数字信号处理_Lecture 7

M
n−1
K
(3-21a)
1 X(z)zn−1dz = − Res[ X(z)zn−1 ] (3-21b) x(n) = − ∫ ∑ z=zm 2πj C− m=1
应用(3-21b)式时，必须满足X(z)zn-1=G(z)的分母多项式z 的阶次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。
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2π j C+
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3.2.2 围线积分法
C: X(z)的环状收敛域内环 绕坐标原点的一简单闭合 曲线; C+: 沿此闭合曲线的反时 针方向，即曲线的正向; C−: 沿闭合曲线的顺时针 方向。如图3-11所示。
图3-11 围线积分的路径
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3.2.2 围线积分法
x(n)就是罗朗级数的系数cn，式(3-15)可写成
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例题3-6
事实上，当n=-1时，x(n)=0，因此，所求Z反变 Z 换x(n)为
或
1 n 1 n x(n) = 2( ) − ( ) ， n ≥ 0 2 4 1 n 1 n x ( n ) = [ 2( ) − ( ) ] u ( n ) 2 4
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例题3-7
当n=0时，函数 在C内有两个单极点z1=0和z2=1/a，所以
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1 z − a −1 1 z−a G( z) = − z =− a z −1/ a a ( z − 1/ a) z
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例题3-7
x(n) = ∑ Res [G( z)] z=z
k =1 2
k
1 z −a 1 z −a = Res (− ) + Res (− ) 1 a ( z −1/ a) z z= a ( z −1/ a) z z=0
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图3-12 X(z)的收敛域 与闭合曲线C
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例题3-6
x (n ) = = 2 π 2 π 1 j j 1
C +
ο ∫
X ( z )z
n −1
dz
C +
ο ∫
z n +1 dz 1 1 ( z − )( z − ) 4 2
z n +1 x(n) = ∑ Res[ ] | z = zk 1 1 k =1 ( z − )( z − ) 4 2 1 z n +1 1 z n +1 = [( z − ) ] + [( z − ) ] 1 1 z= 1 1 1 z=1 4 ( z − )( z − ) 4 2 ( z − )( z − ) 2 4 2 4 2 1 1 x(n) = −( ) n + 2( ) n ， n ≥ −1 4 2
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例题3-7
设C为|z|>1/|a|一闭合曲线，显然，当n>0时， 函数 G ( z ) = − 1 z − a z n−1 在C内只有一个单极点 a z − 1/ a z=1/a，故
1 1 z − a n−1 1 1n x(n) = Res[G(z)] 1 = − (z − )( z ) 1 = (a − )( ) z= z= a a z −1/ a a a a a
a
由于|z|>1/|a|，所以，当n<0时，在C外部没有 极点，故x(n)=0。因此所求反变换为
1 1 1n x(n) = − ⋅ δ(n) + (a − )( ) ⋅ u(n −1) a a a
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1 1 x(n) = (a − ) − a = − a a
例题3-8
1 −1 (1 + z ) 1 4 ，ROC： | z |< 的Z反变换x(n)。 求X ( z) = Z 1 2 (1 − z −1 ) 2 2 1 −1 1 (1 + z ) (z + ) 解： X ( z ) = 4 4 z = 1 1 (1 − z −1 ) 2 ( z − ) 2 2 2 1 1 (z + ) (z + ) 4 z ⋅ zn−1 = 4 zn G(z) = X(z)zn−1 = 1 1 (z − )2 (z − )2 2 2
实质上是求X(z)的幂级数展开式。 主要方法：§观察法，§围线积分法， §部分分式法，§幂级数展开法
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3.2.1 观察法
根据一些常用的变换对，可以直接写出其Z反变 Z 换形式，如在上节例 3-2中求序列x(n)=anu(n)的 Z变换，应用如下的变换对，就可以直接得到其Z Z 变换：
2
| a |< 1
求其逆变换x(n)
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3.2.3 部分分式法
将X(z)用部分分式展开，便于利用表3-1中的 基本Z变换对公式来求Z反变换。然后将各个Z反 Z Z Z 变换形式相加，就得到所求的序列x(n)，即
X(z)＝P(z)/Q(z)＝X1(z)+X2(z)+…+Xk(z)
(3-24 )
x(n)＝ Z −1[X(z)]＝ Z −1[ X1(z) ]+ Z −1 [ X2(z) ]+…+ Z −1[ Xk(z) ]
x (n) = 1 ∫ G ( z )dz = − 1 ∫ G ( z )dz 2π j C + 2π j C −
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例题3-8
1 1 (z + ) (z + ) 4 dz = −Res[ 4 ] x ( n) = − 1 ∫ 1 2 z=1 2π j C − z −n ( z − 1 ) 2 −n 2 z (z − ) 2 2 1 (z + ) 1 d 2−1 1 2 4 ] = − d [( z + 1 ) ⋅ z n ] =− [( z − ) ⋅ 2 −1 1 (2 − 1)! dz 2 z −n ( z − 1 ) 2 dz 4 z= 2 2 z=1
n−1 1 G( z)dz = Res[X ( z) (3-17) x(n) = z ]z=zk ∑ ∫+ 2π j C k =1 K
其中 Res[X (z)z n−1]z=zk 表示函数G(z)在点z＝zk处的留数。
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3.2.2 围线积分法
如果积分沿闭合曲线C顺时针方向(C−)进行积分，并 假设C−围成的区域内有M个有限极点Zm（即C以外 的区域），那么
2
或写成：
1 1 1 = −[(n + 1) z n + nz n−1 ] 1 = −(n + 1)( ) n − n( ) n+1 ， z= 4 2 2 2
(n ≤ −1)
1 n+1 1n x(n) =[−n( ) −(n+1)( ) ]u(−n−1) 2 2
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思考题：
(1 + a ) X ( z) = ， −1 (1 − az )(1 − az )
x(n) = − 1 ∫ G ( z )dz = −∑ Res[ X ( z ) z n −1 ]z = zm 2π j C − m =1
要求G(z)=X(z)zn−1分母多项式z的阶次比分子多项式 z的阶次高二阶或二阶以上
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M
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3.2.2 围线积分法
x(n) = 1 ∫ X(z)z dz= ∑ Res[X(z)zn−1 ]z=zk 2πjC+ k=1
1− az−1 1 的Z反变换x(n)。 求 X (z) = Z ，ROC | z |> ： | a| z−1 − a
解：
1− az−1 z − a 1 z −a X(z) = −1 = =− ⋅ ， 设 G(z) = X(z)zn−1 z − a 1− az a z − 1 a
1 1 1 z −a n−1 x(n) = ∫G(z)dz= ∫ (− z )dz 2πjC+ 2πjC+ a z −1/ a
1 X(z)zn−1dz, C+ ∈(R , R ) (3-16) x(n) = ∫ x− x+ 2πj C+
式(3-16)就是围线积分的Z反变换公式。
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3.2.2 围线积分法
根据留数定理，如果函数G(z)＝X(z)z n−1 在z平 面内沿闭合曲线C上连续，且C围成的区域内有K 个有限极点zk，对函数G(z)的围线积分可以写成
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例题3-6
1 ， ROC ：z |> 的Z反变换x(n) | 求 X (z) = 1 Z 1 −1 2 (1− z−1)(1− z ) 4 2 z n −1 z n +1 = 解：设 G( z ) = X ( z ) z n−1 = 1 1 1 1 (1 − z −1 )(1 − z −1 ) ( z − )( z − ) 4 2 4 2 1
(3-25)
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3.2.3 部分分式法
3.2.2 围线积分法
设zk是G(z)=X(z)z n−1在Z平面上闭合曲线C内的单 Z （一阶）极点， (3-22)
Res[X ( z ) z n−1 ]z = zk = [( z − zk ) X ( z) z n−1 ]z = zk
如果zk是X(z)z n−1的多重(l 阶)极点，
Res[X ( z) z ]z=zk
中国地质大学(北京) 地球物理与信息技术学院 电子信息工程教研室 制作
数字信号处理 第七讲
主讲内容： 主讲内容： Z反变换
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## 3.2 Z 反变换 Section 3.2 Inverse Z-Transform
所谓Z反变换就是从给定的Z变换闭合表达式 Z X(z)中还原出原序列x(n)。 x(n)＝Z −1[X(z) ] (3-12)