第7章线性规划问题与网络流

flow={flow(v,w)}，并称flow(v,w)为边(v,w)上的流量。
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（3） 可行流
满足下述条件的流flow称为可行流：
容量约束：对每一条边(v,w)∈E，0≤flow(v,w)≤cap(v,w)。
平衡约束：
对于中间顶点：流出量=流入量。 即对每个v∈V(v≠s,t)有：顶点v的流出量－顶点v的流入量=0，即
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第一阶段：用辅助目标函数代替原来的目标函数。
辅助目标函数：
z' z1 z2 z m。
选择人工变量作为基本变量，其它变量作为非基本变量，构
造初始单纯形表。然后，运行该算法，当所有人工变量均变 成非基本变量时，辅助目标函数达到最大值，第一阶段算法 结束；如果所有人工变量无法全部变成非基本变量，则原线 性规划问题无解。
min z' x 2 3x3 2x4 x1 3x2 - x3 2x4 7 - 2x 4x x 12 2 3 5 - 4x2 3x3 8x4 x 6 10 6) x i 0(i 1,2,3,4,5,
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表7-2 单纯形表2
流边；flow(v,w)>0的边称为非零流边。当边(v,w)既不是一条零流边也不是一
条饱和边时，称为弱流边。
（5） 最大流
最大流问题即求网络G的一个可行流flow，使其流量f达到最大。即flow满足： 0≤flow(v,w)≤cap(v,w)，(v,w)∈E；且
flow(v, w)
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步骤4：选离基变量。选取“常数列元素/入基列元
素”正比值的最小者所对应的基本变量为离基变量， bi bk min { } 即 a 0 a a ，选取基本变量xk为离基变量。 ie ke 步骤5：换基变换（转轴变换）。在单纯形表上将 入基变量和离基变量互换位置，并按照式如下公式 进行各元素的变换后得到一张新的单纯形表。转步 骤 2。
max z 2 x1 4 x2
练习：
max z x1 x2 2 x2 x1 2 x x 1 2 x2 x1 x1 0 2 2 4 x2 0
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x1 2 x2 x 1 x2 x1 0
8 4 3 x2 0
1 基本概念和术语
（1） 网络
G是一个简单有向图，G=(V,E)，V={1，2，…，n}。在V中
指定一个顶点s，称为源和另一个顶点t，称为汇。有向图G
的每一条边(v,w)∈E，对应有一个值cap(v,w)≥0，称为边的 容量。这样的有向图G称作一个网络。
（2） 网络流 网络上的流是定义在网络的边集合E上的一个非负函数
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基本概念：
基本变量（ m个）：每个约束条件中的系数为正
且只出现在一个约束条件中的变量。 非基本变量(n-m)：除基本变量外的变量全部为 非基本变量。 基本可行解：满足标准形式约束条件的可行解称 为基本可行解。由此可知，如果令n-m个非基本 变量等于0，那么根据约束条件求出m个基本变 量的值，它们组成的一组可行解为一个基本可行 解。
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标准型线性规划问题的单纯形算法
单纯形法 是指1947年数学家George Dantzing(乔治· 丹捷格)发明 的一种求解线性规划模型的一般性方法。 约束标准型线性规划问题
为了便于讨论，先考察一类特殊的标准形式的线性规划
问题。在这类问题中，每个等式约束条件中均至少含有 一个正系数的变量，且这个变量只出现在一个约束条件 中。将每个约束条件中这样的变量作为非0变量来求解该 约束方程。这类特殊的标准形式线性规划问题称为约束 标准型线性规划问题。
第二阶段：将第一阶段得到的最后一张单纯形表中
的所有人工变量所在的列全部划掉，剩下的就只含 有xi的约束标准型线性规划问题，此时的目标函数 由辅助目标函数改为原来的目标函数，用剩下的单 纯形表作为第二阶段的初始单纯形表，再次运行约 束标准型单纯形算法，即得线性规划问题的解。
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7.2 最大网络流问题
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例题1
min z x 2 - 3x3 2x4 x1 3x2 - x 3 2x4 7 - 2x 4x 12 2 3 4x2 3x3 8x4 -10 ) x i 0(i 1,2,3,4
解：将线性规划问题转化为约束标准型如下： 令 z' z
i 1 n
z1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 z a x a x a x b 2 21 1 22 2 2n n 2 z a x a x a x b m1 1 m2 2 mn n m m x j 0( j 1,2,, n), zi 0(i 1,2, m)
由约束标准形式可知：x1,x5,x6
是基本变量，x2,x3,x4是非基本 变量，建立初始单纯形表如表72所示。由此可得，基本可行解 为 X(0)=（7,0,0,0,12,10），z’=0。
由表 7-2 可知： x3 为入基变量，
表7-3 单纯形表3
x5 为离基变量，根据迭代公式 得出如表7-3所示的单纯形表3。 由此可得，基本可行解为 X(1)=（10,0,3,0,0,1）, z’=9
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约束标准型线性规划问题的单纯形算法
步骤1：找出基本变量和非基本变量，将目标函数由
非基本变量表示，建立初始单纯形表如表7-1所示。 表7-1 初始单纯形表1
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步骤2；判别、检查目标函数的所有系数，即检验

数cj(j=1,2,…,n)。 （1）如果所有的cj≤0，则已获得最优解，算法结 束。 （2）若在检验数cj中，有些为正数，但其中某一正 的检验数所对应的列向量的各分量均小于等于0， 则线性规划问题无界，算法结束。 （3）若在检验数cj中，有些为正数且它们所对应的 列向量中有正的分量，则转步骤3。 步骤3：选入基变量。在所有cj＞0的检验数中选取 值最大的一个，记为ce，其对应的非基变量为xe， 对应的列向量为[a1e,a2e,…,ame]T，称为入基列。
n
j
(8.1)
s.t.
a x a a
t 1 t 1 n t 1 n
n
it t
bi
i 1,2,, m1 j m1 1,, m1 m2
(8.2) (8.3)
jt t
x bj
kt t
x bk
k m1 m2 1,, m1 m2 m3 (8.4) t 1,2,, n (8.5)
ie

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对应入基列位置元素=-原入基列元素/交叉位置元素

（不包括交叉位置）。 对应离基行位置元素=原离基行元素/交叉位置元素 （不包括交叉位置）。 交叉位置元素=原交叉位置元素的倒数。 目标函数的值=原目标函数的值+同行画线位置元素 ×同列画线位置元素/交叉位置的元素。 其它位置的元素=原对应位置的元素-同行画线位置 元素×同列画线位置元素/交叉位置的元素
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由表 7-3 可知： x2 为入基变量，
表7-4 单纯形表4
x1 为离基变量，根据迭代公式 迭代得如表7-4所示的单纯形表4。 由此可得，基本可行解为 X(2)= （ 0,4,5,0,0,11 ） , z’=11 。同时， 由表 7-4 可知，所有检验数均小 于等于0，故 X(2)= （ 0,4,5,0,0,11 ）为该线性 规划问题的唯一最优解，其最优 值z=-11。
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标准线性规划问题描述
目标函数： max z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 约束条件： a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x j 0( j 1,2, , n)
( v , w)E
flow(v, w) flow(w, v) 0
( w,v )E
对于源s：s的流出量－s的流入量=源的净输出量f，即
( s ,v )E
flow(s, v) flow(v, s) f
( v , s )E
对于汇t：t的流入量－t的流出量的=汇的净输入量f，即
( v ,t )E
flow(v, t ) flow(t, v) f
( t ,v )E
式中f 称为这个可行流的流量，即源的净输出量(或汇的净输入量)。
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（4） 边流
对于网络G的一个给定的可行流flow，将网络中满足flow(v,w)=cap(v,w)的边
称为饱和边；flow(v,w)<cap(v,w)的边称为非饱和边；flow(v,w)=0的边称为零
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将一般线性规划问题转化为标准型规划问题的方法

min z c j x j (1)一般线性规划形式中目标函数如果是求极小值的，即 n j 1 那么，令 z ' z ，则， max z ' c j x j min z max z '
j 1
n





(2)右端常数项如果小于零，则不等式两边同乘以（-1），将其变成大于 零；同时改变不等号的方向，保证恒等变形。如2x1+x2≥－6，－2x1－ x2≤6。 (3)约束条件为大于等于约束时，则在不等式左边减去一个新的非负变量 将不等式约束改为等式约束。如3x1－2x2≥12，3x1－2x2－x3＝12， x3≥0； (4)约束条件为小于等于约束时，则在左边加上一个新的非负变量将不等 式约束改为等式约束。如x1－2x2≤8，x1－2x2＋x3＝8，x3≥0； (5)无约束的决策变量x，即可正可负的变量，则引入两个新的非负变量x’ 和x”，令x=-x’-x”，其中x’≥0，x”≥0，将x代入线性规划模型。 (6)决策变量x小于等于0时，令x’＝－x，显然x’≥0，将x'代入线性规划 模型。 在(3)~(6)中引入的新的非负变量称为松弛变量。
xt 0
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变量满足约束条件(7.2)-(7.5)式的一组值称为线性规划问题的一个可 行解。


所有可行解构成的集合称为线性规划问题的可行区域。
使目标函数取得极值的可行解称为最优解。


在最优解处目标函数的值称为最优值。
有些情况下可能不存在最优解。
根本没有可行解，可行区域为空集；
目标函数没有极值，目标函数值无界。
两阶段单纯形算法
一般线性规划问题转化为标准形式的线性规划问题后，每个
约束条件中不一定都含有基本变量。在这种情况下，可在每 个约束条件表达式的左端添加一个非负变量zi(i=1,2,…,m)， 将其转化为约束标准型的线性规划问题。添加的非负变量zi 称为人工变量。形式如下：
max z c1 x1 c2 x2 cn xn ci xi
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线性规划基本定理
定理1（最优解判别定理）若目标函数中关于非
基本变量的所有系数（以下称检验数）小于等于 0，则当前基本可行解就是最优解。 定理2（无穷多最优解判别定理）若目标函数中 关于非基本变量的所有检验数小于等于0，同时 存在某个非基本变量的检验数等于0，则线性规 划问题有无穷多个最优解。 定理3（无界解定理）如果某个检验数cj大于0， 而xj对应的列向量中所有基本变量的系数 a1j,a2j,…,amj都小于等于0，则该线性规划问题有 无界解。
第7章 线性规划与网络流
学习要点
理解线性规划算法模型
掌握解线性规划问题的单纯形算法
理解网络与网络流的基本概念
掌握网络最大流的增广路算法 掌握网络最小费用流的消圈算法
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线性规划问题和单纯形算法
线性规划问题及其表示
一般线性规划问题可表示为如下形式：
max

c x
j 1 j