1x x <-或12x ⎫
>⎬⎭;（2）23
a =,13
b =.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可求出； （2）根据函数与方程的思想即可求出.
【详解】（1）2210x x --+<即为2210x x +->,而2210x x +-=的两根为11,2
-,所以不等式的解集为{|1x x <-或12x ⎫
>⎬⎭
.
（2）由题意可知20ax x b -+=的两根为1
,12
,所以,
1112112a b
a
⎧+=⎪⎪⎨
⎪⨯=⎪⎩,解得23a =,1
3b =. 15．（2019·福建高一期中）若二次函数满足f （x ＋1）－f （x ）＝2x 且f （0）＝1. （1）求f （x ）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上不等式f （x ）>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）＝x 2－x ＋1；（2）m <－1.
【分析】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），则由f （0）＝1可求出c ，由f （x ＋1）－f （x ）＝2x 可求出,a b ，从而可求出函数的解析式，
（2）将问题转化为x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，构造函数g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ，然后利用二次函数的性质求出其最小值，使其最小值大于零即可求出实数m 的取值范围 【详解】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），由f （0）＝1， ∴c ＝1，∴f （x ）＝ax 2＋bx ＋1. ∵f （x ＋1）－f （x ）＝2x ，
∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴1
1a b =⎧⎨=-⎩
，
∴f （x ）＝x 2－x ＋1.
（2）由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立.
令g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ＝3()2x -2－5
4－m ，其对称轴为x ＝32
，
∴g （x ）在区间[－1，1]上是减函数， ∴g （x ）min ＝g （1）＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.
16．（2021·巴楚县第一中学高一期中）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）256x x ++与2259x x ++； （2）2(3)x -与(2)(4)x x --； 【答案】（1）2256259x x x x ++<++；（2）2(3)(2)(4)x x x ->-- 【分析】利用作差法，分析两式之差的正负判定即可
【详解】（1）因为()()222
5625930x x x x x ++-++=--<，故2256259x x x x ++<++； （2）因为()()222
0(63)(2)(4)9681x x x x x x x --=--++---=>，
故2(3)(2)(4)x x x ->--
【点睛】本题主要考查了作差法判定两式大小的问题，属于基础题
17．（2020·上海财经大学附属中学高一期中）若x ∈R ，试比较26x x +3与24216x x -+的大小. 【答案】2264216.x x x x +≤-+3 【分析】利用作差法比较即可.
【详解】因为()()()2
222
6421681640x x x x x x x +--+=-+-=--≤3，
所以2264216.x x x x +≤-+3
18．（2020·咸阳百灵学校）已知M = {x |－3 ≤ x ≤5}， N = {x | a ≤ x ≤ a +1}，若N M ⊆，求实数a 的取值范围.
【答案】34a -≤≤
【分析】先分析集合N ≠∅，再根据N M ⊆建立不等式然后解之即可. 【详解】因为1a a <+，所以集合N ≠∅.
因此，N M ⊆时，应满足3
15a a ≥-⎧⎨+≤⎩
，解得34a -≤≤.
19．（2020·大同市第四中学校）设集合{|12}A x x =-≤≤，集合{|21}B x m x =<<．若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数m 的取值范围；
【答案】1,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
．
【分析】由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件有B A ⊆，讨论12
m <、1
2m ≥满足条件时m 的范
围，最后求并集即可.
【详解】若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆， {}2|1A x x =-≤≤，
①当1
2
m <时，{|21}B x m x =<<，此时121m -≤<，即1122m -≤<；
②当12
m ≥时，B =∅，有B A ⊆成立；
∴综上所述，所求m 的取值范围是1,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
．
20．（2020·南宁市第十九中学）已知{}10A x x =-=，{}
2
10B x x =-=．
求：（1）A B ； （2）A B 【答案】（1）{}1；（2）{}1,1-
【分析】先求出集合A ，B ，再根据交集并集的定义即可求出. 【详解】
{}{}101A x x =-==，{}
{}2101,1B x x =-==-，
∴（1）{}1A B ⋂=；
（2）{}1,1A B =-.
21．（2020·桂林市临桂区五通中学高一期中）奇函数2()1
ax b
f x x +=+是定义在区间[]1,1-上的增函数，且12
25f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭．
（1）求()f x 解析式；
（2）求不等式(1)()0f x f x -+<的解集． 【答案】（1）()21x f x x =
+；（2）10,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
. 【分析】（1）先根据奇函数可求0b =，再利用12
25f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭可求1a =，进而可得解析式；
（2）根据奇函数和增函数把不等式(1)()0f x f x -+<进行转化，结合定义域可求答案. 【详解】（1）∵函数2()1
ax b
f x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， ∴()00001
b
f +=
=+，即0b =， ∵1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴21122
25121a f ⨯
⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫ +⎪⎝⎭
，解得1a =， ∴()2
1
x
f x x =
+. 经验证知，()21x f x x =
+是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()21
x
f x x =+.
（2）∵函数()f x 在[]1,1-上为奇函数，且(1)()f x f x -<-，∴(1)()f x f x -<-，
又∵函数()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，∴111
111x x x x
-≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩
，解得1
02x ≤<.
故不等式(1)()0f x f x -+<的解集为10,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
22．（2019·福建高一期中）已知函数2
()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且3
(3)10f =.
（1）确定函数()f x 的解析式；
（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明；
（3）解不等式1(1)()02
f x f x -+<. 【答案】（1）2()1x f x x =
+；（2）()f x 在区间()1,1-上是增函数，证明见解析；（3）20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【分析】（1）由奇函数的概念可得b 的值，根据()3
310
f =
可得a 的值，进而得结果； （2）设1211x x -<<<，用作差法分析可得可得()()12f x f x <，由函数单调性的定义即可得证明； （3）将奇偶性和单调性相结合列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）∵()()f x f x -=-， ∴
22
1()1ax b ax b
x x -+--=+-+，即b b -=，∴0b =.
∴2
()1ax
f x x =
+， 又()3
310
f =，1a =， ∴2
()1x
f x x =
+. （2）对区间()1,1-上得任意两个值1x ，2x ，且12x x <，
2
2121221121212222222
121212(1)(1)()(1)
()()11(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++， ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2
210x +>，
∴12())0(f x f x -<，∴12()()f x f x <， ∴()f x 在区间()1,1-上是增函数. （3）∵1(1)()02
f x f x -+<， ∴1(1)()2
f x f x -<-，
111121
12
11x x x x ⎧-<-<⎪⎪
⎪-<-⎨⎪-<<⎪⎪⎩
，解得203x <<，
∴实数x 得取值范围为20,3
⎛⎫
⎪⎝
⎭
.
23．（2019·陕西镇安中学高一期中）函数()21ax b
f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且12
25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；
（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数. 【答案】（1）()2
1x
f x x =
+；（2）证明见解析. 【分析】（1）由函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，则()00f =，解得b 的值，再根据
12
25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得a 的值从而求得()f x 的解析式； （2）设1211x x -<<<，化简可得()()120f x f x -<，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果．
【详解】解：（1）依题意得()00,12,25f
f ⎧=⎪
⎨
⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩
∴20,
1022,15
14b
a
b ⎧=⎪+⎪
⎪⎨+⎪=⎪+⎪⎩
∴1,0,a b =⎧⎨=⎩
∴()21x f x x =+ （2）证明：任取1211x x -<<<，∴()()()()()()
121212
122222
1212
11111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，2110x +>，2
210x +>，
由1211x x -<<<知，1211x x -<<，∴1210x x ->. ∴()()120f x f x -<.∴()f x 在()1,1-上单调递增.
24．（2020·黔西南州同源中学高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，
2()2f x x x =-.
（1）画出当0x <时，()f x 函数图象； （2）求出()f x 解析式.
【答案】（1）见解析；（2）()()
()
222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩ .
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可画出当0x <时，函数()f x 的函数图象； （2）根据函数奇偶性的定义即可求出函数解析式. 【详解】解：（1）
()f x 是奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-．
∴函数()f x 的函数图象关于原点对称，则当0x <时，()f x 函数图象：
；
（2）若0x <，则0x ->， 当0x ≥时，2()2f x x x =-．
()()2
()2()f x x x f x ∴-=---=-，
则当0x <时，2()2f x x x =--．
即()()
()
222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩ .
25．（2020·黔西南州同源中学高一期中）已知函数1()f x x x
=-. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； （2）用定义证明函数()f x 在区间[)1,+∞上为增函数.
【分析】（1）判断函数的奇偶性，利用奇偶性的定义证明即可； （2）作差判断符号，利用函数的单调性的定义证明即可. 【详解】解：（1）()f x 是奇函数，理由如下：
函数1()f x x x
=-的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，关于原点对称， 且1
1()()()f x x x f x x
x
-=-+=--=-，
()f x ∴是奇函数；
证明：（2）任取1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x <，
则1212121211()()()()f x f x x x x x x x -=---=-12
12
1
x x x x +，
120x x -<，1210x x +>，120x x >
12()()0f x f x ∴-<，
即12()()f x f x <．
()f x ∴在[1，)+∞上单调递增.
26．（2019·上海市嘉定区封浜高级中学高一期中）若0,0a b >>，试比较33+a b 与22a b b a +的大小.
【答案】3322a b a b b a +≥+，当且仅当a b =时等号成立.
【分析】运用作差法求出两式的差，结合题意将两式的差与0进行比较即可. 【详解】由题意得,
3333222222222))()()()()()()()(()(a b b a a b b a a a b b b a a b a b a b a b a b a b +==-+-=+-=+----+-
因为0,0a b >>,所以20,()0a b a b +>-≥，当且仅当a b =时取等号， 所以2()()0a b a b -+≥，即32320())(a a b b b a +-≥+，当且仅当a b =时取等号， 故3322a b a b b a +≥+，当且仅当a b =时等号成立.
27．（2021·安徽池州市·高一期中）已知函数()2
31f ax x ax =+-，a R ∈.
（1）当4a =时，求不等式()0f x >的解集； （2）若()0f x ≤在R 上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{12
x x <-或16x ⎫>⎬⎭
；（2）[]12,0-.
【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式即可求出结果；
（2）二次函数的恒成立问题需要对二次项系数是否为0进行分类讨论，即可求出结果.
【详解】（1）当4a =时，()2
12410x f x x =+->，即()()21610x x +->，
解得12x <-或16
x >
， 所以，解集为{12
x x <-或16x ⎫>⎬⎭
.
（2）因为()2
310f x ax ax =+-≤在R 上恒成立，
①当0a =时，()10f x =-≤恒成立；
②当0a ≠时，2
120
a a a <⎧⎨∆=+≤⎩，解得120a -<≤， 综上，a 的取值范围为[]12,0-.
28．（2010·辽宁大连市·）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.
【分析】根据二次函数开口方向和一元二次方程的根的大小，分0,0,01,1,1,a a a a a <=<<=>讨论求解.
【详解】①当a ＝0时，原不等式即为－x ＋1<0，解得x >1.
②当a <0时，原不等式化为()11x x a ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭>0，解得1x a <或x >1.
③当a >0时，原不等式化为()11x x a ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭<0.
若a ＝1，即1
a
＝1时，不等式无解；
若a >1，即1a <1时，解得1a
<x <1； 若0<a <1，即1
a
>1时，解得1<x <1a
.
综上可知，当a <0时，不等式的解集为1
1x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
或；
当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞1}；
当0＜a ＜1时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫
<<⎨⎬⎩
⎭；
当a ＝1时，不等式的解集为Ø；
当a >1时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
.
29．（2020·江苏泰州·）已知关于x 的不等式()2
220x a x a -++<．
（1）当3a =时，解关于x 的不等式； （2）当a R ∈时，解关于x 的不等式．
【答案】（1）{}23x x <<；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）直接求解一元二次不等式即可，
（2）原不等式化为()()20x x a --<，然后分2a <，2a =和2a >三种情况解不等式
【详解】解：（1）因为不等式为()2
220x a x a -++<，
所以当3a =时，不等式为2560x x -+<，即()()230x x --<， 则23x <<，故原不等式的解集为{}23x x <<． （2）原不等式为()()20x x a --<， 当2a <时，不等式解集为{}2x a x <<； 当2a =时，不等式解集为∅；
当2a >时，不等式解集为{}2x x a <<．
综上所述：当2a <时，不等式解集为{}2x a x <<； 当2a =时，不等式解集为∅；
当2a >时，不等式解集为{}2x x a <<．
30．（2020·杭州之江高级中学高一期中）设函数()()2
22,f x x ax a a =++-∈R ． （1）当1a =时，解关于x 的不等式()()2
15f x a x a >--+；
（2）若[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立，求a 的取值范围．
【答案】（1）(,3)(1,)-∞-⋃+∞；（2）(3,)-+∞．
【分析】（1）当1a =时，不等式可化简为()()310x x +->，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.
（2）[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立的否定为：[]()1,2,0x f x ∀∈≤恒成立，列出方程组，可求得a 的范围，进而可得答案.
【详解】（1）当1a =时，()()2
15f x a x a >--+，整理可得2214x x ++>
所以()()310x x +->，解得3x <-或1x >， 故原不等式的解集为(,3)(1,)-∞-⋃+∞．
（2）命题：[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立的否定为：[]()1,2,0x f x ∀∈≤恒成立，
则(1)0(2)0
f f ≤⎧⎨≤⎩，解得3a ≤-， 若原命题成立，则a 的取值范围为(3,)-+∞．
31．（2020·江苏）已知不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >. （1）求a ，b 的值；
（2）当2c ≠时，解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<.
【答案】（1）12.a b =⎧⎨=⎩
，
；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据二次不等式的解集得到1和b 是方程2320ax x -+=的两根，利用韦达定理得到方程组求解；
（2）根据（1）的结论不等式2()0ax ac b x bc -++<化为(2)()0x x c --<，分类讨论得到不等式的解集.
【详解】解：（1）由题意知，1和b 是方程2320ax x -+=的两根，
则3
12b a b a
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解得12.a b =⎧⎨=⎩，
（2）不等式2()0ax ac b x bc -++<， 即为2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<. ①当2>c 时，解集为{}2x x c <<； ②当2c <时，解集为{}2x c x <<；
综上，当2>c 时，原不等式的解集为{}2x x c <<； 当2c <时，原不等式的解集为{}2x c x <<；
32．（2021·云南砚山县第三高级中学高一期中）已知函数()()()236f x x a x =-+-. （1）若1a =-，求()f x 在[]3,0-上的最大值和最小值；
（2）若关于x 的方程()140f x +=在()0,∞+上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最大值是0，最小值是498-
；（2）58,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【分析】（1）由1a =-，得到()2
253f x x x =+-，再利用二次函数的性质求解；
（2）将方程()140f x +=在()0,∞+上有两个不相等实根，转化为方程()2
232380
x a x a +--+=有两个不相等正实根求解.
【详解】（1）当1a =-时，()()()1236f x x x =++-2
253x x =+-2
549248x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，
因为二次函数()f x 开口向上，对称轴为5
4
x =-，
又因为()f x 在5[3,)4--上递减，在5(,0]4
-上递增， 所以()min 549
48f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，
又()()30,03f f -==-， 所以()()max 30f x f =-=；
（2）因为方程()140f x +=在()0,∞+上有两个不相等实根，
所以方程()2
232380x a x a +--+=有两个不相等正实根，
则()()2
328380320238
02
a a a
a ⎧⎪∆=---+>⎪
-⎪->⎨⎪
-+⎪>⎪⎩， 解得58
23
a <<，
所以实数a 的取值范围是58,23
⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
33．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
（1）现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？
（2）若使每间虎笼面积为242m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
【答案】（1）当长为9m 2
，宽为3m 时，面积最大，最大面积为2
27m 2；（2）当长为6m ，宽
为4m 时，钢筋网总长最小，最小值为48m .
【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值. （2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设长为a ，宽为b ，,a b 都为正数，每间虎笼面积为ab ，
则463623181823a b a b a b +=⇒+=⇒=+≥ 则272ab ≤，所以每间虎笼面积ab 的最大值为227m 2
，当且仅当23a b =即9
m,3m 2a b ==时等号成立.
（2）设长为a ，宽为b ，,a b 都为正数，每间虎笼面积为24ab =，
则钢筋网总长为4648a b +≥===，所以钢筋网总长最小为48m ，当且仅当46,23,6m,4m a b a b a b ====等号成立.
34．（2020·上海市第三女子中学高一期中）已知a R ∈，求证：“1
02
a <<”是“1
11a a
>+-”的充分非必要条件.
【分析】从充分性和必要性两个方面去进行说明即可.
【详解】解：充分性：当102
a <<时，()()2
1111a a a -=-+<，且10a ->，则
1
11a a
>+-， 故充分性满足；
必要性：当
111a a >+-时，()1101a a -+>-，即2
01a a
>-，可得1a <，且0a ≠，故必要性不满足；
则“1
02
a <<”是“
1
11a a
>+-”的充分非必要条件 35．（2020·福建厦门一中高一期中）已知20
:{|}100x p x x +≥⎧⎨-≤⎩
，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．
（1）若m ＝1，则p 是q 的什么条件？
（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）p 是q 的必要不充分条件；（2）m ∈[9，＋∞)．
【分析】（1）分别求出p 、q 对应的集合，根据集合间的关系即可得出答案；
（2）根据p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，列出不等式组，解得即可得出答案.
【详解】(1)因为20
:{|}100x p x x +≥⎧⎨
-≤⎩
＝{x |－2≤x ≤10}， 若m ＝1，则q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}＝{x |0≤x ≤2}， 显然{x |0≤x ≤2}≠⊂{x |－2≤x ≤10}， 所以p 是q 的必要不充分条件．
(2)由(1)，知p ：{x |－2≤x ≤10}，因为p 是q 的充分不必要条件，
所以}{}{21011x x x m x m ≠
-≤≤⊂-≤≤+∣∣， 所以0
12110m m m >⎧⎪
-≤-⎨⎪+≥⎩
，且12m -≤-和110m +≥不同时取等号，
解得m ≥9，即m ∈[9，＋∞)．
36．（2020·玉林市育才中学高一期中）已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 【答案】{m |m ≤3}．
【分析】由B ＝∅和B ≠∅分类讨论得不等式（或不等式组）解之可得． 【详解】解：A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A . ①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2， 此时有B ⊆A ；
②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2，
由B ⊆A ，得212215m m m ≥⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，解得2≤m ≤3.
由①②得m ≤3.
∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．
37．（2019·福建高一期中）（1）设{}22,2,6A a a =-，{}2
2,2,36B a a =-，若{}2,3A B ⋂=，
求A B .
（2）已知{}26A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）{}2,3,6,18A B =；（2）{}1a a >.
【分析】（1）由交集的概念可得223a a -=，求出a 代入验证，再求并集即可； （2）分为B =∅和B ≠∅两种情形，列出不等式解出即可. 【详解】（1）由{}2,3A B ⋂=，∴223a a -=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，{}2,3,18B =，此时{}2,3,6,18A B =， 当1a =-时，不合题意. ∴{}2,3,6,18A B =. （2）∵B A ⊆，
当B =∅时，23a a >+，∴3a >，
当B ≠∅时，222336a a a a ≤⎧⎪
≤+⎨⎪+≤⎩
，∴13a .
综上，{}1a a a ∈>.
38．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）已知M={x| -2≤x ≤5}， N={x| a+1≤x
≤2a -1}.
（1）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围； （2）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）空集；（2）{}3a a ≤.
【分析】（1）根据子集的性质进行求解即可；
（2）根据子集的性质，结合N =∅和N ≠∅两种情况分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由M N ⊆得：
12321531212a a a a a a a +≤-≤-⎧⎧⎪⎪
⇒-≥≥⎨⎨⎪⎪+≤-≥⎩⎩
无解； 故实数a 的取值范围为空集； （2）由M N ⊇得： 当N =∅时，
即1212a a a +>-⇒<； 当N ≠∅时，
12121232153a a a a a a a +≤-≥⎧⎧⎪⎪
+≥-⇒≥-⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩
， 故23a ≤≤；
综上实数a 的取值范围为{}3a a ≤.
39．（2019·陕西镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-． （1）若4m =，求A B ；
（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）{}27x x -≤≤；（2）{2m m <或}4m >.
【分析】（1）当4m =时，求出集合B ，利用并集的定义可求得集合A B ；
（2）分B =∅、B ≠∅两种情况讨论，结合A B =∅可得出关于实数m 的不等式，综合可求得实数m 的取值范围.
【详解】（1）当4m =时，{}57B x x =≤≤，故{}27A B x x ⋃=-≤≤； （2）当121m m +>-时，即当2m <时，B =∅，则A B =∅； 当121m m +≤-时，即当2m ≥时，B ≠∅，
因为A B =∅，则212m -<-或15m +>，解得1
2
m <-或4m >，此时有4m >.
综上所述，实数m 的取值范围是{2m m <或}4m >.
40．（2019·广西大学附属中学高一期中）设全集U =R ，集合{}14A x x =≤<，
{}23B x a x a =≤<-．
（1）若2a =-，求B A ⋂；
（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) {}|14x x ≤<；(2)1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【分析】(1)利用集合间的交集运算求解； (2)由A B A ⋃=得B A ⊆，再分B φ=和B φ≠讨论.
【详解】(1) 若2a =-，则{}45B x x =-≤<，又{}14A x x =≤<，所以{}|14B A x x =≤<. (2) 若A B A ⋃=，则B A ⊆. 当B φ=时，23a a ≥-，1a ≥； 当B φ≠时，
由1,
21,34
a a a <⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
，解得112a ≤<.
综上可知，实数a 的取值范围1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
41．（2020·吉林江城中学）已知集合{}12A x x =-≤＜，集合B ={}12x a x a -≤<，
（1）B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）{}|011a a a ≤≤≤-或；（2）1|32
a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩
⎭
或.
【分析】（1）（2）都是根据题意讨论B φ=和B φ≠两种情况，从而列出关于a 的不等式组，进而求实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为B A ⊆，
所以当B φ=时，12a a -≥，解得1a ≤-，此时满足题意；
当B φ≠时，由题意得112212a a a a -≥-⎧⎪
≤⎨⎪-<⎩
，解得01a ≤≤，
所以实数a 的取值范围为{}|011a a a ≤≤≤-或. （2）因为A B =∅，
所以当B φ=时满足题意，即12a a -≥，解得1a ≤-；
当B φ≠时，由题意得2112a a a ≤-⎧⎨-<⎩或1212a a a
-≥⎧⎨-<⎩，解得1
12a -<≤-或3a ≥，
所以实数a 的取值范围为1|32
a a a ⎧
⎫≤-≥⎨⎬⎩
⎭
或.
42．（2019·浙江高一期中）已知602x A x
x ⎧⎫
-=>⎨⎬-⎩⎭
，()(){}
110B x x a x a =---+≤． （1）当2a =时，求A B ；
（2）当0a >时，若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}23A B x x ⋂=<≤；（2）[)5,+∞.
【分析】（1）解不等式求得集合,A B ，由并集定义可求得结果； （2）由并集结果可确定A B ⊆，根据包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）由
602
x
x ->-得：26x <<，则{}26A x x =<<； 当2a =时，由()()110x a x a ---+≤得：()()310x x -+≤，则{}13B x x =-≤≤；
{}23A B x x ∴⋂=<≤；
（2）若A B B ⋃=，则A B ⊆，
当0a >时，{}11B x a x a =-≤≤+，又{}26A x x =<<，
则1216a a -≤⎧⎨+≥⎩
，解得：5a ≥，∴实数a 的取值范围为[)5,+∞.
43．（2019·甘肃兰州市·兰州五十一中高一期中）已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，
若B ⊆A ，求m 的取值范围 【答案】(,1]-∞．
【分析】分类讨论：0m ≤和0m >，前者由子集定义即得，后者由包含关系得不等关系后可得．
【详解】当0m ≤时，B A =∅⊆， 当0m >时，则1
3m m -≥-⎧⎨≤⎩
，解得01m <≤．
综上，m 的取值范围是(,1]-∞．
44．（2020·上海市杨思高级中学高一期中）若x ∈R ，不等式2680mx mx m -++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】[0,1)
【分析】根据x ∈R 时，不等式2680mx mx m -++>恒成立，分0m =和0m ≠两种情况，利用判别式法求解.
【详解】因为x ∈R 时，不等式2680mx mx m -++>恒成立， 当0m =时，80>成立，
当0m ≠时，则2
364(8)0
m m m m >⎧⎨∆=-+<⎩， 解得01m <<， 综上：01m ≤<. 则实数m 的取值范围[0,1).
45．（2021·乌苏市第一中学高一期中）解下列不等式：
（1）2440x x -+-< （2）()2
10x a x a +-->
【答案】（1）{}|2x x ≠；（2）当1a =-时原不等式的解集为{|1}x x ≠，当1a >-时原不等式的解集为{|x x a <-，或1}x >，当1a <时原不等式的解集为{|x x a >-，或1}x <．
【分析】（1）将一元二次不等式化简，将左边配成完全平方式，即可得出不等式的解集； （2）由题意，一元二次不等式所对应的一元二次方程的两个根为a - 和1，分类讨论a -和1的大小，从而求得它的解集．
【详解】解：（1）因为2440x x -+-<，所以2440x x -+>，即()2
20x ->，所以2x ≠，即原不等式的解集为{}|2x x ≠
（2）x 的不等式：2(1)0x a x a +-->，即()(1)0x a x +->，
此不等式所对应的一元二次方程2(1)0x a x a +--=的两个根为a -和1． 当1a -=，即1a =-时，此时不等式即2(1)0x ->，它的解集为{|1}x x ≠； 当<1a -，即1a >-时，它的解集为{|x x a <-或1}x >；
当1a ->，即1a <时，它的解集为{|x x a >-或1}x <．
综上可得：当1a =-时原不等式的解集为{|1}x x ≠，当1a >-时原不等式的解集为{|x x a <-或
1}x >，当1a <时原不等式的解集为{|x x a >-或1}x <．
46．（2021·乌苏市第一中学高一期中）解下列不等式： （1）23710x x -≤ （2）(1)()0x x a --> 【答案】（1）10
{|1}3
x x -≤≤
；（2）1a ≥时，解集为(,1)(,)a -∞+∞，1a <时，解集为(,)(1,)a -∞+∞．
【分析】（1）不等式变形为一边为0，一边二次系数为正，分解因式确定相应二次方程的根后结论二次函数性质得解；
（2）根据a 和1的大小分类讨论得解．
【详解】（1）不等式化为237100x x --≤，即(1)(310)0x x +-≤，解集为10
{|1}3
x x -≤≤； （2）当1a ≥时，不等式的解为1x <或x a >，解集为(,1)(,)a -∞+∞； 当1a <时，不等式的解为x a <或1x >，解集为(,)(1,)a -∞+∞．
47．（2020·吉林江城中学）（1）若不等式20ax bx c ++>的解集是{}|23x x -<<，求不等式
20cx bx a ++>的解集；
（2）已知不等式210kx kx ++>恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）1|2
x x ⎧<-⎨⎩
或13x ⎫>⎬⎭
；（2）{}|04k k ≤<.
【分析】（1）根据不等式20ax bx c ++>的解集是{}|23x x -<<，得到0a <，=-b a ，6c a =-，代入20cx bx a ++>即可求解；
（2）通过讨论0k =和0k >两种情况来求解.
【详解】（1）因为不等式20ax bx c ++>的解集是{}|23x x -<<， 所以2-和3是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，
所以23,23b c
a a
-+=--⨯=，即=-b a ，6c a =-，
代入不等式20cx bx a ++>得260ax ax a --+>， 因为0a <，所以2610x x +->，解得12x <-或13
x >， 所以不等式20cx bx a ++>的解集为1|2
x x ⎧
<-⎨⎩
或13x ⎫>⎬⎭
. （2）当0k =时，不等式为10>，恒成立，满足题意； 当0k ≠时，要满足题意，需2
040k k k >⎧
⎨∆=-<⎩
，解得04k <<，
所以实数k 的取值范围为{}|04k k ≤<
48．（2018·天津河东·高一期中）已知函数()a
f x x x
=+． （1）当a R ∈时，用定义证明()f x 为奇函数．
（2）当0a <时，用定义证明()f x 在()0,∞+上单调递增． 【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明即可； （2）根据函数的单调性进行证明即可.
【详解】（1）定义域：{}|0x x ≠，关于原点对称，
()a a f x x x x x ⎛
⎫-=-+
=-+ ⎪-⎝
⎭()f x =-，∴()f x 为奇函数； （2）0a <时，设12,x x 是()0,∞+上任意两个实数，且120x x <<， 则()()12f x f x -
1212a a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
()1212a a x x x x ⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
()()
211212
a x x x x x x -=-+
()12121a x x x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
因为120x x <<，所以120x x -<，120x x >，而0a <，所以12
0a
x x ->， ∴()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，
故()f x 在()0,∞+单调递增．
49．（2020·河南郑州·高一期中）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，
()22f x x x =-.
（1）求出函数()f x 在R 上的解析式；
（2）画出函数()f x 的图象，并根据图象写出()f x 的单调区间； （3）求使()1f x =时的x 的值.
【答案】（1）222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧->⎪
==⎨⎪--<⎩
；（2）函数图象见解析，单调增区间为(],1-∞-和[)1,+∞，
单调减区间为(1,1)-．（3
）1x =或1x =-
【分析】（1）通过①由于函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则(0)0f =；②当0x <时，0x ->，利用()f x 是奇函数，()()f x f x -=-．求出解析式即可．
（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间． （3）利用当0x >时，221x x -=，当0x <时，221x x --=，分别求解方程即可． 【详解】解：（1）①由于函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则(0)0f =； ②当0x <时，0x ->，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-． 所以22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=----=--．
综上：222,0
()0,02,0x x x f x x x x x ⎧->⎪
==⎨⎪--<⎩
．
（2）函数图象如下所示：
由函数图象可知，函数的单调增区间为(],1-∞-和[)1,+∞，单调减区间为(1,1)-． （3）当0x >时，221x x -=
解得1x =或1x =
因为0x >，所以1x =当0x <时，221x x --= 解得1x =-
综上所述，1x =+或1x =-
50．（2019·云南昭通市第一中学高一期中）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元/件）可近似看作一次函数100=-+y x 的关系．设商店获得的利润（利润=销售总收入-总成本）为S 元． （1）试用销售单价x 表示利润S ；
（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
【答案】（1）()2
14040004080S x x x =-+-≤≤；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大
利润900元，此时销售量是30件．
【分析】（1）由利润=销售总收入-总成本可得答案；
（2）对于()()()2
709004080S x x x =--+≤≤配方法即可求得最大值． 【详解】（1）()()()()404040100S x xy y x y x x =-=-=--+ ()214040004080x x x =-+-≤≤.
（2）()()()2
709004080S x x x =--+≤≤，
∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．。