概率论与数理统计试卷B 及答案
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黑龙江外国语学院继续教育学院 2014 年 秋 季学期
《概率论与数理统计》试卷( B 卷)
一、 选择题(本大题共 9小题,每空 2分,共 40分)
1. 设随机试验E 对应的样本空间为S 。
与其任何事件不相容的事件为 , 而与其任何事件相互独立的事件为 ;设E 为等可能型试验,且S 包含10个样本点,则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 。
2.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立,则=-)(B A P ;若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0,则=-)(B A P ,=)(B A P 。
3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只,从中不放回地任取2只,则取到球颜色不同的概率
为: 。
若有放回地回地任取2只,则取到球颜色不同的概率为: 。
4、1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布,则=≠}0{X P ;若X 服从均匀分布,则
=≠}0{X P 。
5、设),(~2
σμN X ,且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ,则
=μ ;
=>}0{X P 。
6、某体育彩票设有两个等级的奖励,一等奖为4元,二等奖2元,假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。
是否买此彩票的明智选择为: (买,不买或无所谓)。
7、若随机变量X )5,1(~U ,则{
}=40〈〈X p ;=+)12(
X E _____________, =+)13(X D .
8、设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ,则==}{n X P ,并简化计算
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k
k k k k 66
026.04.06 。
9、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立,则:
=-)2(Y X E ,=-)2(Y X D 。
二、(本大题共1小题,8分)
甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2,0.1,0.3.现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%,80%,5%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品为甲厂生产的概率.
三、(本大题共1小题,8分)
已知随机变量X 的密度函数⎩⎨
⎧≤≤=其它 ,
010
,)(x ax x f
求:(1)常数a , (2))5.00(<<X p (3)X 的分布函数F (x )。
四、(本大题共1小题,10分)
设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为:⎩
⎨⎧≤≤≤≤=其它 , 010,10 ,4),(y x xy y x f
求:(1)X ,Y 的边缘密度,(2)由(1)判断X ,Y 的独立性。
五、(本大题共1小题,10分)
从总体X ~) ,(2
σu N 中抽取容量为16的一个样本,样本均值和样本方差分别是4,752
==S X , 5.27)15(
,26.6)15(,1315.2)15(2
597.02502.0597.0===x x t 求u 的置信度为0.95的置信区间和2
σ 的置信度为0.95的置信区间。
六 、(本大题共1小题,10分)
设总体X~N (u ,1), u 未知。
n X X ,...,1是一个样本,求u 的最大似然估计量,并证明它为u 的无偏估计。
七、(本大题共1小题,14分)
某人寿保险公司每年有10000人投保,每人每年付12元的保费,如果该年内投保人死亡,保险公司应付1000元的赔偿费,已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。
用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。
已知8413.0)1(=φ,9772.0)2(=φ。
答案:
一. 填空题
1. 设随机试验E 对应的样本空间为S 。
与其任何事件不相容的事件为 不可能事件, 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件;设E 为等可能型试验,且S 包含10个样本点,则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。
2.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立,则=-)(B A P 0.28 ;若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0,则=-)(B A P 0.3,=)(B A P 1/3 。
3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只,从中不放回地任取2只,则取到球颜
色不同的概率为: 15/28。
若有放回地回地任取2只,则取到球颜色不同的概率为: 15/32 。
4、1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布,则=≠}0{X P 11--e ;若X 服从均匀分布,则
=≠}0{X P 0 。
5、设),(~2σμN X ,且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ,则=μ 2 ;=>}0{X P
0.8 。
6、某体育彩票设有两个等级的奖励,一等奖为4元,二等奖2元,假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。
是否买此彩票的明智选择为: 买 (买,不买或无所谓)。
7、若随机变量X )5,1(~U ,则{
}=40〈〈X p 0.75 ;=+)12(X E __7___, =+)13(X D 12 .
8、设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ,则==}{n X P 34.0,并简化计算
=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∑k
k k k k 66
026.04.062.7)4.06(6.04.062=⨯+⨯⨯。
9、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X 、Y 相
互独立,则:=-)2(Y X E -4 ,=-)2(Y X D 6 。
二、 甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2,0.1,0.3.现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%,80%,5%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品为甲厂生产的概率. 解:设321A ,A ,A 分别表示产品取自甲、乙、丙厂,
有: %5)P(A 80%,)A (P %,15)p(A 321=== 2’
B 表示取到次品,3.0)A B P(0.1,)A B (P ,2.0)A p(B 321===, 2’ 由贝叶斯公式:)B A (p 1=24.0)()(/)()(3
111=⋅⋅∑=k k k A B P A p A B P A p ( 4’
三、已知随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤=其它 ,
010 ,)(x ax x f
求:(1)常数a , (2))5.00(<<X p (3)X 的分布函数F (x )。
解:(1)由⎰+∞
∞-==2,1)(a dx x f 得 2’
(2) )51.0(⋅<<X p =⎰⎰==5.005
.00
25.02)(xdx dx x f 3’
(3) ⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤<≤=x x x 0x x F 1 , 110 ,
0)(2 2’
四、设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为:⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它 , 010,10
,4),(y x xy y x f
求:(1)X ,Y 的边缘密度,(2)由(1)判断X ,Y 的独立性。
解:(1) X ,Y 的边缘密度分别为:
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞
-+∞∞-其他,
,其他,,
010 24)()(
010 24)()(1
01
0y y xydx dx y x f y f x x ydy x dy y x f x f Y X 5’
(2)由(1)可见
)
()(),(y f x f y x f Y X ⋅=, 可知: X ,Y 相互独立 2’
五、从总体X ~) ,(2σu N 中抽取容量为16的一个样本,样本均值和样本方差分别是
4,752==S X , 5
.27)15(,26.6)15(,1315.2)15(2
597.02502.0597.0===x x t 求u 的置信度为0.95的置信区间和2σ 的置信度为0.95的置信区间。
解: (1)n=16,置信水平025.02/,95.01==-αα,,1315.2)15(502.0=t
4,752==S X 由此u 的置信水平为0.95的置信区间为:
)1315.216
275(⨯±
, 即)0658.175(± 4’
(2) n=16,置信水平025.02/,95.01==-αα,5
.27)15(,26.6)15(2
597.02502.0==x x 42=S 由此2σ的置信水平为0.95的置信区间为:
)585.9,182.2()
15(4
15,)15(415(
2975.02025.0=⨯⨯χχ 3’
六 、设总体X~N (u ,1), u 未知。
n X X ,...,1是一个样本,求u 的最大似然估计量,并证明它为u
的无偏估计。
解: 样本n X X ,...,1的似然函数为:
])(21ex p[)
2(),,...,(1
22
/1∑=---=n
k i n n u x u x x L π 2’
而])([21)2ln(2/),,...,(ln 1
2
1∑=---=n k i n u x n u x x L π 1’
令:
0)())
,,...,((ln 1
1=-=∑=n
k i n u x du u x x L d , 1’ 解得:i n k x n u
∑==1
1ˆ u 的最大似然估量k n
k X n u ∑==11ˆ 1’ u X n E u
E k n
k ==∑=)1()ˆ(1
, 它为u 的无偏估计量. 七、某人寿保险公司每年有10000人投保,每人每年付12元的保费,如果该年内投保人死亡,保险公司应付1000元的赔偿费,已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。
用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。
已知
8413.0)1(=φ,9772.0)2(=φ。
解:设X 为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则X ∽B(10000,0.0064)。
该保险公司的利润函数为:X L ⨯-=1000120000。
2‘
所以}72{}480001000120000{}48000{≤=≥⨯-=≥X P X P L P }996
.764
729936
.00064.01000064
{
-≤
⨯⨯-=X P 用中心极限定理 8413.0)1(=≅φ 3‘ 答:该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率为0。
841。