专升本考试资料数学测试题及答案(6套)

D
（3） ydxdy ，其中 D ： x2 y2 2x 与 x 轴围成的上半圆
D
习题 4
1、解下列微分方程
（1） (x2 1) y 2xy cos x 0
（2） xy y y3
（3） y
1 y2 1 x2
（5） ( y 1)2 dy x3 0 dx
Байду номын сангаас
（7） xy y x2 3x 2 ；
（1） 1ln(1 x 2 )dx ； 0
3
（2） arctan xdx ； 1
（3）
1
1e
2 x1 dx
2
（4） x2 cos 2xdx
8、求下列图形的面积
（1） 曲线 y x2 与直线 y x, y 2x 所围成的图形。
（2） 曲线 4 y x2 与 4x y 2 所围成的图形
1、求下列函数的定义域
（1） z y 2 4x ln(x y) ；
习题 3
（2） z ln(xy) ；
x y （3） z ln(x2 y 2 1) ；
2、求下列函数的一阶偏导数
（1） z ln(x ln y) ；
（4） z arcsin( xy) （2） z x2 y 2 ；
11、证明方程 x5 3x 1在区间 (1,2) 中至少有一个根。
12、设 f (x)
ex,
ax b,
13、求下列函数的导数
x 1在 x 1可导，试求 a 与 b x 1
（1） x x ；
（2） y ( x 1)( 1 1) ； x
（3） y ex ln x ； （5） y sin x x ；
数学测试习题六套
习题 1
1、 求函数 f (x) 2、 求函数 f (x)
x 1 1 ln(4 x) 的定义域。 x2
x2 x 6 arcsin 2x 1 的定义域。 7
3、
已知
f
(x)
x2
2x,
x 0 ，求 f (x 1) 。
0, x 0
4、 已知 f (2x 1) x2 ，求 f (x) 。
（2） x2e3xdx ； （4） x2 arccos xdx （6） arccot xdx
x
ln(1 t)dt
（2） lim 0
x0
x2
（2） 1 (x3 3x 2 )dx 1
（4）
1 2
1 x
dx
0 1 x2
（5）
1 dx 0 1 ex
；
（6） 7 x dx ； 4 x3
e2
（2） y 2y 0
（3） y 4y 0
（4） y 9y 0
3、求下列微分方程的特解
（1） y 4y 3y 0 ， y x0 2, y x0 6
（2） y 25y 0 ， y x0 2, y x0 5
4、求解微分方程 y 2y 10y 0 满足初始条件 y |x0 1， y |x0 2 的特解.
（2） x3 y3 3axy 0 ；
（3） x sin(x y) ；
（4） e y e x xy
15、设参数方程为
x tet
，求 dy
y sin t cos t dx
16、求下列函数的二阶导数
（1） y x ln x ；
（2） y xex ；
（3） y ln(x 1 x2 ) ； （4） y sin(x y)
4
1、 计算下列不定积分
（1）
(2x
1)( x
x
1)dx ；
习题 2
（2）
cos(2
x
3
)dx
（3） 3 (2x 1)2 dx ；
（5）
1 dx ； x (1 x)
（7） sin3 x cos xdx ；
（9）
1 sin 1 dx ； x2 x
（4） x cos x2dx
（6）
(4) z arctan x y
5、改变下列二次积分的积分次序
1
y
（1） dy f (x, y)dx ；
0
0
e
ln x
（2） dx f (x, y)dy
1
0
（3）
1
dy
1
f (x, y)dx ；
0
1 y
1
ex
（4） dx f (x, y)dy
0
0
6、计算下列二重积分
（1） (x2 y 2 )dxdy ，其中 D 是矩形闭区域： x 1, y 1 ；
D
（5） ydxdy ，其中 D 是由曲线 x y2 1和直线 x 0, y 0, y 1所围成的区域。
D
7、计算二次积分
1
xdx
1 e y3 dy
0
x
8、利用极坐标系计算下列积分
（1） x2 y 2 dxdy ，其中 D 为环形闭区域： a2 x2 y 2 b2
D
（2） 1 x2 y 2 dxdy ，其中 D : x2 y2 1
x0
x
（6） lim 1 x 1 x ；
x0
x
(8)
lim
(1
x
)
1 x
;
x0 1 x
(10) lim(1 x)cot x ； x0
（12） lim x[ln(x 1) ln x] ； x
（14） lim x 1 2x ； x0
arctan x (17) lim
x x
1
7、讨论函数
f
2
17、求下列函数的微分
（1） y ecos2x ；
（2） y (3x 2)5 ；
（3） y ln(cos ex ) ；
（4） y arcsin x
18、求下列方程所确定的隐函数 y y(x) 的微分。
（1） y 1 xe y ； （3） x y y x ；
19、求下列极限
（1） lim x 1 ； x1 3 x 1
（3） x ln(1 x4 )dx
（5）
x
ln
1 1
x x
dx
；
4、求下列极限
x 1 t 4 dt
（1） lim 0
；
x
x3
5、计算下列定积分
（1） 2 x dx ；
1 x 3
（3）
5 x3
0
x2
dx 1
；
（2）
x dx
1 3 x
（4）
x2 9 dx x2
（6）
1 dx
x(x10 1)
(1) y x ln(1 x) ；（2） y 2x 8 (x 0) ；（3） y ln(x 1 x2 ) ； x
21、求下列函数的极值。
（1）
y
x
3
x
2 3
；
2
（2） y x3 3x
（3） y x ln(1 x) ；
22、求下列函数的最大值和最小值。
（1） y x x ， 0 x 4
（2） y ln x, y 0, x e
（3） y x3 , y 0, x 1
11、在曲线 y x2 (x 0) 上某一点处作一切线，使之与曲线及 x 轴所围图形的面积为 1 ， 12
试求：
（1） 切点 A 的坐标； （2） 过切点 A 的切线方程 （3） 由上述所围平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积。
时底直径与高的比是多少？
27 某地区防空洞的截面拟建成矩形和半圆，截面积为 5m2 。问底宽 x 为多少时才能使截面
的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？
28、设有一根长为 l 的铁丝，将其分成两端，分别构成圆形和正方形。若记圆形面积为 S1 ，
正方形的面积为
S2
。证明：当
S1
S2
为最小值时，
S1 S2
（3） z y ； x
3、求下列函数的二阶偏导数。
(4)z cos exy
6
(1)z x3 y 3x2 y3 ；（2） z sin 2 (x y) ；（3） z ln( x y ) x y
4、求下列函数的全微分
（1） z x y ;
(2) z esin x cos y
(3) z x3e y2 ；
（2） e x e y xy （4） arctan y ln x2 y 2
x
（2） lim a x 1 ； x0 x
（3） lim e x ex 2x ； x0 tan x3
（4） lim ln sin ax (a 0,b 0) x0 ln sin bx
（5） lim x2 (cos 1 1) ；
D
（2） (3x 2 y)dxdy ，其中 D 是由两坐标轴及直线 x y 2 所围成的区域。
D
（3） (x2 y 2 x)dxdy ，其中 D 是由直线 y 2, y x 及 y 2x 所围成的闭区域。
D
（4） xydxdy ，其中 D 是由 y 2 8x 和 y x2 所围成的区域；
5、设连续函数 f (x) 满足方程 f (x) 2 x f (t)dt x2 ，求 f (x) 0
（4） (exy ex )dx (exy e y )dy 0 （6） ydx (x2 4x)dy 0 （8） y y cos x esin x
7
（9） dy 2xy 4x ； dx
2、求下列微分方程的通解
（1） y 2y y 0
（10） dy y sin x ， y( ) 1 dx x x
（3） 当 x 0 时，1 x ln x 1 x2 1 x2
（4） 当 x 4 时， 2x x2
25 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20m 长的墙壁，问应围成怎样的长
方形才能使这间小屋的面积最大？
26.要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径 r 和高 h 等于多少时，才能使表面积最小？这
(x)
x
sin x
x
,
x 0 在点 x 0 处的连续性。
2,
x0
e
x
1,
8、函数
f
(x)
k,
sin 2x
x
x0 x 0 ，问 k 为何值时， f (x) 为连续函数。 x0
9、讨论函数 f (x) x 的间断点，并确定间断点的类型。 sin x
10、证明方程 x 2x 1 0 至少有一个小于 1 的正根。
ex dx
1 e2x
（8）
1 x
sin(ln
x)dx
（10）
ln x dx
x 1 ln 2 x
4
（11）
e x dx 2(1 e x )
2、计算下列不定积分
（1） x 1 dx ；
3 3x 1
（3）
1 dx ；
x 4 x2
（5）
x2 dx ；
(1 x 2 )2
3、计算下列不定积分
（1） x2 cos xdx ；
（7）
dx
1 x 1 ln x
6、计算下列定积分
（1） e 1 ln xdx ；
1x
3
（3）
x dx
0 1 1 x
（8） cos 2 ( x )dx
0
2
ln 2
（2）
e x 1dx ；
0
ln 2
（4）
ex
dx ；
0 1 e2x
2
（5）
x 2 1dx ；
1
x
1
（6）
4 x 2 dx
0
5
7、计算下列定积分
5、 判断函数 f (x) x(e x 1) 的奇偶性。 ex 1
6、 求下列函数的极限
（1） lim( n2 n n) ； n
（3）
lim
x
x2 1 sin 2 (x cos x)2
x
；
（2） lim x 1 ； x1 x 1
（4） lim ( x2 x x2 1) ； x
（5） lim( x1
2 x2 1
1) x 1
；
（7） lim sin(9x2 16) ； x4 3x 4
3
(9)
lim
(
x
2
)
x 2
;
x x 1
（11） lim
x
；
x0 1 cos x
（13） lim x ln(1 sin 1) ；
x
x
x2 sin 1 ln(1 2x)
（15） lim
x
x0
sin x
(16) lim x2 cos 1
x
x
（6） lim( x 1 ) ； x1 x 1 ln x
（7） lim cot x(1 1 ) ；
x0
x sin x
x2
（8） lim(1 2x) x ； x0
x
arctan tdt
（9） lim 0
；
x0 ln(1 x 2 )
1
（10） lim(cos x) x2 x0
20、求下列函数的单调区间。
x sin x
（4） y cos x ； 1 sin x
（6） y x 1 x2
（7） y 1 ln x ；
（8） y esin x2
（9） y arccos x ；
（10） y arctan 2x 1 x2
14、求下列方程所确定的隐函数 y y(x) 的导数。
（1） e y ex xy 0 ；
（3） 曲线 y 1 x 与 x 轴、 y 轴所围成图形。
9、设曲线 y 1 x2 ，x 轴与 y 轴在第一象限所围成的图形被曲线 y ax2 分为面积相等的
两部分，其中 a 0 为常数，试确定 a 的值。 10、求下列各组曲线所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转，所得的旋转体体积。
（1） y x2 1, y x 1
（2） y x4 8x2 2, 1 x 3
23、求下列函数的凹凸区间和拐点。
（1） y 3x4 4x3 2 ；（2） y xex ；（3） y (x 1)4 ex
24、证明下列不等式
3
（1） 当 x 0 时， ln(1 x) x ； 1 x
（2） cos x 1 1 x2 (x 0) 2