2016版《步步高》高考数学大二轮总复习

显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a). 故选C.
方法二 对a分类讨论：
当
a>0
时，∵log2a>log
1 2
a，∴a>1.
当
a<0
时，∵log
1 2
(－a)>log2(－a)，∴0<－a<1，
∴－1<a<0，故选C.
答案 C
思维升华
(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之 一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨 论、等价转化等数学思想方法及其运算能力. (2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的 单调性.
ax＋b 跟踪演练 2 (1)(2015·安徽)函数 f(x)＝x＋c2的图象如图所
示，则下列结论成立的是( ) A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
解 析 函 数 定 义 域 为 {x|x≠ － c} ， 结 合 图 象 知 － c>0 ，
a)≤2f(1)，则a的取
值范围是________.
解析 由题意知 a>0，又 log 1 a＝log2a－1＝－log2a. 2
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log1 a). 2
∵f(log2a)＋f(log 1 a)≤2f(1)， 2
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1). 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增. ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1， ∴a∈12，2. 答案 [12，2]
考情考向分析
1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以 基础知识为主，难度中等偏下. 2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图， 即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题. 3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期 性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选 择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难 度较大.
(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，其图象关于坐标 原点对称，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)<0恒
成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝ln 2f(ln 2)，c＝－2f(－2)，则a
，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.c>a>b
D.a>c>b
热点三 基本初等函数的图象和性质 1. 指 数 函 数 y ＝ ax(a>0 ， a≠1) 与 对 数 函 数 y ＝ logax(a>0 ， a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两
函数图象中的两种情况的公共性质. 2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12 ，－1五 种情况.
答案 A
(2)(2015·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式 f(x)≥log2(x＋1)的解集是( ) A.{x|－1＜x≤0} B.{x|－1≤x≤1} C.{x|－1＜x≤1} D.{x|－1＜x≤2}

解析 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图.
x＋y＝2， 由y＝log2x＋1，
1 f(x)＝2x－1，则f(2 017)＝____2____. 解析 f(x－1)＝f(x＋1)，则f(x)的周期为2， f(2 017)＝f(1)＝－f(－1)＝－(2－1－1)＝12.
(2)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x
－1)<f(13)的 x 的取值范围是( A )
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b. 答案 C
12 3 4
2.(2014·福建)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示 ，则所给函数图象正确的是( )
12 3 4
解析 由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可
解得a＝3. 选项 A 中，y＝3－x＝(13)x，显然图象错误； 选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；
选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；
选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对
称，显然不符，故选B.
答案 B
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3.(2015·课标全国Ⅱ)设函数 f(x)＝12＋ x－1l，ogx2≥2－1，x，x＜1，
则 f(－2)＋f(log212)等于( C )
1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变 换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时 要准确画出图象的特点.
例 2 (1)函数 y＝ln cos x(－2π<x<2π)的图象是( )
解析 因为令f(x)＝ln cos x，f(－x)＝ln cos(－x)＝ln cos x＝ f(x)，所以f(x)是偶函数， 所以图象关于 y 轴对称，当 x＝60°时，y＝ln cos 60°＝ln 12<0， 故选 A.
跟踪演练3 (1)(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x) ＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
解析 方法一 分a>1,0<a<1两种情形讨论. 当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快， 排除C；
当0<a<1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A. 由于y＝xa递增较慢，所以选D.
热点分类突破 热点一 函数的性质及应用 1.单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定 义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符 号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
2.奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图 象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有 相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐 标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性. 3.周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其 定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.
A.a＜b＜c
B.a＜c＜b
C.c＜a＜b
D.c＜b＜a
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解析 由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0， 所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝f(log0.53)＝2|log0.5 3| －1＝2 log 2 3－1＝2， b＝f(log25)＝2 |log 2 5| －1＝2 log 2 5 －1＝4，
思维升华
(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转 化为给出解析式的范围内的函数值. (2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)<f(x2) 的形式.
跟踪演练1 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对 于任意x∈R，恒有f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈[－1,0]时，
例3 (1)(2015·山东)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a
，b，c的大小关系是C( )
A.a＜b＜c
B.a＜c＜b
C.b＜a＜c
D.b＜c＜a
解析 根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5＜ 0.60.6＜0.60＝1， 根据指数函数y＝1.5x在R上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1， ∴b＜a＜c.
x＝1， 得y＝1.
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解 集为{x|－1<x≤1}.
答案 C
思维升华
(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值 域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象 进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推 断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法. (2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问 题时，借助图象能起到十分快捷的作用.
∴c<0. 令 x＝0，得
f(0)＝cb2，又由图象知
f(0)>0，∴b>0.
令 f(x)＝0，得 x＝－ba，结合图象知－ba>0，∴a<0.故选 C.
答案 C
(2)已知函数y＝f(x)是奇函数，且函数f(x＋1)在[－1，＋∞) 上是增函数，不等式f(a2＋2a)≤f(a＋2)，则实数a的取值范 围是________.
log2x，x>0， (2)若函数 f(x)＝log1 －x，x<0， 若 f(a)>f(－a)，则实数 a
2
的取值范围是( )
A.(－1,0)∪(0,1) C.(－1,0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)
解析 方法一 由题意作出y＝f(x)的图象如图.
得函数y＝f(x)的一个周期为2， 故 f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f－23＝f12＝－14. 所以 f(3)＋f－32＝0＋－14＝－41. 答案 －14
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)
上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f(log
1 2
方法二 幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，排除A；
B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知0<a<1，而此时幂函 数f(x)＝xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D
正确；
答案 D
C项中由对数函数f(x)＝logax的图象知a>1，而此时幂函数 f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错.
4.(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减， f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是_(_－__1_,3_)_. 解析 ∵f(x)是偶函数， ∴图象关于y轴对称. 又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减， 则f(x)的大致图象如图所示， 由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.
例 1 (1)设奇函数 y＝f(x) (x∈R)，满足对任意 t∈R 都有 f(t)
＝f(1－t)，且 x∈0，12时，f(x)＝－x2，则 f(3)＋f－23的值等 于________. 解析 根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得 f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到 f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，
2016版《步步高》高考 数学大二轮总复习
栏目索引
高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练
高考真题体验
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1.(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数
)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b ，c的大小关系为( )
A.(13，23)
B.[13，23)
C.(12，23)
D.[12，23)
解析 偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
有 f(2x－1)<f(31)⇔f(|2x－1|)<f(31),进而转化为不等式|2x－1|<13, 解这个不等式即得 x 的取值范围是(13，23).
热点二 函数图象及应用
解析 因为函数f(x＋1)在[－1，＋∞)上是增函数， 所以函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数. 因为函数y＝f(x)是奇函数，奇函数的图象关于原点对称， 所以函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，
即函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，如图所示.
因为f(a2＋2a)≤f(a＋2)，所以a2＋2a≤a＋2， 即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1， 所以实数a的取值范围是[－2,1]. 答案 [－2,1]
解析 构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，所以函数y＝g(x)在(－∞，0)上单 调递减. 因为函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，所以y＝f(x)是奇函数 ， 由此可知函数y＝g(x)是偶函数. 根据偶函数的性质，可知函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增. 又a＝g(20.2)，b＝g(ln 2)，c＝g(－2)＝g(2)， 由于ln 2<20.2<2，所以c>a>b.
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，
所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝
2log 2 12-1
＝
2 log2 12
×2－1＝12×
1 2
＝6，
故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.
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