.立体几何-2017年高考数学走出题海之黄金100题系列(江苏版)含解析

1．已知、、是直线，α是平面，给出下列命题:

①若//a b，b c⊥,则a c⊥；②若a b⊥，b c⊥，则//a c；③若//aα，bα⊂，则//a b；④若aα⊥，bα⊂，则a b⊥;⑤若与异面,则至多有一条直线与、都垂直．

⑥若aα⊂，bα⊂，a c⊥，b c⊥，则//a b。

其中真命题是__________．（把符合条件的序号都填上）【答案】①④

点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查直线与平面间的位置关系,考查线面平行的性质定理,采用逐一判定,①②⑤⑥空间三条直线关系的判定,③④线面平行、垂直关系的判定．

2．用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是__________．【答案】6

【解析】设正三棱柱的底边长为,高为y,则6312

+=，由

x y

基本不等式可得6312263236

+=≥⋅≤⇒≤故三棱柱

x y x y xy xy

的侧面积最大值为6。

点睛：对于小题的最值问题首先要想到基本不等式，然

后写出表达式求解即可

3．已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是√3,则该正四棱锥的体积为____________．

【答案】

【解析】正四棱锥的底面边长是2，侧棱长为√3，底面对角线长为2√2,所以棱锥的高为

√(√3)2−(√2)2=1，所以棱锥的体积为，故答案为。4．已知α,β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列五个命题：

①如果，那么m⊥n；

②如果，那么α//β；

③如果，那么；

④如果,那么α//β；

⑤如果m//伪,m//尾,伪鈭┪?n，那么m//n.

其中正确的命题有______________．（填写所有正确命题的编号）

【答案】①③⑤

5．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为

2

的扇形，则此圆锥的高为cm.

3

【答案】

【解析】 试题分析：由题意圆锥的母线长为6l cm =，设底面半径为，则22

63r ππ=，2r =，则h ==

考点：圆锥的侧面展开图．

6．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等,即AB =CD ，AC =BD ,AD =BC ，给出下列结论：

①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；

②四面体ABCD 每个面的面积相等；

③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于900 而小于1800 ；

④连结四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分； ⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长；

其中正确结论的序号是__________．（写出所有正确结论的序号）

【答案】 ②④⑤

【解析】

把四面体补形为平行六面体,由三组对棱分别相等可知此平行六面体为长方体,如图所示,只有长方体为正方体时①才正确，故①不正确.

在长方体中，有△BAC≌△DCA.

△ABC≌△DCB,△CBD≌△ADB。

∴四面体ABCD每个面的面积都相等,故②正确.

对于③,以∠BAC，∠CAD,∠BAD为例说明。

对于④，连接四面体ABCD对棱中点的线段即是连接长方体对面中心的线段，显然相互垂直平分,故④正确.

对于⑤,以AB、AC、AD为例进行说明.

∵AD=BC,AB、AC、BC三边长可构成△ABC,

∴AB、AC、AD可以作为一个三角形的三边长。同理可得从其他顶点出发的三条棱的长也可以作为一个三角形的三边长。故⑤正确.

7．将斜边长为的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是．

【答案】16π3

【解析】

试题分析：形成的几何体为两个相同的锥体,体积是2116π22233π⨯⨯⨯⨯=

考点：三棱锥体积

【方法点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法-—分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法:等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体）的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥）的高,而通过直接计算得到高的数值．

8．已知长方体的长、宽、高分别为

2cm ，则该长

方体的外接球的半径是 cm

【解析】

试题分析：由题意长方体的对角线就是球的直径,所以长

3=，

所以球的直径为：3考点：球内接多面体

9．如图，梯形ABCD 中， 90,2,1BAD ADC CD AD AB ∠=∠====，

四边形BDEF 为正方形,且平面BDEF ⊥平面ABCD .

(1）求证： DF CE ⊥；

（2)若AC 与BD 相交于点O ,那么在棱AE 上是否存在点G ，使得平面//OBG 平面EFG ？并说明理由。

【答案】(1)见解析；（2)见解析.

【解析】试题分析:

(1）利用题意首先证得DF ⊥平面BCE ，由线面垂直的定义可得DF CE ⊥.

(2) 在棱AE 上存在点G ,使得平面//OBG 平面EFC ,且12AG GE =，利用面面平行的判断定理结合题意证得该结论即可. 试题解析：

(1)证明：连接EB 。因为在梯形ABCD 中， 90,1,2BAD ADC AB AD DC ∠=∠====，

2222,2,,BD BC BD BC CD BC BD ∴=∴+=∴⊥，又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD BC =⊂平面,ABCD BC ∴⊥平面,BDEF BC DF ∴⊥，又因为

正方形BDEF 中，

DF EB ⊥且,EB BC ⊂平面,,BCE EB BC B DF ⋂=∴⊥平面BCE ，又CE ⊂平面,BCE DF CE ∴⊥。