山东省滕州市滕州二中(老校)高三数学4月模拟试题 理(含解析)

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2015年山东省枣庄市滕州二中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的4个选项中,只有一项符合题目要求.)
1.(5分)复数z1=3+i,z2=1﹣i则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【考点】:复数代数形式的乘除运算.
【分析】:把复数z1=3+i,z2=1﹣i代入复数,化简为a+bi的形式,即可得到结果.
【解析】:解:把复数z1=3+i,z2=1﹣i代入复数,得
复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选A.
【点评】:本题考查复数代数形式的除法运算,是容易题.
2.(5分)集合M={0,1,2,3,4,5},N={0,2,3},则∁MN=()
A.{0,2,3} B.{0,1,4} C.{1,2,3} D.{1,4,5}
【考点】:补集及其运算.
【专题】:集合.
【分析】:根据全集M,求出N的补集即可.
【解析】:解:∵M={0,1,2,3,4,5},N={0,2,3},
∴∁MN={1,4,5},
故选:D.
【点评】:此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.
3.(5分)函数的定义域为()
A.(,1)B.(,∞)C.(1,+∞)D.(,1)∪(1,+∞)
【考点】:函数的定义域及其求法;对数函数的单调性与特殊点.
【专题】:计算题.
【分析】:由log0.5(4x﹣3)>0且4x﹣3>0可解得,
【解析】:解:由题意知log0.5(4x﹣3)>0且4x﹣3>0,
由此可解得,
故选A.
【点评】:本题考查函数的定义域,解题时要注意公式的灵活运用.
4.(5分)“sinx=”是“x=”的()
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
【考点】:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】:简易逻辑.
【分析】:根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
【解析】:解:若x=满足sinx=,但x=不成立,即充分性不成立,
若x=,则sinx=成立,即必要性成立,
故“sinx=”是“x=”的必要不充分条件,
故选:C
【点评】:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据三角函数之间的关系是解决本题的关键.
5.(5分)若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列命题正确的是()
A.ac2<bc2 B.<C.>D.a2>ab>b2
【考点】:不等式比较大小;不等关系与不等式.
【专题】:不等式的解法及应用.
【分析】:本题可以利用基本不等关系,判断选项中的命题是否正确,正确的可加以证明,错误的可以举反例判断,得到本题结论.
【解析】:解:选项A,
∵c为实数,
∴取c=0,
ac2=0,bc2=0,
此时ac2=bc2,
故选项A不成立;
选项B,=,
∵a<b<0,
∴b﹣a>0,ab>0,
∴>0,
即,
故选项B不成立;
选项C,
∵a<b<0,
∴取a=﹣2,b=﹣1,
则,,
∴此时,
故选项C不成立;
选项D,
∵a<b<0,
∴a2﹣ab=a(a﹣b)>0,
∴a2>ab.
∴ab﹣b2=b(a﹣b)>0,
∴ab>b2.
故选项D正确,
故选D.
【点评】:本题考查了基本不等关系,本题难度不大,属于基础题.
6.(5分)把函数y=sin3x的图象适当变化就可以得y=(sin3x﹣cos3x)的图象,这个变化可以是()
A.沿x轴方向向右平移B.沿x轴方向向右平移
C.沿x轴方向向左平移D.沿x轴方向向左平移
【考点】:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】:三角函数的图像与性质.
【分析】:由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.
【解析】:解:y=(sin3x﹣cos3x)=sin(3x﹣)=sin3(x﹣),
故把函数y=sin3x的图象沿x轴方向向右平移个单位,即可得到y=(sin3x﹣cos3x)的图象,
故选:B.
【点评】:本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
7.(5分)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,,且,则()
A.B.C.D.
【考点】:向量在几何中的应用;相等向量与相反向量.
【专题】:计算题.
【分析】:根据相等向量的定义及向量的运算法则:三角形法则求出,利用平面向量基本定理求出x,y的值
【解析】:解:由题意,∵,
∴,即,
∴,即
故选A.
【点评】:本题以三角形为载体,考查向量的加法、减法的运算法则;利用运算法则将未知的向量用已知向量表示,是解题的关键.
8.(5分)函数y=的图象大致为()
A.B.C.
D.
【考点】:余弦函数的图象;奇偶函数图象的对称性.
【专题】:三角函数的图像与性质.
【分析】:由于函数y=为奇函数,其图象关于原点对称,可排除A,利用极限思想(如x→0+,y→+∞)可排除B,C,从而得到答案D.
【解析】:解:令y=f(x)=,
∵f(﹣x)==﹣=﹣f(x),
∴函数y=为奇函数,
∴其图象关于原点对称,可排除A;
又当x→0+,y→+∞,故可排除B;
当x→+∞,y→0,故可排除C;
而D均满足以上分析.
故选D.
【点评】:本题考查奇偶函数图象的对称性,考查极限思想的运用,考查排除法的应用,属于中档题.
9.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S20>0,S21<0,则
中最大的项为()
A.B.C.D.
【考点】:等差数列的性质.
【专题】:等差数列与等比数列.
【分析】:由等差数列的性质和求和公式易得a10+a11>0且a11<0,可得n≤10时,S10最
大,而a10最小,故最大.
【解析】:解:由题意显然公差d<0,
∵S20==10(a1+a20)>0,
∴a1+a20>0,则a10+a11>0;
同理由S21<0可得a1+a21<0,∴a11<0,
结合a10+a11>0可得a10>0,
∴n≤10时,S10最大,而a10最小,∴最大.
故选:B.
【点评】:本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前n项和,属中档题.
10.(5分)给出如下性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在(﹣,)上是增函数.则同时具有上述性质的一个函数是()
A.y=sin(+)B.y=cos(﹣)C.y=sin(2x﹣)D.y=cos(2x+)
【考点】:正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的对称性.
【专题】:三角函数的图像与性质.
【分析】:利用函数的最小正周期为π可排除A,B,利用图象的单调递增区间进一步排除D,即可得答案.
【解析】:解:A,y=sin(+)的最小正周期T==4π,故不满足;
B,y=cos(﹣)的最小正周期T==4π,故不满足;
C,令y=f(x)=sin(2x﹣),则f()=sin(﹣)=sin=1,为最大值,
∴f(x)=sin(2x﹣)的图象关于直线x=对称,且其周期T==π,同时具有性质①、②,符号题意;
由2k≤2x﹣≤2k,k∈Z解得:x∈,k∈Z,
从而当k=1时,有函数f(x)=sin(2x﹣)在(﹣,)上是增函数.
D,y=cos(2x+),由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z可解得其单调递减区间为,k∈Z,故不符合③;
故选:C.
【点评】:本题考查三角函数的周期性与对称性及其求法,以及单调递增区间的求法,突出排除法在解选择题中的应用,属于中档题.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题纸上)
11.(5分)已知数列{an}中,a1=3,an+1=+1,则a2014=.
【考点】:数列递推式.
【专题】:点列、递归数列与数学归纳法.
【分析】:由题意可知{an﹣1}为周期数列且周期为2,a1﹣1=2,即可求出答案
【解析】:解:∵,
∴{an﹣1}为周期数列且周期为2,a1﹣1=2,
∴a2014﹣1=a2﹣1=,
∴.
故答案为:.
【点评】:本题考查数列递推式,考查数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础.
12.(5分)已知x,y满足条件若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(2,0)处取得最大值,则a的取值范围是(,+∞).
【考点】:简单线性规划的应用.
【专题】:不等式的解法及应用.
【分析】:作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即可求出a的取值范围.
【解析】:解:作出不等式对应的平面区域,
由z=ax+y得y=﹣ax+z,
∵a>0,∴此时目标函数的斜率k=﹣a<0,
要使目标函数z=ax+y仅在点A(2,0)处取得最大值,
则此时﹣a≤kAB=﹣,即a>,
故答案为:(,+∞)
【点评】:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.13.(5分)已知=2,=3,=4,…,若=7,(a、b均为
正实数),则类比以上等式,可推测a、b的值,进而可得a+b=55.
【考点】:类比推理.
【专题】:计算题;推理和证明.
【分析】:观察所给的等式,照此规律,第7个等式中:a=7,b=72﹣1=48,即可写出结果.【解析】:解:观察下列等式
=2,=3,=4,…,
照此规律,第7个等式中:a=7,b=72﹣1=48,
∴a+b=55,
故答案为:55
【点评】:本题考查归纳推理,考查对于所给的式子的理解,主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系.
14.(5分)已知x>0,y>0,且,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是﹣4<m<2.
【考点】:函数恒成立问题.
【专题】:计算题;压轴题.
【分析】:先把x+2y转化为(x+2y)展开后利用基本不等式求得其最小值,然后根据x+2y>m2+2m求得m2+2m<8,进而求得m的范围.
【解析】:解:∵,∴x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8
∵x+2y>m2+2m恒成立,
∴m2+2m<8,求得﹣4<m<2
故答案为:﹣4<m<2.
【点评】:本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力.
15.(5分)定义:如果函数y=f(x)在定义域内给定区间上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)
=,则称函数y=f(x)是上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点.例如y=|x|是上的“平均值函数”,0就是它的均值点.给出以下命题:
①函数f(x)=cosx﹣1是上的“平均值函数”;
②若y=f(x)是上的“平均值函数”,则它的均值点x0≥;
③若函数f(x)=x2﹣mx﹣1是上的“平均值函数”,则实数m的取值范围是m∈(0,2);
④若f(x)=lnx是区间(b>a≥1)上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,则lnx0<.其中的真命题有①③④.(写出所有真命题的序号)
【考点】:命题的真假判断与应用.
【专题】:简易逻辑.
【分析】:直接利用定义判断①的正误;利用反例判断②的正误;利用定义推出m的范围判断③的正误;利用分析法直接证明结合函数的导数即可证明④的正误.
【解析】:解:①容易证明正确.函数f(x)=cosx﹣1是上的“平均值函数”;﹣1就是它的均值点.
②不正确.反例:f(x)=x在区间上.
③正确.由定义:得,
又x0∈(﹣1,1)所以实数m的取值范围是m∈(0,2).
④正确.理由如下:由题知.
要证明,即证明:,
令,原式等价于.
令,则

所以得证.
故答案为:①③④.
【点评】:本题考查新定义的应用,函数的导数以及分析法的应用,考查分析问题解决问题的能力.
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)已知不等式x2﹣5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}
(1)求实数a,b的值;
(2)若0<x<1,f(x)=,求f(x)的最小值.
【考点】:基本不等式;一元二次不等式的解法.
【专题】:不等式的解法及应用.
【分析】:(1)由三个二次的关系可得,解方程组可得;
(2)由(1)知f(x)=+(+)=5++,由基本不等式可得.
【解析】:解:(1)由题意可得,解得,
∴实数a,b的值分别为1,4;
(2)由(1)知f(x)=+
∵0<x<1,∴0<1﹣x<1,∴>0,>0,
∴f(x)=+=(+)
=5++≥5+2=9
当且仅当=即x=时,等号成立.
∴f(x)的最小值为9.
【点评】:本题考查基本不等式,涉及一元二次不等式的解集,属基础题.
17.(12分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an•log an,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n•2n+1>50成立的正整数n的最小值.
【考点】:数列的求和;等比数列的通项公式.
【专题】:计算题.
【分析】:(Ⅰ)设出等比数列{an}的公比为q,根据等比数列的通项公式及等差数列的性质分别化简已知的两条件,得到一个方程组,化简后即可求出a1和q的值,写出数列an的通项公式即可;
(Ⅱ)把(Ⅰ)求出的数列an的通项公式代入,利用对数函数的性质化简,确定出bn的通项公式,列举出数列{bn}各项的和的相反数设为Tn,记作①,两边乘以2得到另一个关系式,记作②,①﹣②即可求出﹣Tn,即为Sn,把求出的Sn代入已知的不等式中化简,即可求出满足题意的最小的正整数n的值.
【解析】:解:(Ⅰ)设an的公比为q,由已知,
得⇒⇒⇒,
∴an=a1qn﹣1=2n;(5分)
(Ⅱ),
设Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①
则2Tn=1×22+2×23+…+(n﹣1)×2n+n×2n+1,②
①﹣②得:﹣Tn=(2+22+…+2n)﹣n×2n+1=﹣(n﹣1)×2n+1﹣2,
∴Sn=﹣Tn=﹣(n﹣1)×2n+1﹣2(10分)
故Sn+n•2n+1>50⇔﹣(n﹣1)×2n+1﹣2+n×2n+1>50,
⇒2n>26,
∴满足不等式的最小的正整数n为5.(12分)
【点评】:此题考查学生掌握用错项相减的方法求数列前n项的和,以及灵活运用等比数列的通项公式来解决问题.学生做第二问时注意不是直接求Sn,而是利用错位相减的方法先求出Sn的相反数Tn.
18.(12分)已知向量.
(1)当时,求cos2x﹣sin2x的值;
(2)设函数,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,求的取值范围.
【考点】:余弦定理;数量积的坐标表达式;三角函数中的恒等变换应用.
【专题】:计算题.
【分析】:(1)由两向量的坐标,以及两向量平行列出关系式,整理求出tanx的值,所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形,将tanx的值代入计算即可求出值;
(2)利用平面向量的数量积运算法则确定出f(x),由a,b及sinB的值,利用正弦定理求出sinA的值,确定出A的度数,代入所求式子,根据x的范围求出这个角的范围,进而求出正弦函数的值域,即可确定出所求式子的范围.
【解析】:解:(1)∵=(sinx,),=(cosx,﹣1),∥,
∴﹣sinx=cosx,即tanx=﹣,
则cos2x﹣sin2x=cos2x﹣2sinxcosx====;
(2)f(x)=2(+)•=2(sinxcosx+cos2x+)=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+,
∵a=,b=2,sinB=,
∴由正弦定理=得:sinA===,
∵a<b,∴A<B,
∴A=,
∴原式=sin(2x+)﹣,
∵x∈,∴2x+∈,
∴1≤sin(2x+)≤,
则≤sin(2x+)﹣≤﹣.即所求式子的范围为.
【点评】:此题考查了余弦定理,数量积的坐标表达式,正弦函数的定义域与值域,以及三角函数的恒等变换,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
19.(12分)为迎接2014年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足:
p=3﹣(其中0≤x≤a,a为正常数).已知生产该产品还需投入成本10+2p万元(不含促销
费用),产品的销售价格定为(4+)元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
(Ⅰ)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;
(Ⅱ)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值.
【考点】:利用导数求闭区间上函数的最值;函数模型的选择与应用.
【专题】:函数的性质及应用.
【分析】:(Ⅰ)根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系;
(Ⅱ)利用导数基本不等式可求出该函数的最值,注意等号成立的条件.
【解析】:解:(Ⅰ)由题意知,y=,
将p=3﹣代入化简得:(0≤x≤a);
(Ⅱ)===﹣,
当a≥1时,x∈(0,1)时y'>0,所以函数在(0,1)上单调递增,
当x∈(1,a)时y'<0,所以函数在(1,a)上单调递减,
从而促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;
当a<1时,因为函数在(0,1)上单调递增,
所以在上单调递增,故当x=a时,函数有最大值.
即促销费用投入a万元时,厂家的利润最大.
综上,当a≥1时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大,为=13 万元;
当a<1时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大,为万元.
【点评】:本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及基本不等式在最值问题中的应用,同时考查了计算能力,属于中档题.
20.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为,

(Ⅰ)计算f(1),f(2),f(3)的值;
(Ⅱ)比较f(n)与1的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
【考点】:数列递推式;用数学归纳法证明不等式.
【专题】:计算题.
【分析】:(1)此问根据通项公式计算出前n项的和.当n=1时,f(1)=s2;当n=2时,f
(2)=s4﹣s1=a2+a3;当n=3时,f(3)=s6﹣s2.(2)当n=1时,≥1.当n≥2时,f(n)中没有a1,因此都小于1.
【解析】:解:(Ⅰ)由已知,,
;(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(1)>1,f(2)>1;当n≥3时,猜想:f(n)<1.(4分)
下面用数学归纳法证明:
(1)由(Ⅰ)当n=3时,f(n)<1;(5分)
(2)假设n=k(k≥3)时,f(n)<1,即,那么
=
==

所以当n=k+1时,f(n)<1也成立.由(1)和(2)知,当n≥3时,f(n)<1.(9分)
所以当n=1,和n=2时,f(n)>1;当n≥3时,f(n)<1.(10分)
【点评】:此题主要考查数列递推式及相关计算.
21.(14分)已知函数f(x)=(ax2+x+a)e﹣x
(1)若函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线3x﹣y+1=0平行,求a的值;
(2)当x∈时,f(x)≥e﹣4恒成立,求实数a的取值范围.
【考点】:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】:计算题;导数的概念及应用;导数的综合应用.
【分析】:(1)求出导数,求得切线斜率,由两直线平行的条件即可得到a;
(2)当x∈时,f(x)≥e﹣4恒成立,即有当x∈时,f(x)min≥e﹣4.求出导数,讨论①当a≥0时,②当a<0时,当a≤﹣1,当﹣1<a<0时,当﹣1<a<0时,运用单调性,求出f(x)最小值即可得到.
【解析】:解:(1)函数f(x)=(ax2+x+a)e﹣x
导数f′(x)=(2ax+1)e﹣x+(ax2+x+a)e﹣x
=e﹣x(1+a+x+2ax+ax2),
则在点(0,f(0))处的切线斜率为f′(0)=1+a,
f(0)=a,由于切线与直线3x﹣y+1=0平行,
则有1+a=3,a=2;
(2)当x∈时,f(x)≥e﹣4恒成立,即有
当x∈时,f(x)min≥e﹣4.
由于f′(x)=(2ax+1)e﹣x+(ax2+x+a)e﹣x
=e﹣x(1+a+x+2ax+ax2)=(x+1)(ax+1+a)e﹣x,
①当a≥0时,x∈,f′(x)>0恒成立,f(x)在递增,
f(x)min=f(0)=a≥e﹣4;
②当a<0时,f′(x)=a(x+1)(x+1+)•e﹣x,
当a≤﹣1,﹣1≤<0,0≤1+<1,﹣1<﹣(1+)≤0,
x∈,f′(x)≤0恒成立,f(x)递减,
f(x)min=f(4)=(17a+4)•e﹣4≥e﹣4,17a+4≥1,a≥﹣,与a≤﹣1矛盾,
当﹣1<a<0时,<﹣1,1+<0,﹣(1+)>0,
f(x)在递增,或存在极大值,
f(x)min在f(0)和f(4)中产生,则需f(0)=a≥e﹣4,
且f(4)=(17a+4)•e﹣4≥e﹣4,
且﹣1<a<0,
推出a∈∅,
综上,a≥e﹣4.
【点评】:本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程,考查了利用导数求函数在闭区间上的最值,考查分类讨论的思想方法,是该题的难点所在,此题属中档题.。

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