江苏省G4联盟(苏州中学、扬州中学、盐城2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题

G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022－2023学年第一学期12月联合调研
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{－1，0}，B＝{x|－2＜x＜0}，则A∩B＝
A．{－1} B．{－1，0} C．{x|－2＜x＜0} D．{x|－2＜x≤0}
2．若复数z的共轭复数z满足i⋅z＝4＋3i（其中i为虚数单位），则z z⋅的值为
A7B．5C．7D．25 3．下图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．
根据该折线图，下列说法错误的是
A．城镇人口与年份星现正相关B．乡村人口与年份的相关系数r接近1
C．城镇人口逐年增长率大致相同D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势4．函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为
A．B．
C．D．
5．若椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为
A．1
3
B．
3
3
C．
2
3
D
6
3
6．南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为a ，盆地半径为b （0＜b ＜a ），根据如上事实，可以抽象出的不等关系为
A 3
33
2
2
a b
a b
+<B 22
a b
a b
+< C ．
2
22
22a b a b ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
D ．3
33
22a b a b ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
7．在数列{a n }中，()()111
sin sin 10
n n n n a a a a ++-⋅+=，则该数列项数的最大值为 A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
8．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，CA ＝2，点P 在该三角形的内切圆上运动，若
AP mAB nAC =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最小值为
A ．
5
18
B ．
13
C ．
718
D ．
49
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则 A ．11
4a b
+≤
B ．2222a b
+≥
C ．log 2a ＋log 2b ≤－2
D ．1sin sin 2sin
2
a b +≤ 10．已知函数()x a a x f x e e --=+，()x a a x g x e e --=-，则 A ．函数y ＝g （x ）有且仅有一个零点
B ．f ′（x ）＝g （x ）且g ′（x ）＝
f （x ）
C ．函数y ＝f （x ）g （x ）的图象是轴对称图形
D ．函数()
()
g x y f x =在R 上单调递增
11．乒乓球（tabletennis ），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p （0≤p ≤1），实际比赛局数的期望值记为f （p ），下列说法正确的是 A ．三局就结束比赛的概率为p 3＋（1－p ）3
B ．f （p ）的常数项为3
C ．1435f f ⎛⎫
⎛⎫< ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
D ．133
28
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭ 12．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1．G 为PC
的中点，M 为平面PBD 上一点下列说法正确的是 A ．MG 的最小值为
36
B ．若MA ＋MG ＝1，则点M 的轨迹是椭圆
C ．若156MA =
M 的轨迹围成图形的面积为12
π D ．存在点M ，使得直线BM 与CD 所成角为30°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在6
x x ⎛
- ⎝
的展开式中，常数项为 ．
14．如图，将绘有函数()sin 2f x M πϕ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
（M ＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，此时A ，B 10φ＝ ．
15．我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前n 项和，进而可利用该法求数列{（2n －1）⋅3n }的前n 项和S n ，其操作步骤如下： 由于S n ＝1×31＋3×32＋…＋（2n －1）⋅3n ，
()23131333213n n S n +=
⨯+⨯+
+-⋅，
从而(
)()2
1232323213n n n S n +=--⨯+
+⨯+-⋅，
所以()1133n n S n +=-⋅+，
始比如上方法可求数列{n 2⋅3n }的前n 项和T n ，则2T n ＋3＝ ．
16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝2x ．若对任意x ∈[1，3]，不等式f （x ＋a ）≤f 2（x ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在数列{a n }中，a ＝1，其前n 项和S n 满足2S n ＝（n ＋1）a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）若m 为正整数，记集合22n n
n a a m a ⎧⎫⎪⎪
+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
≤的元素个数为b m ，求数列{b m }的前20项和．
18．（本小题满分12分）
在轴截面为正方形ABCD 的圆柱中，M ，N 分别为弧AD ，弧BC 的中点，且在平面ABCD 的两侧．
（1）求证：四边形ANCM 是矩形； （2）求二面角B －MN －C 的余弦值．
19．（本小题满分12分）
文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N 个字脱落．
（1）若N ＝3，用随机变量X 表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X 的分布列及期望；
（2）若N ＝2，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率． 20．（本小题满分12分）
记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，c ＝2． （1）若2CD DB =，2AD CB ⋅=，求A ； （2）若23
C B π
-=
，求△ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线C 1：y 2＝4x 上，圆C 2：（x －2）2＋y 2＝r 2（0＜r ＜2）．
（1）若r ＝1，Q 为圆C 2上的动点，求线段PQ 长度的最小值；
（2）若点P 的纵坐标为4，过P 的直线m ，n 与圆C 2相切，分别交抛物线C 1于A ，B （异于点P ），求证：直线AB 过定点． 22．（本小题满分12分）
若对实数x 0，函数f （x ），g （x ）满足f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），则称
()()()
00,,f x x x F x g x x x <⎧⎪=⎨⎪⎩≥为“平滑函数”，x 0为该函数的“平滑点”．已知
()3231
22
x f x ax x x =-
+，g （x ）＝bx ln x ． （1）若1是平滑函数F （x ）的“平滑点”， （ⅰ）求实数a ，b 的值；
（ⅱ）若过点P （2，t ）可作三条不同的直线与函数y ＝F （x ）的图象相切，求实数t
的取值
范围；
（2）对任意b ＞0，判断是否存在a ≥1，使得函数F （x ）存在正的“平滑点”，并说明理由．
G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学
2022-2023学年第一学期12月联合调研
高三数学答案及其解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A 2．【答案】D
【解析】4334i z i z i ⋅=+⇒=-，所以25z z ⋅= 3．【答案】B
【解析】因为乡村人口与年份望负线性相关关系，所以r 接近－1，故选B 4．【答案】D 5．【答案】C
【解析】由题意得2
2245109436
b b a a a ⎧⎧==⎪
⇒⎨⎨
=⎩⎪=⎩，所以226c a b =-=，故椭圆离心率为23
c e a =
= 6．【答案】D 7．【答案】C 【
解
析
】
()()()()()()11112111cos cos sin sin sin 2
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++--+--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
-⋅+=
=-
21
sin 10
n a =
，所以{}2sin n a 为等差数列，公差为
1
10
，所以()2211sin sin 1110n a a n =+-⨯
≤，所以
1
10
n -211sin 111a n -⇒≤≤≤，故选C 8．【答案】B
【解析】()m n AP mAB nAC m n AB AC m n m n ⎛⎫
=+=++
⎪++⎝⎭
，由P 在内切圆上，
故AP
m n m n AB AC m n m n +=
⎛⎫
+ ⎪
++⎝⎭
，则11
cos 16
A =
，所以BC 边上高为15h =
圆半径15r =
，故由平行线等比关系，可得21
3
h r m n h -+=≥
，故选B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】BCD 【解析】
选项A ，应该是
114a b
+≥，B ：22221a b
a b
+++≥，B 正确；C ：222log log 2log 22
a b
a b ++=-≤，C 正确；D ：
1
sin sin 2sin
cos 2sin 222
a b a b a b +-+=⋅≤，D 正确；答案为BCD 10．【答案】ABD
【解析】AB 正确，因为()f x 关于x a =轴对称，()g x 关于(),0a 中心对称，故()()
f x
g x 为中心对称图形，C 错误：而()()()()
()22
0'g x f x q x f x B x ⎡⎤-=>⎢⎥
∠⎣⎦
或根据一般得分离常数变形可知D 正确；答案为：ABD 11．【答案】ABD 【解析】 显然A 正确；
()()()()()323131223343141151f p p p C p p C p p C p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦
()03f =，133
28f B ⎛⎫=
⇒ ⎪⎝⎭
，D 正确； 求导或根据()f p 关于
12对称，且p 越极端，越可能快结束，有1141
2352
--≤，得1435f f ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 故答案为：ABD 12．【答案】ABC 【解析】
A 选项判断：应用等体积法，可()()min min 11223
MG AG =≥
，A 正确； B 选项：因为面PBD 不与AG 垂直，也不平行，故轨迹不可能时圆，即为椭圆，B 正确； C 选项判断：设MH ⊥面PBD ，H ∈面PBD ，2151
612
MA HM =
⇒=，故C 正确；
D 选项判断：由于CD 与面PBD 夹角θ满足1
sin 23
θ=>，故[],6πθπθ∉-，D 错误； 综上所述，答案为ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】15
【解析】展开式的通项为()
()366216
6
1r
r r
r Tr C x C x x --+⎛==- ⎝
，当31602r -=，4r =时，为常数项15 14．【答案】
56
π
【解析】如图，因为()f x 的周期为242
T π
π
=
=，所以22T CD =
=，22
T
CD ==，所以22AB AC BC +22410M =+=解得3M =所以()32f x x πϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，所以()3032f ϕ=
=
，1sin 2ϕ=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=或56
π
，又因为函数()f x 在y 轴右侧单调递减，所以56
π
ϕ=
． 15．【答案】(
)
2
1
13n n n +-+⋅
【解析】
2122213233n n T n =⨯+⨯+⋯+⋅① 222321313233n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅②
②－①
()()()2
22222322123123233133n n n T n n n +⎡⎤=-+-⋅+-⋅+
+--⋅+⋅⎣⎦
()()3321333532133n n n n +=--⋅+⋅++-⋅+⋅
()()212112333313n n n n n S n S n n n +++=---+⋅=-+⋅=-+⋅
所以(
)
2
1
2313n n T n n ++=-+⋅
16．【答案】[]3,1-． 【解析】()()()()[]2
221,3f x a f
x f x f x x +==⇒∀∈≤，[]23,1x a a +⇒∈-≤
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分） 解析：
（1）
()()()()()111212221212n
n n n n n n n n n a S n a a S S n a na n n a na n n
---=+⇒=-=+-⇒-=⇒=≥≥1
1
11
1
n n a a a n n -==
=⇒=- （2）
2214222n n a n m m n m a n n ⎛⎫
+⇒+⇒-+ ⎪⎝⎭
≤≤≤， 因为
1422n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
≥，当且仅当2n =时成立， 所以10b =，21b =，
当3n ≥，35b =，47b =，59b =，611b =，…，2339b = 所以{}m b 的前20项和为()135739378+++++=．
18．（本小题满分12分） 【解析】
（1）设轴截面正方形ABCD 边长为2a ，取弧BC 另一侧的中点Q ， 则BC 与NQ 垂直平分，且2BC NQ a ==， 所以四边形BNCQ 为正方形，2BQ NC a ==
，
因为M 为弧AD 中点，所以MQ AB ∥，四边形ABQM 为矩形， 所以AM BQ ∥，所以AM CN ∥，所以四边形AMCN 为平行四边形， 因为226AN AB BN a =
+，2222MN MQ QN a =+=，
所以2
2
2
2
8AM AN MN a +==，所以AM ⊥AN ，所以四边形ANCM 为矩形； （2）由（1）知，226MB MC MQ QB a ==+=，2BN CN a ==，22MN a =，
所以2
MNB MNC π
∠=∠=
所以MNB MNC ∆∆≌，Rt △MBN 斜边MN 上的高626
222a a h a
==， 作BP ⊥MN ，则CP ⊥MN ，
∠BPC 即为二面角B -MN -C 的平面角，6
BP CP ==
，2BC a =， 在△BPC 中，由余弦定理得222222
341
cos 233
BP CP BC a a BPC BP CP a +--∠===-⨯， 二面角B -MN -C 的余弦值为1
3
- 19．（本小题满分12分） 【解析】
（1）随机变量X 的可能取值为0，1，2，1
2C
()33351
010C P X C ===，
()1223356
110C C P X C ===，
()2123353
210
C C P X C ===，
随机变量X 的分布列如下表：
X 0
1
2
P
1
10 610 310
随机变量X 的期望为()012 1.2101010
E X =⨯+⨯+⨯= 法二：
随机变量X 服从超几何分布X ～H （3，2，5），所以()26
355
E X =⨯
= （2）设脱落一个“学”为事件A ，脱落一个“好”为事件B ，脱落一个“数”为事件C ，事
件M 为脱落两个字M AA BB AB AC BC =++++，()2
2251
10C P AA C ==，
()22251
10
C P BB C ==
，
()1122254
10
C C P AB C ⋅==
，
()11
21252
10
C C P AC C ⋅==
，
()11
21252
10
C C P BC C ⋅==
， 所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为
()()()()()()()11413
125525
P P AA P BB P AB P AC P BC =+⨯+++⨯=+⨯=，
法二：
掉下的两个字不同的概率为102
0.810
p -=
=， 所以标语恢复原样的概率为()1
10.62
p p -+=． 20．（本小题满分12分） 解：
（1）()
1121
23333
CD DB AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =⇒=+=+=+-=+ 所
以
()
22212118112cos 233333333AD CB AB AC AB AC AB AC AB AC A ⎛⎫
⋅=+-=--⋅=--⨯⨯=⇒
⎪⎝⎭
1cos 2A =
，因为()0,A π∈，所以3
A π
=
（2）法一：
因为23C B π-=，所以562A C π=
-，62
A
B π=-， 因为2c b =，sin 2sin
C B =，
则5sin 2sin 6262A A ππ⎛⎫⎛⎫
-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
化简整理得3tan 29A =， 所以2
2tan
332sin 14
1tan 2
A
A A =
=+ 故面积为133sin 2S bc A == 法二：
因为2sin 2sin c b C B =⇒=， 因为23
C B π-=， 所以23sin 2sin sin 3B B B B π⎛⎫
+=⇒=
⎪⎝⎭
①， 联立2
2
sin cos 1B B +=②
解得3sin 27cos 27B B ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
， 所以3
sin 2sin 7
C B ==
232C B ππ=+> 所以cos 0C <，则2
cos 1sin 7
C C =-=所以()33
sin sin sin cos cos sin 14
A B C B C B C =+=+=
所以△ABC 的面积为133sin 214
ABC S bc A ∆=
=． 21．（本小题满分12分）
【解析】 （1）设()2,2P t t ，则()2
22212411PQ PC t t --+-≥，当()0,0P ，Q 为2PC 线段与圆2C 的交点时，min 1PQ = （2）题意可知()4,4P ，过P 点直线()44y k x -=-与圆2C 相切， 2
24
1k r k -=+，即()222416160r k k r --+-=，① 设直线AB 为：()()441m x n y -+-=，则与抛物线C 的交点方程可化为： ()
()()()()()24844444(4)4y y m x n y x m x n y -+--+-=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 令44y z x -=
-，则：()()2188440n z m n z m ++--=，② 题意有，①②方程同解，故有
()()()[]()2233164164818444
y r r m n m n -⎡⎤⎣=---+⨯=--+-⎦-， 即：2111m n -=，故：直线AB 恒过()6,7-．
22．（本小题满分12分）
【解析】 （1）（ⅰ）()21'332
f x ax a =-+，()[]'1ln
g x b x =+， 由题意可知10a -=，且532a b -
=， 故解得：1a =，12
b =， （ⅱ）进一步()323,122ln ,12
x x x x F x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥，过点()2,P t 作()F x 的切线，切点()(),x F x 满足方程：()()()2F x t F x x -=-，
故题意等价于方程：()()()'2t F x F x x =--有3个不同根，()()()()'2p x F x F x x =--，()()()''2p x F x x =--，
代入得1,2x ⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝⎭
时，
()p x 单调递减，1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
时，()p x 单调递增，[)2,x ∈+∞时，()p x 单调递减， 故()13,2,ln 228t p x x ⎧
⎫⎛⎫⎛⎫∈∈=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎩⎭ （2）题意等价于：0b ∀>，是否1a ∃≥，使得[]3223ln 221331ln 2
x ax x bx x ax x b x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩有解 消a 有：()313212ln 122ln 1x x b x b x ---=-⇒=-，其中由0b >，可得23x e ⎛∈ ⎝， 故题意进一步化简23x e ⎛∀∈ ⎝，是否1a ∃≥，使得()3ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立， 23x e ⎛⇔∀∈ ⎝，()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立 设()()
2243ln 231q x x x x x x =--+-，()()'83ln q x x x =-， 故2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，单调递减，(x e ∈，()q x 单调递增，
故：()()10q x q =≥得证，即0b ∀>，31a ≥，使得()F x 存在的“平滑点”．。