2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算

2．10导数的概念及运算
［知识梳理]
1．变化率与导数
（1）平均变化率
(2）导数
2．导数的运算
[诊断自测] 1．概念思辨
(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )
（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）
答案 （1）× （2)× (3）× （4）×
2．教材衍化
(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）
A ．4
B ．4x
C ．4＋2Δx
D ．4＋2（Δx ）2
答案 C
解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，
∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.
（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为
________． 答案
错误!
解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π
4. 3．小题热身
（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）
A．0 B．1 C．2 D．3
答案D
解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.
(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．
答案y＝2e x－e
解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，
∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.
题型1导数的定义及应用
错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则
错误!错误!的值为（）
A．－错误! B.错误! C.错误!D．0
用定义法．
答案A
解析由导数定义，错误!错误!＝
－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，
故选A。

错误!已知f′(2）＝2,f(2）＝3，则错误!错误!＋1的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4
用定义法．
答案C
解析令x－2＝Δx，x＝2＋Δx,则原式变为
错误!错误!＋1＝f′(2)＋1＝3，故选C.
方法技巧
由定义求导数的方法及解题思路
1．导数定义中,x在x0处的增量是相对的,可以是Δx，也可以是2Δx,解题时要将分子、分母中的增量统一．
2．导数定义错误!错误!＝f′(x0)等价于错误!
错误!＝f′（x0）．
3．求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的求解步骤：
冲关针对训练
用导数的定义求函数y＝错误!在x＝1处的导数．
解记f（x）＝错误!，
则Δy＝f（1＋Δx）－f(1）＝错误!－1＝错误!＝
错误!
＝错误!，
Δy
Δx＝－错误!，
∴错误!错误!＝错误!错误!＝－错误!。

∴y′|x＝1＝－错误!。

题型2导数的计算
错误!求下列函数的导数:
(1)y＝（3x3－4x)（2x＋1)；
(2）y＝x2sin x；
(3）f（x）＝cos错误!；
(4)f(x）＝e－2x sin2x.
用公式法．
解（1)解法一：y＝（3x3－4x)(2x＋1）
＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4。

解法二：y′＝（3x3－4x)′·（2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1）′＝(9x2－4）（2x＋1）＋(3x3－4x)·2
＝24x3＋9x2－16x－4.
(2)y′＝(x2）′sin x＋x2（sin x)′＝2x sin x＋x2cos x。

（3)解法一：f′（x)＝－sin错误!·(－2)
＝2sin错误!＝－2sin错误!。

解法二：∵f（x)＝cos错误!cos2x＋sin错误!sin2x
＝错误!cos2x＋错误!sin2x,
∴f′(x)＝－sin2x＋错误!·cos2x
＝－2sin错误!.
（4)f′(x)＝－2e－2x sin2x＋2e－2x cos2x
＝－22e－2x sin错误!。

方法技巧
导数计算的原则和方法
1．原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
2．方法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导,见典例（1)；
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导；
(3）对数形式:先化为和、差的形式，再求导；
（4)根式形式:先化为分数指数幂的形式，再求导；
（5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导,见典例(3)；
（6)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程,然后求导，见典例(4)．
冲关针对训练
1．（2017·温州月考)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f（x)＝2xf′（1）＋ln x，则f′(1）＝（)
A．－e B．－1 C．1 D．e
答案B
解析∵f(x)＝2xf′(1）＋ln x,
∴f′（x)＝[2xf′(1)]′＋(ln x)′＝2f′(1)＋错误!，
∴f′（1）＝2f′（1)＋1，即f′（1)＝－1。

故选B.
2．求下列函数的导数：
（1)y＝e2x cos3x;
（2)y＝ln x2＋1。

解（1)y′＝（e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′
＝2e2x cos3x＋e2x（－3sin3x)
＝e2x(2cos3x－3sin3x）．
(2)y＝错误!ln （x2＋1)，y′＝错误!·错误!＝错误!.
题型3曲线的切线问题
角度1求曲线的切线方程
错误!(2016·全国卷Ⅲ）已知f(x）为偶函数,当x〈0时，f(x)＝ln (－x)＋3x，则曲线y＝f（x）在点（1，－3)处的切线方程是__________________．
直接法．
答案y＝－2x－1
解析令x>0，则－x<0，f(－x）＝ln x－3x,
又f(－x)＝f（x）,∴f（x)＝ln x－3x（x>0），
则f′（x）＝错误!－3(x>0)，∴f′(1)＝－2，
∴在点(1，－3）处的切线方程为y＋3＝－2(x－1），
即y＝－2x－1.
角度2求切点坐标(多维探究)
错误!(2017·石家庄模拟)若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
利用方程思想方法．
答案（e，e）
解析设P(x0，y0），则y＝x ln x的导函数y′＝ln x＋1，由题意ln x0＋1＝2,解得x0＝e,易求y0＝e。

［条件探究］试求典例中曲线y＝x ln x上与直线y＝－x平行的切线方程．
解设切点为(x0，y0），因为y′＝ln x＋1，
所以切线的斜率k＝ln x0＋1，
由题意知k＝－1，
得x0＝错误!，y0＝－错误!,
故所求的切线方程为
y＋错误!＝－错误!,即e2x＋e2y＋1＝0。

角度3与切线有关的参数问题
错误!(2016·北京高考)设函数f(x）＝x e a－x＋bx，曲线y＝f（x)在点（2，f(2））处的切线方程为y＝（e－1）x＋4。

求a，b的值；
用方程思想方法．
解因为f(x)＝x e a－x＋bx，
所以f′（x)＝(1－x）e a－x＋b。

依题设，知错误!
即错误!
解得a＝2,b＝e。

方法技巧
与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略1．求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，①曲线y＝f(x）在点P(x0，f（x0）)处的切线方程是y－f(x0）＝f′（x0)（x－x0)；②求过某点M（x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0,f（x0)），则切线方程为y－f(x0）＝f′(x0)(x－x0)，再把点M（x1，y1)代入切线方程,求x0。

2．已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．见角度2典例．3．根据导数的几何意义求参数的值时,一般是利用切点P（x0，y0）既在曲线上又在切线上构造方程组求解．见角度3典例．提醒：求曲线y＝f（x）过点P（x0，y0）的切线方程时，点P(x0，y0）不一定是切点．
冲关针对训练
1．(2017·陕西五校联考)已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的一条切线，则m的值为(）
A．0 B．2 C．1 D．3
答案B
解析因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的切线，所以令y′＝2x－错误!＝－1，得x＝1或x＝－错误!(舍），即切点为（1,1）,又切点(1,1）在直线y＝－x＋m上,所以m＝2，故选B。

2．已知曲线y＝错误!x3＋错误!。

(1)求曲线在点P(2,4）处的切线方程；
（2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；
（3)求斜率为1的曲线的切线方程．
解(1）∵y′＝x2，
∴k＝y′｜x＝2＝4，
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为4x－y－4＝0.
（2）设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A错误!，则k＝y′｜x ＝x0＝x20。

∴切线方程为y＝x2，0x－错误!x错误!＋错误!.
又∵P（2,4）在切线上，所以4＝2x错误!－错误!x错误!＋错误!，即x错误!－3x20＋4＝0。

x3，0＋x错误!－4x错误!＋4＝0，（x0＋1）（x0－2)2＝0,∴x0＝－1，x0＝2.
故所求切线为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0。

(3)设切点为（x0，y0)，则k＝x20＝1，
∴x0＝±1，故切点为错误!，(－1，1)，
∴所求切线方程为3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0。

题型4导数的几何意义的应用
错误!（2017·资阳期末)若对∀x∈［0，＋∞)，不等式2ax≤e x －1恒成立,则实数a的最大值是(）
A。

错误! B.错误!C．1 D．2
数形结合法．
答案A
解析对∀x∈[0,＋∞），不等式2ax≤e x－1恒成立，
设y＝2ax，y＝e x－1，其中x≥0；
在同一坐标系中画出函数y＝2ax和y＝e x－1的图象如图所示，则y′＝e x,令x＝0，得k＝e0＝1，
∴曲线y＝e x－1过点O(0，0）的切线斜率为k＝1；
根据题意得2a≤1，解得a≤错误!，
∴a的最大值为错误!。

故选A.
错误!已知函数f(x)＝x3＋x2,数列｛x n｝（x n>0）的各项满足：曲线y＝f(x）在（x n＋1，f(x n＋1））处的切线与经过(0,0）和(x n，f（x n))两点的直线平行．
求证：当n∈N*时,x2，n＋x n＝3x错误!＋2x n＋1.
导数法．
证明y＝f（x)在(x n＋1，f(x n＋1）)处的切线斜率为f′（x n＋1)＝3x2n＋1＋2x n＋1，经过（0,0）,(x n，f(x n）)的直线斜率为错误!＝错误!＝x错误!＋x n。

∴x2n＋x n＝3x错误!＋2x n＋1.
方法技巧
此类问题注意导数与切线斜率的对应关系k＝f′(x0)，同时应用数形结合思想．
冲关针对训练
1．P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点,则|PQ｜最小值＝(）
A．0 B.错误! C.错误!D．2
答案C
解析直线与y＝ln x相切且与y＝x＋1平行时,切点P到直线y＝x＋1的距离｜PQ|最小,(ln x）′＝错误!,令错误!＝1得x＝1，故P(1,0)，所以｜PQ｜min＝错误!＝错误!。

故选C.
2．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）
A．y＝错误!x3－错误!x2－x B．y＝错误!x3＋错误!x2－3x
C．y＝1
4x
3－x D．y＝错误!x3＋错误!x2－2x
答案A
解析由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点（0，0),(2,0），在(0，0）处的切线方程为y＝－x，在（2,0)处的切线方程为y＝3x－6.以此对选项进行检验．A选项，y＝错误!x3－错误!x2－x，显然过两个定点，又y′＝错误!x2－x－1，则y′｜x＝0＝－1,y′|x＝2＝3，故条件都满
足，故选A.
1．(2016·山东高考）若函数y＝f(x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y＝f(x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（)
A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝e x D．y＝x3
答案A
解析设函数y＝f（x)图象上的两点分别为(x1，y1)，（x2，y2），且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f（x）满足f′(x1）·f′(x2)＝－1即可．y＝f（x）＝sin x的导函数为f′(x)＝cos x,则f′（0)·f′（π）＝－1，故函数y＝sin x具有T性质；y＝f(x)＝ln x的导函数为f′(x）＝错误!,
则f′（x1）·f′（x2）＝错误!>0，故函数y＝ln x不具有T性质；y＝f（x）＝e x的导函数为f′（x)＝e x，则f′(x1）·f′（x2）＝e x1＋x2〉0，故函数y＝e x不具有T性质；y＝f(x）＝x3的导函数为f′(x）＝3x2，则f′(x1）·f′(x2）＝9x错误!x错误!≥0，故函数y＝x3不具有T性质．故选A.
2．（2018·济南模拟)已知函数f(x)＝2f（2－x）－x2＋5x－5，则曲线y＝f（x)在点(1,f（1））处的切线方程为(）
A．y＝x B．y＝－2x＋3
C．y＝－3x＋4 D．y＝x－2
答案A
解析∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋5x－5,
∴f′(x)＝－2f′（2－x)－2x＋5。

令x＝1，则f(1）＝2f（1）－1＋5－5，∴f（1）＝1.
f′（1）＝－2f′(1）－2＋5，∴f′（1)＝1.
∴切线方程为y＝x。

故选A。

3．（2016·全国卷Ⅱ）若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1）的切线，则b＝________。

答案1－ln 2
解析直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2,y＝ln (x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1），B（x2,y2），由y＝ln x＋2得y′＝错误!，由y
＝ln （x＋1）得y′＝
1
x＋1，∴k＝
1
x1＝错误!，
∴x1＝错误!，x2＝错误!－1，∴y1＝－ln k＋2,y2＝－ln k。

即A错误!，B错误!，
∵A、B在直线y＝kx＋b上,
∴错误!⇒错误!
4．(2014·江西高考）若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
答案（－ln 2，2)
解析
[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．曲线y＝lg x在x＝1处的切线的斜率是（)
A。

错误!B．ln 10 C．ln e D.错误!
答案A
解析因为y′＝错误!,所以y′|x＝1＝错误!，即切线的斜率为
错误!.故选A。

2．(2017·潼南县校级模拟)如图，是函数y＝f(x）的导函数f′（x)的图象，则下面判断正确的是（）
A．在区间（－2，1)上f(x）是增函数
B．在(1，3)上f（x)是减函数
C．在（4,5)上f（x）是增函数
D．当x＝4时,f（x)取极大值
答案C
解析由于f′（x）≥0⇒函数f（x）单调递增;f′(x）≤0⇒函数f （x)单调递减,观察f′(x)的图象可知，
当x∈（－2，1)时,函数先递减，后递增，故A错误；
当x∈(1,3)时，函数先增后减，故B错误；
当x∈(4,5）时函数递增,故C正确;
由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误．故选C。

3．(2018·上城区模拟)函数f（x）的导函数f′(x）的图象如图所示，则f(x）的函数图象可能是（)
答案B
解析由图可得－1<f′(x）<1，切线的斜率k∈(－1,1)且在R 上切线的斜率的变化先慢后快又变慢．
∴结合选项可知选项B符合．
4．（2018·昆明调研）若曲线f（x)＝a cos x与曲线g(x）＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝（）
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案C
解析依题意得f′（x)＝－a sin x,g′（x）＝2x＋b，于是有f′（0）＝g′(0),即－a sin0＝2×0＋b，则b＝0,又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1,选C。

5．(2018·山东烟台期末）若点P是函数y＝e x－e－x－3x错误!图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（）
A.错误!B。

错误! C.错误! D.错误!
答案B
解析由导数的几何意义，k＝y′＝e x＋e－x－3≥2错误!－3＝－1,当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)，又∵tanα<0，所以α的最小值为错误!，故选B.
6．(2017·山西名校联考）若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f（x)的解析式可能为()
A．f(x)＝3cos x B．f（x)＝x3＋x2
C．f(x）＝1＋sin2x D．f(x)＝e x＋x
答案C
解析A选项中,f′(x)＝－3sin x，其图象不关于y轴对称,排除A；B选项中，f′(x)＝3x2＋2x，其图象的对称轴为x＝－错误!，排除B；C选项中,f′(x）＝2cos2x，其图象关于y轴对称；D选项中,f′(x）＝
e x＋1，其图象不关于y轴对称．故选C。

7．（2018·河南郑州质检二)已知y＝f（x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf(x),g′(x）是g(x)的导函数,则g′(3）＝（）
A．－1 B．0 C．2 D．4
答案B
解析由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率等于－1 3，
∴f′（3)＝－错误!。

∵g(x）＝xf（x），∴g′（x)＝f(x)＋xf′(x),∴g′（3）＝f（3）＋3f′(3），又由题图可知f(3）＝1，所以g′（3)＝1＋3×错误!＝0。

故选B.
8．(2017·辽宁五校联考）已知f（x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P（－1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于(）A．4 B．5 C.错误!D。

错误!
答案C
解析∵f(x）＝x3－2x2＋x＋6,∴f′(x）＝3x2－4x＋1，∴f′(－1）＝8，切线方程为y－2＝8（x＋1），即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－错误!,∴所求面积S＝错误!×错误!×10＝错误!。

故选C.
9．(2017·青山区月考）函数y＝f(x）的图象过原点且它的导函数y＝f′（x）的图象是如图所示的一条直线，y＝f（x）的图象的顶点在（)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案C
解析由导函数的图象和y＝f（x)的图象过原点，设f(x)＝ax2＋bx,所以f′(x)＝2ax＋b,
由图得a〉0,b〉0,则－错误!〈0，错误!＝错误!〈0，
则函数f(x)＝ax2＋bx图象的顶点错误!在第三象限，故选C.
10．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线f（x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是()
A．1 B.错误!C．1或错误!D．1或－错误!
答案C
解析易知点O(0，0）在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上．
（1）当O(0，0）是切点时，则k＝f′(0）＝2，直线l方程为y ＝2x。

又直线l与曲线y＝x2＋a相切，∴x2－2x＋a＝0满足Δ＝4－4a ＝0，解得a＝1.
(2）当O(0,0）不是切点时，设切点为P（x0，y0),则y0＝x错误!－3x错误!＋
2x0,且k＝f′(x0)＝3x2，0－6x0＋2，①
又k＝错误!＝x错误!－3x0＋2，②
联立①②解得x0＝错误!（x0＝0舍），
即k＝－错误!，则直线l方程为y＝－错误!x。

由错误!联立得x2＋错误!x＋a＝0，
由Δ＝1
16－4a＝0,得a＝错误!，综上，a＝1或a＝错误!，故选C.
二、填空题
11．（2017·临川区三模)已知函数f（x）＝sin x－cos x,且f′（x)＝2f（x)，则tan2x的值是________．
答案－错误!
解析求导得:f′（x）＝cos x＋sin x，
∵f′(x)＝2f(x），
∴cos x＋sin x＝2（sin x－cos x），即3cos x＝sin x，
∴tan x＝3,则tan2x＝错误!＝错误!＝－错误!.
12．设a∈R，函数f（x)＝e x＋错误!的导函数是f′（x)，且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是错误!，则切点的横坐标为
________．
答案ln 2
解析函数f（x)＝e x＋错误!的导函数是f′（x)＝e x－错误!.又f′(x)是奇函数,所以f′(x)＝－f′(－x），即e x－错误!＝－(e－x－a e x），所以（e2x ＋1)（1－a）＝0,解得a＝1，所以f′（x）＝e x－错误!。

令e x－错误!＝错误!，
解得e x＝2或e x＝－1
2（舍去），所以x＝ln 2.
13．（2018·金版创新)函数f(x）（x∈R）满足f(1）＝1，且f（x）在R上的导函数f′（x)＞错误!，则不等式f（x)＜错误!的解集为________．答案（－∞,1)
解析据已知f′（x）＞错误!，可得错误!′＝f′（x）－错误!＞0，即函数F(x)＝f（x)－错误!x在R上为单调递增函数,又由f(1)＝1可得
F(1)＝1
2，故f（x）＜错误!＝错误!＋错误!x，化简得f（x)－错误!x＜错误!,
即F(x）＜F(1),由函数的单调性可得不等式的解集为（－∞,1)．14．（2017·河北石家庄模拟)若对于曲线f（x）＝－e x－x(e为自然对数的底数）的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cos x的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．
答案［－1，2］
解析易知函数f(x）＝－e x－x的导数为f′（x）＝－e x－1，设l1与曲线f(x）＝－e x－x的切点为（x1，f(x1)）,则l1的斜率k1＝－e x1－1。

易知函数g(x）＝ax＋2cos x的导数为g′(x)＝a－2sin x，设l2与曲线g(x)＝ax＋2cos x的切点为（x2,g(x2）），则l2的斜率k2＝a－2sin x2.由题设可知k1·k2＝－1,从而有(－e x1－1）（a－2sin x2）＝－1，∴a－2sin x2＝错误!,故由题意知对任意实数x1，总存在x2使得上述等式成立，则函数y＝错误!的值域是y＝a－2sin x值域的子集，
则(0，1)⊆[a －2，a ＋2]，则⎩⎨⎧
a －2≤0，a ＋2≥1，
∴－1≤a ≤2。

三、解答题
15．(2017·云南大理月考)设函数f （x )＝ax －错误!,曲线y ＝f （x ）在点
（2，f (2)）处的切线方程为7x －4y －12＝0.
(1)求f （x )的解析式；
（2）证明：曲线y ＝f （x ）上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝错误!x －3。

当x ＝2时，y ＝错误!。

又f ′(x )＝a ＋错误!，
于是错误!解得错误!故f （x )＝x －错误!.
（2)证明：设P (x 0，y 0）为曲线上的任一点，由y ′＝1＋错误!知曲线在点P （x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝错误!（x －x 0)，
即y －错误!＝错误!（x －x 0）．
令x ＝0得y ＝－错误!,从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为错误!。

切线与直线y ＝x 的交点坐标为（2x 0，2x 0)．
所以点P （x 0,y 0）处的切线与直线x ＝0,y ＝x 所围成的三角形
面积为12错误!错误!＝6。

故曲线y ＝f （x ）上任一点处的切线与直线x ＝0,y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6。

16．(2018·福建四地联考）已知函数f （x )＝错误!x 3－错误!x 2＋2x ＋5。

（1)求函数f(x)的图象在点(3，f(3））处的切线方程；
（2)若曲线y＝f（x）与y＝2x＋m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
解(1)∵f（x）＝错误!x3－错误!x2＋2x＋5，
∴f′(x)＝x2－3x＋2，易求得f′(3）＝2，f(3）＝错误!.
∴f（x)的图象在点(3,f（3)）处的切线方程是y－错误!＝2（x－3),即4x－2y＋1＝0.
（2)令f(x）＝2x＋m，
即错误!x3－错误!x2＋2x＋5＝2x＋m，
得错误!x3－错误!x2＋5＝m,设g（x）＝错误!x3－错误!x2＋5，
∵曲线y＝f(x）与直线y＝2x＋m有三个不同的交点，
∴曲线y＝g（x）与直线y＝m有三个不同的交点,
易得g′(x）＝x2－3x，令g′(x)＝0,解得x＝0或x＝3，
当x〈0或x>3时,g′(x)>0，
当0<x<3时，g′（x)<0，
∴g（x）在（－∞,0）,(3，＋∞）上单调递增,在（0,3)上单调递
减,
又g(0）＝5，g（3)＝错误!，即g(x）极大值＝5，
g(x）极小值＝错误!，
∴可画出如图所示的函数g(x) 的大致图象，∴实数m的取值范围为错误!.
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