高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质学案北师大版必修4

1.5 正弦函数的图像与性质
知识梳理
1。

任意角的正弦函数
（1）单位圆：圆心在原点O，半径等于1的圆称为单位圆.
（2)定义
如图1-4—1所示,单位圆与角α的终边交于P点.设P(a，b）,则P点纵坐标b是角α的函数,称为正弦函数，记为b=sinα（α∈R）。

通常用x、y表示自变量和因变量，将正弦函数表示为y=sinx（x∈R).
图1—4-1
（3)正弦线
如图1—4-1所示,过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.单位圆中的有向线段MP叫做角α的正弦线。

当角α的终边在x轴上时,M与P重合，此时正弦线变成一个点.
（4)正弦线所表示的正弦值可如下确定：
正弦线的方向是表示正弦值的符号，同y轴一致，向上为正,向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.
(5)正弦函数定义的推广
如图1—4—2所示，设P（x，y）是α的终边上任意一点,
图1-4—2
P 到原点的距离|OP|＝r ，有r=22y x ， 则sinα＝
r
y 。

对于每一个确定的角α，总有唯一确定的正弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做正弦函数。

正弦函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小。

2.周期函数
一般地，对于函数y=f （x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f （x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如没特别指明,一般都是指它的最小正周期. 3.任意角的正弦值的符号
(1）图形表示：各象限正弦函数符号,如图1—4—3所示.
图1-4-3
（2）表格表示.
α的终边 sinα x 非负半轴 0 第一象限
+
y非负半轴+
第二象限+
x非正半轴0
第三象限—
y非正半轴-
第四象限—4.正弦函数的图像和性质
(1)图像：如图1-4-4所示.
图1—4—4
（2)性质.
函数
性质
y=sinx 定义域R
值域［-1,1］当x=2kπ+
2
π
（k∈Z）时，y取最大值1;
当x=2kπ-
2
π
（k∈Z)时,y取最小值-1
周期2π奇偶性奇函数
单调性增区间［—
2
π
+2kπ,
2
π
+2kπ］(k∈Z）
减区间［—
2
π
+2kπ,
2
3π
+2kπ］（k∈Z)
5。

诱导公式
知识导学
1.复习初中学过的锐角的正弦函数，本节是锐角的正弦函数的补充和延伸.
2.任意角的正弦值的符号记忆口诀：“上正下负”.其含义是终边在x轴上方的任意角正弦值为正，在x轴下方的任意角正弦值为负.
3.诱导公式的记忆口诀：“函数名不变,符号看象限".其含义是：-α，π±α，2π—a，2kπ+α(k∈Z)的正弦函数值等于α的正弦函数值，前面加上一个把α看成锐角时原正弦函数值的符号。

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