高考数学复习第八章解析几何第3节圆的方程课件文新人教A版

4＋2D＋F＝0，
F＝0.
方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故
所求圆的圆心为(1,0)，半径为 1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即 x2＋y2－2x＝0.
VS
题组二 教材改编⇔最新模拟
3．(P121 练习 T3 改编)圆 C 的直径的两个端点分别是 A(－1,2)，B(1，4)，则圆 C 的标准方程为____x2_＋__(_y_－__3_)2_＝__2___.
考点二 与圆有关的轨迹问题
师生 共研
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平 行四边形MONP，求点P的轨迹．
解 如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标 为2x，2y，线段 MN 的中点坐标为x0－2 3，y0＋2 4.
是
(B)
A．R
B．(－∞，1)
C．(－∞，1]
D．[1，＋∞)
解析 由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示 圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1).
6．(2019·河北邯郸月考)圆(x＋1)2＋y2＝2 的圆心到直线 y＝x＋3 的距离为
故圆 P 的方程为 x2＋(y－1)2＝3 或 x2＋(y＋1)2＝3.
考点三 与圆有关的最值问题
已知实数 x, y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求yx的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值．
师生 共研
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆． (1) yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即 y＝kx.当直线 y ＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得最大值或最小值，此时|2kk2－＋01|＝ 3，解得 k＝± 3(如图 1)． 所以yx的最大值为 3，最小值为－ 3.
解析 设圆心坐标为 C(a,0)，∵点 A(－1,1)和 B(1,3)在圆 C 上，∴|CA|＝|CB|，即 a＋12＋1＝ a－12＋9，解得 a＝2，
∴圆心为 C(2,0)，半径|CA|＝ 2＋12＋1＝ 10，∴圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝ 10.
5．(2019·山东威海调研)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围
确定圆心的方法 求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有： (1)当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直 线上来确定圆心位置； (2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线上； (3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线．
图1
(2)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y＝x＋b
与圆相切时，纵截距
b
取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|＝ 2
3，
解得 b＝－2± 6(如图 2)．
所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
图2
[变式探究] 在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
____(_x_－__a_)2_＋__(_y_－__b_)2_＝__r_2_(r_＞__0_)_____
圆心____(a_，__b_)____，半径 r
_____x_2_＋__y_2＋__D__x_＋__E_y_＋__F_＝__0_____， (D2＋E2－4F＞0)
圆心－D2 ，－E2， 半径12 D2＋E2－4F
解析 由题意知 a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点 的坐标为(4,0)．由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆 的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0<m<4，r>0)，则m42－＋m4＝2＝r2r，2，解得rm2＝＝23245，. 所以圆的 标准方程为x－322＋y2＝245.
A．1
B．2
( C)
C． 2
D．2 2
解析 由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线 y＝x＋3 化成一般形式为 x－y＋3＝0， 故圆心到直线的距离 d＝|－121＋－0－＋132|＝ 2.
02 课堂互动·考点突破
考点一 求圆的方程
自主 完成
1．(2019·黑龙江伊春月考)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在x＋x0－2y0|＝
2 2.
又 P 点在双曲线 y2－x2＝1 上，从而得|yx200－－xy020＝|＝11. ，
由xy020－ －yx002＝＝11，，得xy00＝ ＝0－，1.此时，圆 P 的半径 r＝ 3.
由xy020－ －yx002＝＝1－，1，得xy00＝ ＝01.，此时，圆 P 的半径 r＝ 3.
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则___(_x_0_－__a_)2_＋__(_y_0－__b_)_2_＞__r2_____. (2)若M(x0，y0)在圆上，则___(_x_0_－__a_)2_＋__(_y_0－__b_)_2_＝__r2_____. (3)若M(x0，y0)在圆内，则___(_x_0_－__a_)2_＋__(_y_0－__b_)_2_＜__r2_____.
VS
题组一 教材母题⇔高考试题
[教材母题] (教材 P122 例 4)求过三点 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求 这个圆的半径长和圆心坐标．
[高考试题] 1．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆1x62 ＋y42＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上， 则该圆的标准方程为__x_－__32__2＋__y_2_＝__24_5___.
2．已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)， 则该圆的方程是____(_x－__1_)_2_＋__(y_＋__4_)_2_＝__8___.
解析 过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线为 y＋2＝x－3，与 y＝－4x 联立可求 得圆心为(1，－4)．所以半径 r＝ 3－12＋－2＋42＝2 2，
2．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方
程为____x2_＋__y_2_－__2_x_＝__0___.
解析 方法一 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，
(2,0)，
F＝0，
D＝－2，
∴2＋D＋E＋F＝0，解得E＝0， ∴圆的方程为 x2＋y2－2x＝0.
[训练] 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圆C
上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为
(B)
A．7
B．6
C．5
D．4
解析
由(x－3)2＋(y－4)2＝1，知圆上点
P(x0，y0)可化为xy00＝＝34＋＋csions
θ， θ.
第八章 解析几何
第三节 圆的方程
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
栏 目 导 航
01 课前回扣·双基落实 02 课堂互动·考点突破
01 课前回扣·双基落实
1．圆的定义及方程
定义 标准 方程
一般 方程
平面内与___定__点___的距离等于___定__长___的点的集合(轨迹)
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以2x＝x0－2 3，2y＝y0＋2 4，整理得xy00＝ ＝xy＋ －34， . 又点 N(x＋3，y－4)在圆 x2＋y2＝4 上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点 P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2 为半径的圆，因 为 O，M，P 三点不共线，
[训练] 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为 2 3.
(1)求圆心 P 的轨迹方程； (2)若 P 点到直线 y＝x 的距离为 22，求圆 P 的方程．
解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r. 由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3. 故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
4 ． 过 三 点 A(1,3) ， B(4,2) ， C(1 ， － 7) 的 圆 交 y 轴 于 M ， N 两 点 ， 则 |MN| ＝
___4___6_____.
解析
D＋3E＋F＋10＝0， 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则4D＋2E＋F＋20＝0，解得
D－7E＋F＋50＝0.
所以应除去两点－95，152和－251，258.
[误区警示] 此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失 误．
求与圆有关的轨迹问题时的常采用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
的圆的方程是 A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
(C )
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析 AB的中垂线方程为y＝x，所以由y＝x，x＋y－2＝0的交点得圆心(1,1)，
半径为2，
因此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4 .
解析 设圆心 C 的坐标为(a，b)，则 a＝－12＋1＝0，
b＝2＋2 4＝3，故圆心 C(0,3)．半径 r＝12|AB|＝
1 2
[1－－
2＋ － 2＝
2.∴圆 C 的标准方程为 x2＋(y－3)2＝2.
4．(P124A组T4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的 方程为___(_x_－__2_)2_＋__y_2＝__1_0____.
D＝－2， E＝4， ∴圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令 x＝0，得 y＝－2＋2 6或 y＝－2 F＝－20.
－2 6，∴M(0，－2＋2 6)，N(0，－2－2 6)或 M(0，－2－2 6)，N(0，－2＋2 6)，
∴|MN|＝4 6.
求圆的方程的两种方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的 值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出 D，E，F的值．
解 x2＋y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何 知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最 小值(如图)．又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2，所 以 x2＋y2 的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2 的最小值是(2－
3)2＝7－4 3.
与圆有关的最值问题的常见解法 (1)形如 μ＝yx－－ba形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的 最值问题．
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
3 ． 圆 C 与 圆 (x － 1)2 ＋ y2 ＝ 1 关 于 直 线 y ＝ － x 对 称 ， 则 圆 C 的 方 程 为 __x_2_＋__(y_＋__1_)_2_＝__1____.
解析 圆心(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(0，－1)，所以圆C的方程为x2＋(y ＋1)2＝1.
∵∠APB＝90°，即A→P·B→P＝0，
∴(x0＋m)(x0－m)＋y20＝0，
∴m2＝x20＋y20＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36(其中 tanφ＝34)，∴
0<m≤6，即 m 的最大值为 6.
核心素养系列 (四十二)直观想象——圆的方程应用中的核心素养 以平面直角坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题. 通过代数运算研究 几何图形的性质，即利用数形结合的方法思考问题，体现了直观想象的核心素 养.