高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第一节 空间几何体的表面积与体积教案 理(含解析)

【第一节 空间几何体的表面积与
体积】之小船创作
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl
S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l
名称
几何体 表面积
体积
柱体(棱柱和圆
柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底
V ＝Sh
锥体(棱锥和圆
锥) S 表面积＝S 侧＋S 底
V ＝13
Sh
台体(棱台和圆
台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V ＝13
(S 上＋S 下＋S 上S 下)h
球
S ＝4πR 2 V ＝43
πR 3
[小题体验]
1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________．
解析：设球的半径为R ，因为表面积是16π，所以4πR 2
＝16π，解得R ＝2.所以体积为43πR 3
＝32π3
.
答案：32 3
π
2．(2018·南京高三年级学情调研)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π cm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.
解析：设正方形的边长为a cm，则πa2·a＝27π，得a ＝3，所以侧面积2π×3×3＝18π cm2.
答案：18π
3．(2018·海安高三质量测试)已知正三棱锥的体积为36 3 cm3，高为4 cm，则底面边长为________cm.
解析：设正三棱锥的底面边长为a cm，则其面积为S＝
3 4a2，由题意知
1
3
×
3
4
a2×4＝363，解得a＝6 3.
答案：63
1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问
题易出错．
2．易混侧面积与表面积的概念．
[小题纠偏]
1．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．
答案：2∶3 1∶1
2．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长为3 5 cm，则这个正四棱柱的侧面积是________cm2.
解析：正四棱柱的高为352－32＝6 cm，所以侧面积是4×3×6＝72 cm2.
答案：72
考点一空间几何体的表面积
基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．棱长为2的正四面体的表面积是________．
解析：每个面的面积为：1
2
×2×2×
3
2
＝ 3.所以正四
面体的表面积为4 3.
答案：43
2．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.
由题意，得1
3
×6×
3
4
×22×h＝23，
所以h＝1，
所以斜高h′＝12＋32＝2，
所以S侧＝6×1
2
×2×2＝12.
答案：12
3．已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为________．
解析：由题意得几何体如图所示，几何体是底
面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为
1，高为1的圆锥后剩下的部分，所以几何体的
表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.
答案：(5＋2)π
[谨记通法]
几何体的表面积的求法
(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，
再通过求和或作差求得几何体的表面积．
考点二 空间几何体的体积
重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
1．(2018·苏州高三暑假测试)如图，正四棱锥P ­ABCD 的底面一边AB 的长为2 3 cm ，侧面积为8 3 cm 2
，则它的体积为________cm 3
.
解析：记正四棱锥P ­ABCD 的底面中心为点O ，棱AB 的中点为H ，连结PO ，HO ，PH ，则PO ⊥平
面ABCD ，因为正四棱锥的侧面积为8 3 cm 2
，所以83＝4×
12
×23×PH ，解得PH ＝2，在Rt △PHO 中，HO ＝3，所以PO ＝1，所以V P ­ABCD ＝13
·S 正方形ABCD ·PO ＝4 cm 3
.
答案：4
2．(2019·高邮模拟)如图，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥P ­ABA 1的体积为________．
解析：因为S △ABA 1＝12×3×3＝9
2
，点P 到平面ABA 1的距离
h为△ABC的高33
2
，
所以三棱锥P­ABA1的体积V＝1
3
S△ABA
1
h＝
93
4
.
答案：93
4
[由题悟法]
有关几何体体积的类型及解题策略
[即时应用]
1．现有一个底面半径为3，母线长为5的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是________．
解析：因为圆锥底面半径为3，母线长为5，所以圆锥
的高为52－32＝4，其体积为1
3
π×32×4＝12π.设铁球
的半径为r ，则43πr 3
＝12π，解得r ＝39，所以该铁球的半
径是 3
9.
答案：39
2．(2018·南通调研)如图，在正三棱柱
ABC ­A 1B 1C 1中，若各棱长均为2，且M 为A 1C 1的中
点，则三棱锥M ­AB 1C 的体积是________．
解析：在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，则
AA 1⊥B 1M .因为B 1M 是正三角形的中线，所以B 1M ⊥A 1C 1.因为
A 1C 1∩AA 1＝A 1，所以
B 1M ⊥平面AC
C 1A 1，则V M ­AB 1C ＝V B 1­ACM ＝13×
1
2×AC ×AA 1×B 1M ＝13×12×2×2×3＝23
3
.
答案：23
3
考点三 与球有关的切、接问题
题点多变型考点——多角探明
[锁定考向]
与球有关的切、接问题是每年高考的热点，也是难点，题型多为填空题．
常见的命题角度有：
(1)球与柱体的切、接问题；
(2)球与锥体的切、接问题．
[题点全练]
角度一：球与柱体的切、接问题
1．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：设该球的半径为R，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得(2R)2＝(2)2＋12＋12，
解得R＝1，所以该球的体积V＝4
3
πR3＝
4π
3
.
答案：4π3
2．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记
圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1
V2
的值是________．
解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，
所以V1
V2
＝
πR2·2R
4
3
πR3
＝
3
2
.
答案：3
2
角度二：球与锥体的切、接问题
3．已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
解析：如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于点
D ，连接AD 并延长交BC 于点
E ，连接PE ，
因为△ABC 是正三角形，
所以AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心． 因为AB ＝23，所以S △ABC ＝33，DE ＝1，PE ＝ 2. 所以S 表＝3×1
2×23×2＋33＝36＋3 3.
因为PD ＝1，所以三棱锥的体积V ＝1
3×33×1＝ 3.
设球的半径为r ，以球心O 为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个 小棱锥，
则r ＝33
36＋33＝2－1.
答案：2－1
4．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，
SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
解析：如图，连接AO，OB，
因为SC为球O的直径，
所以点O为SC的中点，
因为SA＝AC，SB＝BC，
所以AO⊥SC，BO⊥SC，
因为平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，
所以AO⊥平面SCB，
设球O的半径为R，
则OA＝OB＝R，SC＝2R.
所以V S­ABC＝V A­SBC＝1
3
×S△SBC×AO
＝1
3
×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
1
2
×SC×OB×AO，
即9＝1
3
×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
1
2
×2R×R×R，解得R＝3，
所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.答案：36π
[通法在握]
“切”“接”问题处理的注意事项
(1)“切”的处理
解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
(2)“接”的处理
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
[演练冲关]
1．(2018·太湖高级中学检测)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________．
解析：由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r ＝1，其高h ＝1，所以球半径为R ＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫h 22＝ 1＋14
＝52，所以该球的体积V ＝43πR 3＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫523π＝55π6
. 答案：55π6
2．三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．
解析：由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝
DC ＝x ，所以x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝546，所以R 2＝x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝832
π. 答案：832
π 3．(2019·南京四校联考)已知在三棱锥S ABC 中，△SAB ，△SBC ，△SAC 都是以S 为直角顶点的等腰三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S -ABC 的内切球的半径为________．
解析：由题意知，SA ＝SB ＝SC .设SA ＝SB ＝SC ＝a ，则2a ＝2，a ＝1.设三棱锥S -ABC 的内切球的半径为r ，则由等
体积法可得，V S -ABC ＝13×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12×1×1×r ×3＋12×62×2×r ＝V A -SBC ＝13×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12×1×1×1，解得r ＝3－36，即三棱锥S -ABC 的内切球的半径为3－36
.
答案：3－36
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·徐州高三年级期中考试)各棱长都为2的正四棱锥的体积为________．
解析：由题意得，底面对角线长为22，所以正四棱锥的高为22－22＝2，所以正四棱锥的体积V ＝13Sh ＝13
×22
×2＝423. 答案：423
2．(2018·苏锡常镇调研)设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积
和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2
的值为________． 解析：法一：由题意知V 1＝a 3，S 1＝6a 2，
V 2＝13πr 3，S 2＝2πr 2， 由V 1V 2＝3π得a 313
πr 3＝3π，
得a＝r，从而S1
S2
＝
32
π
.
法二：不妨设V1＝27，V2＝9π，故V1＝a3＝27，即a＝3，所以S1＝6a2＝54.
如图所示，又V2＝1
3
h×πr2＝
1
3
πr3＝9π，即r＝3，所
以l＝2r，即S2＝1
2
l×2πr＝2πr2＝92π，
所以S1
S2
＝
54
92π
＝
32
π
.
答案：32π
3．(2018·南京二模)如图，正三棱柱
ABC­A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱
BB1，CC1上的点，则三棱锥A­A1EF的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1∥BB1，AA1⊂平面AA1C1C，BB1⊄平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，从而点E 到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH ⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为4，所以
BH＝23，从而三棱锥A­A1EF的体积V A­A
1EF ＝V E­A
1AF
＝
1
3
S
△A1AF ·BH＝
1
3
×
1
2
×6×4×23＝8 3.
答案：83
4．(2018·海安期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD
­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O­A1BC1的体积为________．
解析：连结AC，因为几何体是正方体，所以BO⊥平面A1OC1，
BO是三棱锥B­A1OC1的高，则三棱锥O­A1BC1的体积为
1 3×
1
2
×22×2×2＝
4
3
.
答案：
4
3
5．(2018·盐城模拟)若一圆锥的底面半径为1，其侧面
积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的母线长为l，高为h，则π×1×l＝3π×12，解得l＝3，
则h＝32－12＝22，
故该圆锥的体积V＝1
3
π×12×22＝
22π
3
.
答案：22π
3
6．(2018·苏锡常镇一调)如图，正方体
ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则
四棱锥P­AA1C1C的体积为________．
解析：四棱锥P­AA1C1C可看作：半个正方体割去三棱锥P­ABC和P­A1B1C1.
所以V P­AA
1C1C ＝
1
2
V ABCD­A
1B1C1D1
－V P­ABC－V P­A
1B1C1
＝
1
2
－
1
12
－
1
12
＝
1
3
.
答案：1 3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·扬州模拟)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．
解析：设圆台较小底面半径为r，
则另一底面半径为3r.
由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
答案：7
2．(2018·常州期中)如图，一个实心六角螺
帽毛坯(正六棱柱)的底边长为4，高为3，若在
中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．
解析：设孔的半径为r ，∵此正六棱柱的底边长为4，高为3，在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴2×πr 2
＝2πr ×3，解得r ＝3，∴孔的半径为3.
答案：3
3．(2018·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为________．
解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S 1＝2πrh ＝2πr 2.圆锥的母线l ＝h 2＋r 2＝2r ，故圆锥的侧面积为S 2＝12
×2πr ×l ＝2πr 2，所以S 2∶S 1＝2∶2. 答案：22
4．(2018·苏北四市一模)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．
解析：因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以斜边上的高为2，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合
体，圆锥的底面半径为2，高为2，因此，几何体的体积为V ＝2×13π×22×2＝16π3. 答案：16π3 5．(2018·泰州中学高三学情调研)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为AA 1中点，Q 为CC 1的中点，AB ＝2，则三棱锥B ­P Q D 的体积为________．
解析：如图，连结P Q ，则P Q ∥AC ，取P Q 的
中点G ，连结BG ，DG ，可得BG ⊥P Q ，DG ⊥P Q ，
又BG ∩DG ＝G ，则P Q ⊥平面BGD ，在Rt △BPG
中，由BP ＝5，PG ＝2，可得BG ＝3，同理可得DG ＝3，则△BDG 边BD 上的高为32－22＝1，所以S △BDG ＝12×22×1＝2，则V B ­P Q D ＝13×2×22＝43
. 答案：43
6．(2019·盐城检测)有一个用橡皮泥制作的半径为4的球，现要将该球所用的橡皮泥制作成一个圆柱和一个圆锥，使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面半径为________．
解析：由已知可得球的体积为V ＝43π×43＝256π3.设圆柱和圆锥的底面半径为r ，则圆柱和圆锥的体积和为8πr 2
＋83πr 2＝256π3
，解得r ＝2 2. 答案：22
7．(2018·启东调研)如图，Rt △ABC 的外
接圆⊙O 的半径为5，CE 垂直于⊙O 所在的平
面，BD ∥CE ，CE ＝4，BD ＝2，ED ＝210，若M
为ED 的中点，则V M ­ACB ＝________.
解析：如图，过D 作DH ⊥CE 于H ，则BC
＝DH ，在Rt △EDH 中，由ED ＝210，EH ＝EC
－DB ＝2，得BC ＝DH ＝6，所以在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，所以AC ＝8，即S △ABC ＝24，又因为CE 垂直于⊙O 所在的平面，BD ∥CE ，M 为ED 的中点，所以M 到平面
ABC 的距离为3，所以V M ­ACB ＝13
S △ABC ×3＝24. 答案：24
8．(2018·连云港调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，
则该球的表面积为________．
解析：如图，正四棱锥P ­ABCD 的外接球的球心O 在它的高PO 1上，设球的半径为R ，因为底面边长为22，所以AC ＝4.在Rt △AOO 1中，R 2＝(4－R )2＋22
，所以R ＝52，所以球的表面积S ＝4πR 2
＝25π.
答案：25π
9．(2018·苏州期末)如图，在体积为V 1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V 2，则V 2V 1
＝________. 解析：设圆锥与圆柱的底面面积为S ，高为h ，
所以V 1＝Sh ，V 2＝Sh －13Sh ＝23Sh ，则V 2V 1＝23
. 答案：23
10．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少？ 解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面
高PC ＝h ，球取出后，水面高PH ＝x .根据题设
条件可得AC ＝3r ，PC ＝3r ，则以AB 为底面直
径的圆锥容积为V 圆锥＝13π×AC 2×PC ＝13
π(3r )2×3r ＝3πr 3.
V 球＝43
πr 3. 球取出后，水面下降到EF ，水的体积为
V 水＝13π×EH 2×PH ＝13π(PH tan 30°)2PH ＝19
πx 3. 又V 水＝V 圆锥－V 球，则19πx 3＝3πr 3－43
πr 3， 解得x ＝315r .故球取出后，容器内水深为3
15r . 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．
解析：如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .
又AM ＝12BC ＝1232＋42＝52，OM ＝12
AA 1＝6， 所以球O 的半径R ＝OA ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522
＋62＝132.
答案：13 2
2．三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为________．
解析：由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r
＝
3
2
×3×
2
3
＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离
d＝1，所以外接球的半径R＝r2＋d2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π.
答案：8π
3．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被
一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1
＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1
＝2，求：
(1)该几何体的体积．
(2)截面ABC的面积．
解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交
AA1，BB1分别于点A2，B2.
由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2，
则该几何体的体积V ＝V A 1B 1C 1­A 2B 2C ＋V C ­ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. (2)在△ABC 中，AB ＝22＋4－32＝5，BC ＝22＋3－22＝5，
AC ＝222＋4－22＝2 3.
则S △ABC ＝12×23×52
－32＝ 6.。