从一道２０２３年高考题谈二面角的求法

＝
＝ ．
３
|CA||m| ２×２ ６
标系 E
Ｇxyz,则 D (２,
０,
０),
设平面 DAB 与平面 ABF
方法 ２:基底法 ．
设平面 ABD 的法向量为 m ＝xa＋yb＋z
c．
解:设 DA ＝DB ＝DC＝２．
{
所以 s
i
nθ＝ １－
３
．
３
归纳:此方 法 是 在 确 定 基 底 的 前 提 下,先 求 出 两
PE ．
中已证 DE ⊥ 平 面 ABC,
DE ∥
大小为θ,则θ＝∠DPE ＋
由方法３ 已证 DE⊥AB,
DE∥AF,所以 AB⊥AF．
的前提下解题 ．
在解题中,要确保垂线与两个平面 的 交
解:如 图 ４,取 AB 的 中 点
又
AF ,所 以 AF ⊥ 平 面 ABC．
AF⊂ 平面 ABF,则平面 ABC⊥
法的多样性更能 考 查 学 生 的 综 合 解 题 能 力 ．
本文中通
过“一题多解”探究二面角的解法,帮助学生掌握解决此
类题的方法,
在知识与方法的整合中全面提升数学学科
核心素养,
并领悟解题过程中蕴含的数学思想 ．
参考文献:
[
从一道调研试题 谈 二 面 角 的 求 法[
数 学 之 友,
１]程宏咏 ．
J]．
设 DA ＝DB ＝DC ＝２,又 因 为 ∠DPN 与 ∠PDE
PE ３
互补,
s
i
n ∠DPN ＝s
i
n ∠PDE ＝
＝ ．
DP ３
归纳:利用 此 方 法 求 解 二 面 角,其 实 质 就 是 在 图
中先确定二面角的平面角,然 后 求 出 平 面 角 的 大 小 即
二面角的大小 ．
所以 利 用 定 义 法 求 解 二 面 角 最 关 键 的
但是大部分学生仍然畏惧这类题型或 者 解 此 类 题 的 方 法 非 常 单 一,本 文 中 通 过 “一 题 多
解”来探究二面角的求法,帮助学生掌握解决此类题的方法,领悟解题过程中蕴含的数学思想 ．
关键词:二面角;核心素养;数学思想
易得 n１ ＝ (
１,
１,
１),
n２ ＝ (
０,
１,
１)．
１ 真题再现
DＧABＧC 和 直 二 面 角 C
ＧABＧF ,设 二 面 角 DＧABＧF 的
π
,所以
２
)
解:如图 ５,过点 E 作 OE ⊥
平面 ABD ,垂 足 为 O ．
设 DA ＝
２３
;
在平行四边形 ODAM 中,
AM ＝DO ＝
３
在 Rt△AMF 中,
MF ＝
AF２ －AM２ ＝
６
MF ３
３
所以 s
i
a＞０,
r,
s∈Q);
r
r
s
(
２)(
a)
s＝a (
a＞０,
r,
s∈Q);
ＧF 的平面
DB ＝ DC ＝ ２．结 合 题 意,得
面角 ．
设 DA ＝DB ＝DC ＝２,结
π
３
s
i
nθ＝s
i
n ∠DPE ＋
＝c
o
s∠DPE ＝ ．
２
３
方法 ５:三垂线法 ．
EA ＝EB ＝DE ＝ ２,则点 O 是
等 边 三 角 形 ABD 的 中 心 ．
过点
所以 ∠MAF(或其补 角)为 二 面 角 DＧABＧF 的 平
学习指导
２０２４ 年 ５ 月上半月
从一道 ２０２３ 年高考题谈二面角的求法
◉ 贵州省毕节市第二实验高中 张泽勇
摘要:求二面角的大小是高数学中的一个重点和难点问 题,也 一 直 是 历 年 高 考 的 高 频 考 点,重 点 考 查 逻 辑 推 理、直 观 想
象和数学运算等数学学科核心素养 ．
c)b＝０,
得
→
(
c)a＝０．
m DA ＝０, xa＋yb＋z
{
{
令 y＝－１,解得 m ＝２
a－b－３
c,则|m|＝２ ６．
易证 CA ⊥ 平面 ABF ,所 以C→
A 是 平 面 ABF 的 一
→
个法向量 ．
又C→
A ＝a－c,
|CA|＝２,所以
→
８
６
→ , › CA m
‹
c
o
s CA m ＝ →
２ 解法探究
由于问题(
１)只需先证明 BC⊥ 平面 ADE 即可得
到结论,因此 本 文 重 点 探 究 问 题 (
２)中 求 解 二 面 角 的
方法 ．
方法 １:坐标法 ．
结合题意,得 AC＝AB ＝２,
DE ＝AE ＝ ２．
所以 AE２ ＋DE２ ＝AD２ ,即 AE ⊥DE ．
又 AE⊥BC,
DE∩BC＝E,所以 AE⊥ 平面 BCD ．
ABF ,
AB ⊥PE ,又因为平面 ABC∩ 平面 ABF ＝AB ,
所以 PE ⊥ 平面 ABF ．
角．
又 OP＝
图５
O 作 OM ∥ EF ,使 得 OM ＝
EF ,连接 MF ,
AM ,
DE ,
DO ,则 四 边 形 OEFM 为 平
４６
２３
;
在等边三角形 ABD 中,
DO ＝
３
所以 ∠OEP(或其补角)为二面角 DＧAB
０,
０)．
又A→
B＝(
０,２,－ ２),则有
－ ２x１ ＋ ２z１ ＝０, ２y２ － ２z２ ＝０,
２y１ － ２z１ ＝０,
－ ２x２ ＝０．
{
解:设 DA ＝DB ＝DC＝２．
→
→
→
令DA
＝a,
DB ＝b,
DC＝c,则
ab＝２,
ac＝２,
bc＝０．
由
→
m DB ＝０, (
xa＋yb＋z
方法 ４ 中,无 法 确 定
其中一个平面的垂线与 另 一 个 平 面,则 可 通 过 平 移 垂
线,使平移后 的 垂 线 与 两 个 平 面 都 相 交,确 定 了 交 点
后可根据三垂线法得到二面角的平面角(或补角)．
方法 ６:两个 半 平 面 的 垂 线 所 成 角 (或 补 角)的 大
小即为所求二面角的大小 ．
AD ,且 OM ＝AD ,所 以 四 边 形 ODAM 为 平 行 四 边
解:如图３,
取 AB 的中点 P,
BF 的 中 点 N ,连 接 AE ,DE ,
PN ,
PE ,
DP ,则 PN ∥AF ．
→
→ ,可 知 四 边 形
由EF ＝ DA
ADEF 为平行四边形,则 DE ∥
AF ,所以 DE ∥PN ．
所以 ∠DPN 是二面角 DＧABＧF 的平面角 ．
设 DA ＝DB ＝DC＝２．
３
由方法 ３,已计算 s
i
n ∠DPN ＝ ．
３
归纳:此方 法 是 在 确 定 了 二 面 角 的 棱 的 垂 面 后,
此垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是
二面角的平面角 ．
如果垂面与二面角的两个半平面的
交线无法确定,可以通过延 展 平 面 或 者 平 移 平 面 来 确
n ∠MAF ＝
＝
＝ ．
AF
２ ３
６
．
３
归纳:方 法 ４ 与 方 法 ５ 其 实 运 用 的 都 是 垂 线 法,
两种解法都 是 在 已 经 确 定 了 其 中 一 个 半 平 面 的 垂 线
的情况必 定 是 垂 线 与 二 面 角 的 棱 相 交 的 时 候),此 时
可用分割法确定二面角的平面角 ．
线的夹角与二面角的平面 角 的 关 系,通 过 求 解 两 垂 线
的夹角,进而确定二面角的大小 ．
点 评:方 法 ３~ 方 法 ７ 都 是 根 据 二 面 角 的 平 面 角
的作法,利用判定定理和 性 质 定 理 证 明 所 作 角 即 为 所
方法 ７:垂面法 ．
求角,这 些 方 法 不 仅 要 求 学 生 对 相 应 的 知 识 非 常 熟
解:如 图 ７,取 AB 的 中 点
悉,而且要有较强的逻辑推理和直观想象能力 ．
P,
BF 的中点 N ,连接 DE,
PN ,
PE ,EN ,DP ,则 PN ∥ AF ,
EP ∥AC．
→
由E→
F ＝ DA ,可 知 四 边 形
ADEF 为平行四边形,则 DE ∥AF ．
以上 ７ 种方法都是 通 过 挖 掘 题 目 中 的 隐 含 条 件,
“数”与“形”完美 结 合 ．
但 对 学 生 计 算 能 力 的 要 求 较 高,
这就需要在教学中加强对学生数学运算素养的培养 ．
４５
学习指导
２０２４ 年 ５ 月上半月
行四边形,得 OE ∥MF ．
所以 MF ⊥ 平面 ABD ．
方法 ３:定义法 ．
→
由E→
F ＝DA ,知 EF ∥AD ,且 EF ＝AD ,则 OM ∥
２０２２(
１０):
６６
Ｇ
６８．
[
从 ２０２０ 年一道高考 题 谈 二 面 角 的 求 法[
理科考
２]张东 ．
J]．
试研究,
２０２１(
１７):
１７
Ｇ
１９．
Z

(上接第 ３４ 页)
(
１)
aras ＝ar＋s (
BC⊥DA ;
→
→
(
)
点
满足
２
F
EF ＝DA ,求 二 面 角 DＧABＧF 的 正
弦值 ．
图
６
３
＝ ．
９
３
３
．
３
归纳:此方法是在能 够 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 的 前
故二面角 DＧABＧF 的正弦值为
提下,通过分 别 求 出 两 个 平 面 的 法 向 量 的 坐 标,进 而
求出二面角的余弦值,然后求出二面角的正弦值 ．
如图 ２,建 立 空 间 直 角 坐
A(
０,０, ２ ),B(
０,２,
０),
E(
０,
０,
０)．
的 一 个 法 向 量 分 别 为n１ ＝
(
x１ ,
z１),
n２ ＝(
x２ ,
z２)．
y１ ,
y２ ,
图２
→
由E→
F ＝DA ＝ (－ ２,
０,２),可 得 F(－ ２,
０,２),
所以A→
F ＝ (－ ２,
内的射影 ．
１
３
１
DP＝ ,
PE＝ AC＝１,则在 Rt△POE
３
３
２
OP ３
中,有 s
i
n ∠OEP ＝
＝ ．
PE ３
归纳:方法 ６ 其 实 与 方 法 １ 和 方 法 ２ 的 解 题 思 想
本质是一样的,共同点是 利 用 二 面 角 中 两 个 半 平 面 垂
学习指导
２０２４ 年 ５ 月上半月
→ ›
→ ›
２
所以 s
i
n‹
CA ,
m ＝ １－c
o
s‹
CA ,
m ＝
个平面的法向量(用基底 表 示),进 而 求 出 二 面 角 的 余
弦值 ．
点评:以上两种方法 都 是 将 几 何 问 题 转 化 为 向 量
问题,将向量 的 运 算 结 果 翻 译 为 几 何 结 论,有 效 避 免
了寻找二面角的平面角,体现了化归与转化的思想,将ห้องสมุดไป่ตู้
虽然每种方法的侧重点 不 同,但 是 本 质 都 是 围 绕 二 面
图７
所 以 DE ∥PN ,可 知 平 面 PDE 与 平 面 PDEN
是同一平 面 ．
在 方 法 ３ 中 已 证 AB ⊥DE ,在 方 法 ４ 中
已证 AB ⊥ PE ,又 PE ∩ DE ＝ E ,PE ,DE ⊂ 平 面
PDEN ,则 AB ⊥ 平面 PDEN ．
方法 １ 中已证 DE ⊥AE ．
形,所以 M ∈ 平面 ABD ,
AM 为斜线 AF 在平面 ABD
图３
又 DE⊥BC,
BC∩AE＝E,所以 DE ⊥ 平面 ABC,
则 DE ⊥AB ．
所以 PN ⊥AB ．
又在等边三角形 ABD 中 PD ⊥AB ,所 以 ∠DPN
是二面角 DＧABＧF 的平面角 ．
设二面角 DＧABＧF 的大小为θ,则
题目 (
２０２３ 年 新 课 标 全
|n１ n２|
２
６
|c
o
sθ|＝
＝
＝ ．
|n１||n２| ３× ２ ３
国 Ⅱ 卷)如 图 １,三 棱 锥 AＧBCD
中,
DA ＝DB ＝DC,
BD ⊥CD ,
∠ADB ＝ ∠ADC ＝６０
°,E 为
１
BC 的中点 ．
(
１)证明:
定两交线 ．
角的定义直接或间接求 解 二 面 角,这 也 体 现 了 数 学 中
的转化与化归思想,所以“一 题 多 解”的 探 究 是 有 必 要
的．
除了以上方法,其实还有一些其他求解二面角 的 方
法,比如面积射影 法、三 面 角 公 式 法 [２],用 这 两 种 方 法
同样能解出此题 ．
关于二面角的解法也许还有很 多,解
线确实与 两 个 平 面 都 相 交,只 是 交 点 重 合 (交 点 重 合
平面 ABF ,所 以 二 面 角 C
在等边
ＧABＧF 为 直 二 面 角 ．
(
由三垂线逆定理,得 AB ⊥AM ．
点后,才能找到解 题 的 突 破 口 ．
在 方 法 ３ 中,确 定 的 垂
在方法３
P ,连 接 DP ,
DE ,
解:如图 ６,过点 E 作 OE ⊥
平面 ABD ,垂足为 O ,取 AB 的
中 点 P ,连 接 PE ,OP ,DE ,
EA ,则 OE ⊥OP ．
图６
合题意得 EA ＝EB ＝DE ＝ ２,则 点 O 是 等 边 三 角 形
在 方 法 ４ 中 已 证 明 平 面 ABC ⊥ 平 面
ABD 的中 心 ．
步骤就是确定二面角的平面角 ．
方法 ４:分割法 [１]．
图４
三 角形 ABD 中,
AB ⊥DP ,又 PE 是 DP 在平面 ABC
内的射影,由三垂线逆定理得 AB ⊥PE ．
所以 ∠DPE 是二面角 DＧABＧC 的平面角 ．
PE ３
易得 c
o
s∠DPE ＝
＝ ．
DP ３
因为平面 ABC 将二面角 DＧABＧF 分割为 二 面 角