安全通论课件-红客与黑客的多方对抗极限
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➢ 而且上述的上限是可达的，即，红客一定有某种最有效的
防御方法，使得在n次攻防回合中，红客成功防御第一个
黑客r1次，成功防御第二个黑客r2次，的成功次数r1和r2达 到上限：
r1=n[maxXI(X1;Z│X2)]， r2=n[maxXI(X2;Z│X1)]
r1+r2=n[maxXI(X1, X2;Z)]。
➢设黑客X=(X1,X2)同时攻击两个红客Y1和Y2。由于这两个红客 是两个互为备份系统的守卫者，因此，黑客必须同时把这
两个红客打败才能算真赢。
➢仍然假设：攻防各方采取“回合制”，并且，每个“回合” 后，各方都对本次的攻防结果，给出一个“真心的盲自
评”，由于这些自评结果是不告诉任何人的，所以，有理
➢每个回合中，红客按如下方式对自己防御黑客X1、 X2、…、Xm的成果，进行真心盲自评：任取整数集合 {1,2,…,m}的一个子集S，记Sc为S的补集，即，
Sc={1,2,…,m}-S，再记X(S)为{Xi：i∈S}，X(Sc)为 {Xi：i∈Sc}，如果红客成功地防御了X(S)中的黑客， 但却自评被X(Sc)中的黑客打败，那么，红客的盲自评
➢由于信道G的可达容量区域为满足下列条件的所有码率 向量所成集合的凸闭包R(S)≤I(X(S);Z│X(Sc))对 {1,2,…,m}的所有子集S。这里R(S)定义为 R(S)=∑i∈SRi=∑i∈S[ri/n]，ri/n是第i个输入的码率。
➢ 定理6.3： m防定个回有黑合客中X1，、红X2客、成…功、防Xm独御立第地i个攻黑击客一ri个次红，客1≤Y。i≤如m果，，那在么n，个一攻 r(S)≤n[I(X(S);Z│X(Sc))]，对{1,2,…,m}的所有子集S。 这里 r(S)=∑i∈Sri。 而且，该上限是可达的，即， 红客一定有某种最有效的防御方法，使得在n次攻防回合中，红 客成功防御黑客集S的次数集合r(S)，达到上限： r(S)=n[I(X(S);Z│X(Sc))]，对{1,2,…,m}的所有子集S 。再 换一个角度，还有： 如果红客要想成功防御黑客集S的次数集合为r(S)，那么，他至 少得进行max{r(S)/[I(X(S);Z│X(Sc))]}次防御。
➢再换一个角度，还有：如果红客要想成功防御第一个黑客r1 次，成功防御第二个黑客r2次，那么，他至少得进行 max{r1/[maxXI(X1;Z│X2)]，r2/[maxXI(X2;Z│X1)]， [maxXI(X1, X2;Z)]} 次防御。
➢ 将定理6.2推广到任意m个黑客X1、X2、…、Xm， 独立地攻击一个红客Y=(Y1，Y2，…，Ym)的情况。
➢ 本Y2=回0；合Y自评防御X1成功，自评防御X2失败时，记为，Y1=1， ➢ 本Y2=回1；合Y自评防御X1失败，自评防御X2成功时，记为，Y1=0， ➢ 本Y1=回0，合YY2=自0；评防御X1失败，自评防御X2也失败时，记为，
➢ 根据“频率趋于概率”这个大数定律
0<Pr(X1=1)=p<1； 0<Pr(X1=0)=1-p<1； 0<Pr(X2=1)=q<1； 0<Pr(X2=0)=1-q<1； 0<Pr(Y1=1, Y2=1)=a11<1；0<Pr(Y1=1, Y2=0)=a10<1； 0<Pr(Y1=0, Y2=1)=a01<1；0<Pr(Y1=0, Y2=0)=a00<1； 这里，a00+a01+a10+a11=1
这里，b00+b01+b10+b11=1 ➢ 再造两个随机变量Z1和Z2，这里Z1=(X1+Y1)mod2，
Z2=(X2+Y2)mod2。并利用随机变量X（输入）和Z1、Z2（输出） 构造一个2-输出广播信道p(z1,z2│x)，并称该信道为黑客的 攻击信道G。
➢ 好了，下面来考虑几个事件恒等式：
{黑客X攻击成功}={黑客X攻击Y1成功}∩{黑客X攻击Y2成 功}=[{黑客X自评攻击Y1成功，红客Y1自评防御失 败}∪{黑客X自评攻击Y1失败，红客Y1自评防御失 败}]∩[{黑客X自评攻击Y2成功，红客Y2自评防御失 败}∪{黑客X自评攻击Y2失败，红客Y2自评防御失败}]
=[{X1=1,Y1=0}∪{X1=0, Y1=0}]∩[{X2=1,Y2=0}∪{X2=0, Y2=0}]=[{X1=1,Z1=1}∪{X1=0, Z1=0}]∩[{X2=1,Z2=1}∪{X2=0, Z2=0}]=[1比特信息被成 功从广播信道G的第1个分支传输到目的地]∩[1比特信息
在上一章中，为了简捷计算，我们做了两个假定：1）红客与黑 客是1对1的单挑；2）红客是红客，黑客是黑客，彼此界线十 分明确。
但是，在网络空间安全对抗的实际场景中，上述假定都有待突 破。比如，
①多攻1的情形：几乎任何一个重要的网络系统，随时都在遭受 众多黑客的攻击，而且，这些黑客彼此之间可能根本就不认识， 甚至不知道相互的存在。
Z=(Z1，Z2)=((1+X1+Y1)mod2, (1+X2+Y2)mod2)。
➢ 定理6.2：
两个黑客X1和X2独立地攻击一个红客Y。如果，在n个攻防 回合中，红客成功防御第一个黑客r1次，成功防御第二个 黑客r2次，那么，一定有：
0≤r1≤n[maxXI(X1;Z│X2)]， 0≤r2≤n[maxXI(X2;Z│X1)]， 0≤r1+r2≤n[maxXI(X1, X2;Z)].
由假设“真心的盲自评”是真实可信的，没必要做假。
➢分别用随机变量Y1和Y2代表第一个和第二个红客，他们按如 下方式对进行真心盲自评：
红客Y1对本回合防御盲自评为成功，则Y1=1；红客Y1对本回 合防御盲自评为失败，则Y1=0； 红客Y2对本回合防御盲自评为成功，则Y2=1；红客Y2对本回 合防御盲自评为失败，则Y2=0；
➢ 引理6.1：如果红客在某个回合防御成功，那么，1比特信息就 在2-输入信道F（防御信道）中，被成功传输。
➢ 反过来，如果“2-输入信道F的传输信息成功”，那么，“防 御信道F的第一个子信道传输成功”同时“防御信道F的第二 个子信道传输成功”，即，
[{X1=1,Z1=1}∪{X1=0,Z1=0}]∩[{X2=1,Z2=1}∪{X2=0,Z2=0}]，
②1攻多的情形：每一个重要的信息系统，它一定有多个备份； 假若黑客只是将该系统和其部分备份攻破了，但没能全部攻破 所有备份，那么，就不能算黑客赢。
在网络空间安全的实战中，其实攻与防是一体的，既没有纯粹 的黑客，同时也没有纯粹的红客。
➢ 1. 多攻一可达极限 ➢ 2. 一攻多可达极限 ➢ 3. 攻防一体星状网的可达极限 ➢ 4. 攻防一体榕树网的可达极限 ➢ 5. 攻防一体麻将网的可达极限 ➢ 6. 小结与答疑
➢ 等价于
[{X1=1,Y1=1}∪{X1=0,Y1=1}]∩[{X2=1,Y2=1}∪{X2=0,Y2=1}]
➢ 而{X1=1,Y1=1}∪{X1=0,Y1=1}意味着{黑客X1自评本回合攻击 成功，红客自评防御X1成功}∪{黑客X1自评本回合攻击失败，红 客自评防御X1成功}，即，{红客防御X1成功}， 同理，
估就为：
{Yi=1：i∈S}，{Yi=0：i∈Sc}。
➢再造一个m维随机变量
Z=(Z1，Z2，…Zm) =((1+X1+Y1)mod2,(1+X2+Y2)mod2, … ,(1+Xm+Ym)mod2)， 即，
Zi=(1+Xi+Yi)mod2，1≤i≤m。 并利用随机变量X1、X2、…、Xm和Z构造一个m-接入信 道，并称该信道为红客的防御信道G。
➢由于每个回合中，黑客要同时攻击两个红客，所以，
用2维随机变量X=（X1，X2）代表黑客，他按如下方式 对自己每个回合攻击Y1和Y2的成果，进行如下真心盲自 评：
本回合X自评攻击Y1成功，自评攻击Y2成功时，记为， X1=1，X2=1；
本回合X自评攻击Y1成功，自评攻击Y2失败时，记为， X1=1，X2=0；
➢ 先考虑2个黑客攻击1红客的情形：
设黑客X1和X2都想攻击红客Y，并且两个黑客互 不认识，甚至可能不知道对方的存在，因此，作 为随机变量，可以假设X1和X2是相互独立的。 ➢ 假设：
攻防各方采取“回合制”，并且，每个“回合”
后，各方都对本次的攻防结果，给出“真心的盲 自评”，由于这些自评结果不告诉任何人，所以， 有理由假设“真心的盲自评”是真实可信的，没 必要做假。
➢ 仍然假设：
攻防各方采取“回合制”，并且，每个“回合” 后，各方都对本次的攻防结果，给出一个“真心 的盲自评”，由于这些自评结果是不告诉任何人 的，所以，有理由假设“真心的盲自评”是真实 可信的，没必要做假。
➢ 对任意1≤i≤m，黑客Xi按如下方式对自己每个回 合的战果，进行真心盲自评：
➢黑客Xi对本回合盲自评为成功，则Xi=1；黑客Xi对本回 合盲自评为失败，则Xi=0；
{X2=1,Y2=1}∪{X2=0,Y2=1}意味着{黑客X2自评本回合攻击成 功，红客自评防御X2成功}∪{黑客X2自评本回合攻击失败，红 客自评防御X2成功}，即，{红客防御X2成功}， 所以，
[{X1=1,Y1=1}∪{X1=0,Y1=1}]∩[{X2=1,Y2=1}∪{X2=0,Y2=1}] 就等同于{某个回合红客防御成功}
➢ 同理， {红客防御X2成功}={黑客X2自评本回合攻击成功， 红客自评防御X2成功}∪{黑客X2自评本回合攻击失败， 红客自评防御X2成功}={X2=1,Y2=1}∪{X2=0,Y2=1}= {X2=1,Z2=1}∪{X2=0,Z2=0}
➢ 所以，{某个回合红客防御成功}
=[{X1=1,Z1=1}∪{X1=0,Z1=0}]∩[{X2=1,Z2=1}∪{X2=0,Z2=0}] =[防御信道F的第一个子信道传信成功]∩[防御信道F的第二个 子信道传信成功]= {2输入信道F的传输信息成功}
➢ 黑黑客客的）真：心盲自评（随机变量X1和X2代表第一个和第二个
➢ X1盲自评为成功，则X1=1；盲自评失败，则X1=0 ➢ X2盲自评为成功，则X2=1；盲自评失败，则X2=0
➢ 红客Y=（Y1，Y2）的真心盲自评：
➢ 本为回，合Y1Y=自1，评Y防2=御1；X1成功，自评防御X2也成功时，记
本回合X自评攻击Y1失败，自评攻击Y2成功时，记为， X1=0，X2=1；
本回合X自评攻击Y1失败，自评攻击Y2失败时，记为， X1=0，X2=0；
➢ 根据“频率趋于概率”这个大数定律，就可以计算出如下概 率：
0<Pr(Y1=1)=f<1； 0<Pr(Y1=0)=1-f<1； 0<Pr(Y2=1)=g<1； 0<Pr(Y1)=b11<1；0<Pr(X1=1, X2=0)=b10<1； 0<Pr(X1=0, X2=1)=b01<1；0<Pr(X1=0, X2=0)=b00<1；
➢ 根据文献[5]的定理15.3.1及其逆定理，我们知道信道F的可达 容量区域为满足下列条件的全体(R1，R2)所组成集合的凸闭包， 0≤R1≤maxXI(X1;Z│X2)， 0≤R2≤maxXI(X2;Z│X1)， 0≤R1+R2≤maxXI(X1, X2;Z).
➢ 这里最大值是针对所有独立随机变量X1和X2的概率分布而取的； I(A,B;C)表示互信息，而I(A;B│C)表示条件互信息；
➢ 引理6.2：如果1比特信息在2-输入信道F（防御信道）中被成 功传输，那么，红客就在该回合中防御成功。
➢ 定理6.1：
设随机变量X1、X2和Z如上所述，防御信道F是如下2-接入信道 （X1,X2,p(z│x1,x2),Z），那么，“红客在某回合中防御成功” 就等价于“1比特信息在防御信道F中被成功传输”。
➢ 下面来考虑几个事件恒等式：
➢ {某个回合红客防御成功={红客防御X1成功}∩{红客防 御X2成功}，然而，{红客防御X1成功}={黑客X1自评本回 合攻击成功，红客自评防御X1成功}∪{黑客X1自评本回 合攻击失败，红客自评防御X1成功}= {X1=1,Y1=1}∪{X1=0,Y1=1}={X1=1,Z1=1}∪{X1=0,Z1=0}
➢ 造(1一+X2个+Y22维)m随od机2)变，量即Z，=(Z1，Z2)= ((1+X1+Y1)mod2, Z1=(1+X1+Y1)mod2， Z2=(1+X2+Y2)mod2。
并（信利道X1,用FX。2随,p机(z变│量x1,Xx1、2),XZ2和）Z，构并造称一该个信2-道接为入红信客道的防御
防御方法，使得在n次攻防回合中，红客成功防御第一个
黑客r1次，成功防御第二个黑客r2次，的成功次数r1和r2达 到上限：
r1=n[maxXI(X1;Z│X2)]， r2=n[maxXI(X2;Z│X1)]
r1+r2=n[maxXI(X1, X2;Z)]。
➢设黑客X=(X1,X2)同时攻击两个红客Y1和Y2。由于这两个红客 是两个互为备份系统的守卫者，因此，黑客必须同时把这
两个红客打败才能算真赢。
➢仍然假设：攻防各方采取“回合制”，并且，每个“回合” 后，各方都对本次的攻防结果，给出一个“真心的盲自
评”，由于这些自评结果是不告诉任何人的，所以，有理
➢每个回合中，红客按如下方式对自己防御黑客X1、 X2、…、Xm的成果，进行真心盲自评：任取整数集合 {1,2,…,m}的一个子集S，记Sc为S的补集，即，
Sc={1,2,…,m}-S，再记X(S)为{Xi：i∈S}，X(Sc)为 {Xi：i∈Sc}，如果红客成功地防御了X(S)中的黑客， 但却自评被X(Sc)中的黑客打败，那么，红客的盲自评
➢由于信道G的可达容量区域为满足下列条件的所有码率 向量所成集合的凸闭包R(S)≤I(X(S);Z│X(Sc))对 {1,2,…,m}的所有子集S。这里R(S)定义为 R(S)=∑i∈SRi=∑i∈S[ri/n]，ri/n是第i个输入的码率。
➢ 定理6.3： m防定个回有黑合客中X1，、红X2客、成…功、防Xm独御立第地i个攻黑击客一ri个次红，客1≤Y。i≤如m果，，那在么n，个一攻 r(S)≤n[I(X(S);Z│X(Sc))]，对{1,2,…,m}的所有子集S。 这里 r(S)=∑i∈Sri。 而且，该上限是可达的，即， 红客一定有某种最有效的防御方法，使得在n次攻防回合中，红 客成功防御黑客集S的次数集合r(S)，达到上限： r(S)=n[I(X(S);Z│X(Sc))]，对{1,2,…,m}的所有子集S 。再 换一个角度，还有： 如果红客要想成功防御黑客集S的次数集合为r(S)，那么，他至 少得进行max{r(S)/[I(X(S);Z│X(Sc))]}次防御。
➢再换一个角度，还有：如果红客要想成功防御第一个黑客r1 次，成功防御第二个黑客r2次，那么，他至少得进行 max{r1/[maxXI(X1;Z│X2)]，r2/[maxXI(X2;Z│X1)]， [maxXI(X1, X2;Z)]} 次防御。
➢ 将定理6.2推广到任意m个黑客X1、X2、…、Xm， 独立地攻击一个红客Y=(Y1，Y2，…，Ym)的情况。
➢ 本Y2=回0；合Y自评防御X1成功，自评防御X2失败时，记为，Y1=1， ➢ 本Y2=回1；合Y自评防御X1失败，自评防御X2成功时，记为，Y1=0， ➢ 本Y1=回0，合YY2=自0；评防御X1失败，自评防御X2也失败时，记为，
➢ 根据“频率趋于概率”这个大数定律
0<Pr(X1=1)=p<1； 0<Pr(X1=0)=1-p<1； 0<Pr(X2=1)=q<1； 0<Pr(X2=0)=1-q<1； 0<Pr(Y1=1, Y2=1)=a11<1；0<Pr(Y1=1, Y2=0)=a10<1； 0<Pr(Y1=0, Y2=1)=a01<1；0<Pr(Y1=0, Y2=0)=a00<1； 这里，a00+a01+a10+a11=1
这里，b00+b01+b10+b11=1 ➢ 再造两个随机变量Z1和Z2，这里Z1=(X1+Y1)mod2，
Z2=(X2+Y2)mod2。并利用随机变量X（输入）和Z1、Z2（输出） 构造一个2-输出广播信道p(z1,z2│x)，并称该信道为黑客的 攻击信道G。
➢ 好了，下面来考虑几个事件恒等式：
{黑客X攻击成功}={黑客X攻击Y1成功}∩{黑客X攻击Y2成 功}=[{黑客X自评攻击Y1成功，红客Y1自评防御失 败}∪{黑客X自评攻击Y1失败，红客Y1自评防御失 败}]∩[{黑客X自评攻击Y2成功，红客Y2自评防御失 败}∪{黑客X自评攻击Y2失败，红客Y2自评防御失败}]
=[{X1=1,Y1=0}∪{X1=0, Y1=0}]∩[{X2=1,Y2=0}∪{X2=0, Y2=0}]=[{X1=1,Z1=1}∪{X1=0, Z1=0}]∩[{X2=1,Z2=1}∪{X2=0, Z2=0}]=[1比特信息被成 功从广播信道G的第1个分支传输到目的地]∩[1比特信息
在上一章中，为了简捷计算，我们做了两个假定：1）红客与黑 客是1对1的单挑；2）红客是红客，黑客是黑客，彼此界线十 分明确。
但是，在网络空间安全对抗的实际场景中，上述假定都有待突 破。比如，
①多攻1的情形：几乎任何一个重要的网络系统，随时都在遭受 众多黑客的攻击，而且，这些黑客彼此之间可能根本就不认识， 甚至不知道相互的存在。
Z=(Z1，Z2)=((1+X1+Y1)mod2, (1+X2+Y2)mod2)。
➢ 定理6.2：
两个黑客X1和X2独立地攻击一个红客Y。如果，在n个攻防 回合中，红客成功防御第一个黑客r1次，成功防御第二个 黑客r2次，那么，一定有：
0≤r1≤n[maxXI(X1;Z│X2)]， 0≤r2≤n[maxXI(X2;Z│X1)]， 0≤r1+r2≤n[maxXI(X1, X2;Z)].
由假设“真心的盲自评”是真实可信的，没必要做假。
➢分别用随机变量Y1和Y2代表第一个和第二个红客，他们按如 下方式对进行真心盲自评：
红客Y1对本回合防御盲自评为成功，则Y1=1；红客Y1对本回 合防御盲自评为失败，则Y1=0； 红客Y2对本回合防御盲自评为成功，则Y2=1；红客Y2对本回 合防御盲自评为失败，则Y2=0；
➢ 引理6.1：如果红客在某个回合防御成功，那么，1比特信息就 在2-输入信道F（防御信道）中，被成功传输。
➢ 反过来，如果“2-输入信道F的传输信息成功”，那么，“防 御信道F的第一个子信道传输成功”同时“防御信道F的第二 个子信道传输成功”，即，
[{X1=1,Z1=1}∪{X1=0,Z1=0}]∩[{X2=1,Z2=1}∪{X2=0,Z2=0}]，
②1攻多的情形：每一个重要的信息系统，它一定有多个备份； 假若黑客只是将该系统和其部分备份攻破了，但没能全部攻破 所有备份，那么，就不能算黑客赢。
在网络空间安全的实战中，其实攻与防是一体的，既没有纯粹 的黑客，同时也没有纯粹的红客。
➢ 1. 多攻一可达极限 ➢ 2. 一攻多可达极限 ➢ 3. 攻防一体星状网的可达极限 ➢ 4. 攻防一体榕树网的可达极限 ➢ 5. 攻防一体麻将网的可达极限 ➢ 6. 小结与答疑
➢ 等价于
[{X1=1,Y1=1}∪{X1=0,Y1=1}]∩[{X2=1,Y2=1}∪{X2=0,Y2=1}]
➢ 而{X1=1,Y1=1}∪{X1=0,Y1=1}意味着{黑客X1自评本回合攻击 成功，红客自评防御X1成功}∪{黑客X1自评本回合攻击失败，红 客自评防御X1成功}，即，{红客防御X1成功}， 同理，
估就为：
{Yi=1：i∈S}，{Yi=0：i∈Sc}。
➢再造一个m维随机变量
Z=(Z1，Z2，…Zm) =((1+X1+Y1)mod2,(1+X2+Y2)mod2, … ,(1+Xm+Ym)mod2)， 即，
Zi=(1+Xi+Yi)mod2，1≤i≤m。 并利用随机变量X1、X2、…、Xm和Z构造一个m-接入信 道，并称该信道为红客的防御信道G。
➢由于每个回合中，黑客要同时攻击两个红客，所以，
用2维随机变量X=（X1，X2）代表黑客，他按如下方式 对自己每个回合攻击Y1和Y2的成果，进行如下真心盲自 评：
本回合X自评攻击Y1成功，自评攻击Y2成功时，记为， X1=1，X2=1；
本回合X自评攻击Y1成功，自评攻击Y2失败时，记为， X1=1，X2=0；
➢ 先考虑2个黑客攻击1红客的情形：
设黑客X1和X2都想攻击红客Y，并且两个黑客互 不认识，甚至可能不知道对方的存在，因此，作 为随机变量，可以假设X1和X2是相互独立的。 ➢ 假设：
攻防各方采取“回合制”，并且，每个“回合”
后，各方都对本次的攻防结果，给出“真心的盲 自评”，由于这些自评结果不告诉任何人，所以， 有理由假设“真心的盲自评”是真实可信的，没 必要做假。
➢ 仍然假设：
攻防各方采取“回合制”，并且，每个“回合” 后，各方都对本次的攻防结果，给出一个“真心 的盲自评”，由于这些自评结果是不告诉任何人 的，所以，有理由假设“真心的盲自评”是真实 可信的，没必要做假。
➢ 对任意1≤i≤m，黑客Xi按如下方式对自己每个回 合的战果，进行真心盲自评：
➢黑客Xi对本回合盲自评为成功，则Xi=1；黑客Xi对本回 合盲自评为失败，则Xi=0；
{X2=1,Y2=1}∪{X2=0,Y2=1}意味着{黑客X2自评本回合攻击成 功，红客自评防御X2成功}∪{黑客X2自评本回合攻击失败，红 客自评防御X2成功}，即，{红客防御X2成功}， 所以，
[{X1=1,Y1=1}∪{X1=0,Y1=1}]∩[{X2=1,Y2=1}∪{X2=0,Y2=1}] 就等同于{某个回合红客防御成功}
➢ 同理， {红客防御X2成功}={黑客X2自评本回合攻击成功， 红客自评防御X2成功}∪{黑客X2自评本回合攻击失败， 红客自评防御X2成功}={X2=1,Y2=1}∪{X2=0,Y2=1}= {X2=1,Z2=1}∪{X2=0,Z2=0}
➢ 所以，{某个回合红客防御成功}
=[{X1=1,Z1=1}∪{X1=0,Z1=0}]∩[{X2=1,Z2=1}∪{X2=0,Z2=0}] =[防御信道F的第一个子信道传信成功]∩[防御信道F的第二个 子信道传信成功]= {2输入信道F的传输信息成功}
➢ 黑黑客客的）真：心盲自评（随机变量X1和X2代表第一个和第二个
➢ X1盲自评为成功，则X1=1；盲自评失败，则X1=0 ➢ X2盲自评为成功，则X2=1；盲自评失败，则X2=0
➢ 红客Y=（Y1，Y2）的真心盲自评：
➢ 本为回，合Y1Y=自1，评Y防2=御1；X1成功，自评防御X2也成功时，记
本回合X自评攻击Y1失败，自评攻击Y2成功时，记为， X1=0，X2=1；
本回合X自评攻击Y1失败，自评攻击Y2失败时，记为， X1=0，X2=0；
➢ 根据“频率趋于概率”这个大数定律，就可以计算出如下概 率：
0<Pr(Y1=1)=f<1； 0<Pr(Y1=0)=1-f<1； 0<Pr(Y2=1)=g<1； 0<Pr(Y1)=b11<1；0<Pr(X1=1, X2=0)=b10<1； 0<Pr(X1=0, X2=1)=b01<1；0<Pr(X1=0, X2=0)=b00<1；
➢ 根据文献[5]的定理15.3.1及其逆定理，我们知道信道F的可达 容量区域为满足下列条件的全体(R1，R2)所组成集合的凸闭包， 0≤R1≤maxXI(X1;Z│X2)， 0≤R2≤maxXI(X2;Z│X1)， 0≤R1+R2≤maxXI(X1, X2;Z).
➢ 这里最大值是针对所有独立随机变量X1和X2的概率分布而取的； I(A,B;C)表示互信息，而I(A;B│C)表示条件互信息；
➢ 引理6.2：如果1比特信息在2-输入信道F（防御信道）中被成 功传输，那么，红客就在该回合中防御成功。
➢ 定理6.1：
设随机变量X1、X2和Z如上所述，防御信道F是如下2-接入信道 （X1,X2,p(z│x1,x2),Z），那么，“红客在某回合中防御成功” 就等价于“1比特信息在防御信道F中被成功传输”。
➢ 下面来考虑几个事件恒等式：
➢ {某个回合红客防御成功={红客防御X1成功}∩{红客防 御X2成功}，然而，{红客防御X1成功}={黑客X1自评本回 合攻击成功，红客自评防御X1成功}∪{黑客X1自评本回 合攻击失败，红客自评防御X1成功}= {X1=1,Y1=1}∪{X1=0,Y1=1}={X1=1,Z1=1}∪{X1=0,Z1=0}
➢ 造(1一+X2个+Y22维)m随od机2)变，量即Z，=(Z1，Z2)= ((1+X1+Y1)mod2, Z1=(1+X1+Y1)mod2， Z2=(1+X2+Y2)mod2。
并（信利道X1,用FX。2随,p机(z变│量x1,Xx1、2),XZ2和）Z，构并造称一该个信2-道接为入红信客道的防御