新北师大版七年级上数学第二章(有理数及其运算)讲义

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数(:1,2,3)(:-1,-2,-3)⎧⎪⎨⎪⎩正整数如整数负整数如)
0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数一、本章知识梳理
1、大于0的数叫，小于0的数叫。

整数与分数统称为。

2、有理数大小的比较，在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大。

正数在原点的右边，负数在原点的左边。

3、相反数：如果两个数只有符号，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

（0的相反数是0），互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。

4、绝对值的定义：在数轴上表示数a 的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作。

两个负数，绝对值大的反而.
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或
⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a 5、倒数：乘积是的两个数互为倒数。

6、有理数加法法则：①同号两数相加，取符号，并把绝对值。

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取的加数的符号，并用较大数的绝对值较小数的绝对值。

③一个数同0相加，仍得这个数。

7、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。

(1)加法交换律： （2）加法结合律：（）（）
8、有理数减法法则： 减去一个数，等于。

9、有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得，异号得,并把绝对值。

②任何数与0相乘，积仍为0。

10、乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。

（1）交换律：； （2）结合律：（）（）（3）分配律：a （）。

11、有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得，异号得，并把绝对值。

②0除以任何非0的数都得0。

0不可作为除数，否则无意义。

12、有理数的乘方
※注意： =⨯⨯⨯⨯
a n a a a a 个
①一个数可以看作是本身的一次方，如5=15；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。

※乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是；②负数的奇次幂是，负数的偶次幂是；
③任何数的偶数次幂都是；④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；
⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；
13、有理数混合运算法则：
①先算乘方,再算乘除,最后算加减。

②如果有括号,先算括号里面的。

14、科学记数法：把一个大于10的数写成a ⨯ 10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，即110a ≤<，这样的记数法叫做科学记数法。

15、有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数为止，
所有的数字都叫做这个数的有效数字。

二、本章重难点突破
1、重点：理解与掌握有理数、相反数、绝对值等概念；
2、难点：有理数的混合运算及绝对值、相反数的运用。

三、典例剖析
专题一： 正负数、相反数、倒数、数轴、绝对值的概念
例1：-（-2）的相反数是。

例2：若21,_____________.m m -==则
变式训练：
1、绝对值小于5而不小于2的所有的整数有。

2、-3的倒数是。

专题二：有理数的乘方
例3：（1）
（2） （3） （4）
变式训练：（1）
（2） （3）
专题三：科学记数法
例4：用科学记数法表示下列各数。

（1）700000 （2）500900000
专题四：有理数的混合运算
例5：计算：
解：原式=
例6：计算：
解：原式=
例7 ：计算：
解：原式=
变式训练：
1、计算：
解：原式=
2、如果，求代数式的值。

解：当时，原式=
专题五：绝对值的意义与性质
① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性
2(||0,0)a a ≥≥ ② 非负数的性质：1）非负数的和仍为非负数。

2）几个非负数的和为0，则他
们都为0。

例8：若||||||0,a b ab ab a b ab
>+-则
的值等于多少？
例9：如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）
A.相反数
B.倒数
C.绝对值
D.平方
例10：已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

例11：计算：12-3-45+6-7-8+…+2005+2006
变式训练：
1、已知
2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6
2、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式，又可表示为0，b
a ，
b 的
形式，求20062007a
b +。

3、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简 的结果等于（ ）
A.2a
B.2a -
C.0
D.2b
专题六：有理数的实际应用
例12：有一只蜗牛沿高35米的墙爬行，白天上升6米，晚上下降2米。

若今天早上8时
它的位置是离地面5米，试问：
（1）第二天早上8时蜗牛离地面多少米？
（2）四天三夜后，蜗牛的离墙顶还有多少米？
（3）共需要多少天蜗牛才能爬到墙顶？
变式训练：
1、某城市用水标准为：居民每户用水未超过7立方米时，每立方米收费1.00元，并加收每立方米0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收水费1.50元，并加收每立方米0.4元的城市污水处理费．居住在惠源小区的李超家1月份用水10立方米，2月份用水6立方米，请你帮李超算算，他家这两个月共缴水费多少元？
四、达标训练
一、选择题
1、在有理数中，倒数等于本身的数有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、无数个
2、在下列说法中，正确的个数是（ ）
⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示
⑵任何有理数的绝对值都不可能是负数
⑶每个有理数都有相反数
⑷每个有理数都有倒数
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
3、下列说法正确的是（ ）
A 、正数与负数统称为有理数
B 、带负号的数是负数
C 、正数一定大于0
D 、最大的负数是－1
4、在数轴上，原点两旁与原点等距离的两点所表示的数的关系是（ ）
A 、相等
B 、互为相反数
C 、互为倒数
D 、不能确定
5、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（ ）
A 、正数
B 、负数
C 、非负数
D 、不等于零的有理数
6．若0,0>>+ab b a ，那么下面正确的是（ ）
A 、0,0>>b a
B 、0,0<>b a
C 、0,0<<b a
D 、0,0><b a
7．若a b a >-，则b 是（ ）
A 、正数
B 、负数
C 、整数
D 、任意有理数 8．如果一个数的平方等于它的绝对值，那么这个数是（ ）
A 、－1
B 、0
C 、1
D 、－1，0，1
9．下面四个命题中，正确的是（ ）
A 、若b a ≠，则22b a ≠
B 、若b a >，则b a >
C 、若b a >，则22b a >
D 、若b a >，则b a >
10．下列运算中，正确的是（ ）
A 、―15―5=－10
B 、()075.3433=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
C 、()1392=-÷-
D 、()4.3114.373614.3743-=⨯--⨯
二、计算题
1．∣-34∣+19－12 2．()()612436
5127-÷-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+
-
3．
()()
[]2
43
2
3
1
5.0
1
1-
-
⨯
⨯
-
+
-
4.
()⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
-
⨯⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
÷
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
⨯
⨯3
2
2
3
1
1
3
2
3
2
1
1
三、解答题
1、求值：如果()()0
1
3
2
12
2=
-
+
-
+
+c
b
a
，求3
3
3c
a
abc-
+的值．
2、若
2
,3
,5-
=
-
=
=c
b
a，试确定2008
2002
1997c
b
a+
+的末位数字是几。