高中物理微专题一小船渡河模型学案

微专题(一）小船渡河模型
1．三个速度
v船(船在静水中的速度)、v水（水流速度）、v合(船的实际速度）．如图①所示．
2．渡河时间
(1)船头与河岸成α角时，渡河时间为t＝错误!（d为河宽）．
(2)船头正对河岸时，渡河时间最短,t min＝错误!（d为河宽）．
3．最短航程
（1）若v水〈v船，则当合速度v合垂直于河岸时，航程最短，x min＝d。

船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝错误!.如图②所示．
(2)若v水>v船，如果船头方向（即v船方向)与合速度方向垂直,渡河位移最短，最短渡河位移x min＝错误!。

如图③所示．
题型一小船渡河问题的分析与求解
【典例1】［一题多变]小船在水速较小的河中横渡，并使船头始终垂直河岸航行，到达河中间时突然上游来水使水流速度加快，则对此小船渡河的说法正确的是()
A．小船要用更长的时间才能到达对岸
B．小船到达对岸的时间不变，但位移将变大
C．因小船船头始终垂直河岸航行，故所用时间及位移都不会变化
D．因船速与水速关系未知,故无法确定渡河时间及位移的变化
[拓展1］在【典例1】中小船在静水中的速度v1＝5 m/s，水流速度v2＝3 m/s，河的宽度为60 m，请问小船渡河的最短时间是多少?
[拓展2］在【典例1】中小船渡河位移最短时，小船的渡河时间是多少？
方法技巧
求解小船渡河问题的两个关键点
（1)小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河水流动的速度无关．
(2)小船渡河用时最短与位移最短是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最短．
练1如图所示，一条小船渡河，河水流速v1＝3 m/s，船在静水中速度v2＝4 m/s，船头方向与河岸垂直．关于小船的运动,下列说法正确的是（）
A．小船的实际运动轨迹与岸垂直
B．小船相对于岸的速度大小为1 m/s
C．小船相对于岸的速度大小为5 m/s
D．小船相对于岸的速度大小为7 m/s
练2端午赛龙舟是中华民族的传统，若某龙舟在比赛前划向比赛位置的途中要渡过60 m宽且两岸平直的河,龙舟在静水中划行的速率为3 m/s，河水的流速为4 m/s,下列说法中正确的是（)
A．该龙舟以最短时间渡河通过的位移为60 m
B．该龙舟渡河的最大速率为7 m/s
C．该龙船渡河所用时间最短为15 s
D．该龙舟不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸
练3如图所示，一条小船位于d＝200 m宽的河正中A点处，从这里向下游100错误!m处有一危险区，当时水流速度为v1＝4 m/s.
(1)若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，小船到岸的最短时间是多少？
(2）若小船在静水中速度为v2＝5 m/s,小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间？
(3)为了使小船避开危险区沿直线到达对岸,小船在静水中的速度至少是多少？
解题通法
小船渡河问题分析思路
题型二小船渡河问题与图像的综合
【典例2】小船横渡一条河，为尽快到达对岸，船头方向始终与河岸垂直,为避免船撞击河岸，小船先做加速运动后做减速运动，使小船到达河对岸时恰好不与河岸相撞．小船在静水中的行驶速度v1如图甲所示，水的流速v2如图乙所示，则下列关于小船渡河的说法正确的是(）
A．小船的运动轨迹为直线
B．河宽是150 m
C．小船到达对岸时，沿河岸下游运动了60 m
D．小船渡河的最大速度是13 m/s
练4一快艇从离岸边100 m远的河流中央向岸边行驶．已知快艇在静水中的速度图像如图甲所示,河中各处水流速度相同，且速度图像如图乙所示．则()
A．快艇的运动轨迹一定为直线
B．快艇的运动轨迹可能为直线，也可能为曲线C．快艇最快到达岸边，所用的时间为20 s D．快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m
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1．已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1,下面用小箭头表示小船船头的指向，则下图中能正确反映小船用最短时间渡河、最小位移渡河的情境分别是(）
A．①②B．①⑤
C．④⑤ D．②③
2．河宽d＝60 m,水流速度v1＝4 m/s且保持不变，小船在静水中的行驶速度为v2＝3 m/s，则下列说法正确的是（) A．小船能垂直到达正对岸
B．若船头始终垂直于河岸渡河,渡河过程中水流速度加快，渡河时间将变长
C．小船渡河时间最短为20 s
D．小船渡河的实际速度一定为5 m/s
3．小船要渡过200 m 宽的河面，水流速度是4 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，则下列判断正确的是() A．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是50 s
B．要使小船过河的位移最短,船头应始终正对着对岸
C．小船过河所需的最短时间是40 s
D．如果水流速度增大为6 m/s，小船过河所需的最短时间将增大
4．如图所示，小船从A处过河,船头指向与上游河岸成θ角，正好到达正对岸的B处，小船在静水中的速度大小为v1.现水流速度稍微变大，为使小船过河后仍然正好到达正对岸的B处，下列方法中可行的有(）
A．保持v1不变，同时增大θ角
B．保持v1不变，同时减小θ角
C．保持θ角不变，减小v1
D．增大θ角，减小v1
5．河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水,各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝错误! x(m/s),让小船船头垂直河岸由南向北渡河,小船在静水中的速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法中正确的是（）
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距离南岸200 m处的速度大小小于它在距北岸200 m处的速度大小
D．小船渡河的时间是160 s
6．某小船在河宽为d、水速恒定为v的河中渡河,第一次用最短时间从渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v1,所用时间为t1；第二次用最短航程从同一渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v2，所用时间为t2，结果两次恰好抵达对岸的同一地点,则（)
A．第一次所用时间t1＝错误!
B．第二次所用时间t2＝错误!
C．两次渡河的位移大小为错误!
D．两次渡河所用时间之比错误!＝错误!
7．用跨过定滑轮的绳子把湖中小船向右拉的过程中，如图所示，若保持人拉绳子的速度v不变，则小船的速度（) A．不变B．逐渐增大
C．逐渐减小D．先增大后减小
微专题（一）小船渡河模型
【典例1】【解析】因为小船船头垂直于河岸,则渡河时间t＝错误!，水流速增大,渡河时间不变，沿河岸方向的位移增大，则最终渡河的位移变大，故B正确,A、D错误;因小船船头始终垂直河岸航行,渡河时间不会随着水流速度增大而变化，故C错误．
【答案】B
［拓展1]解析：经分析可知，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短．最短时间:t1＝错误!＝12 s.
答案：12 s
［拓展2]解析：经分析可知，当小船的合速度方向与河岸垂直时，小船渡河的位移最短，此时的合速度为v＝错误!＝4 m/s，渡河时间t＝错误!＝15 s。

答案：15 s
练1解析:船实际运动的方向为v1与v2的合速度的方向，故A错误；小船相对于岸的速度即合速度v＝错误!＝5 m/s,故B、D错误，C正确．
答案：C
练2解析：该龙舟以最短时间渡河时，船头方向与河岸垂
直，则最短时间为t min＝
d
v静水＝错误!s＝20 s,此时该龙舟沿河岸方
向的位移x＝v水t min＝4×20 m＝80 m,则该龙舟通过的位移大于60 m,选项A、C错误;只有船速和水流速度同向时，龙舟的最大速率才为7 m/s，则该龙舟渡河的最大速率不可能达到7 m/s，选项B错误；因水流的速度大于船速，可知该龙舟不能垂直于河岸渡河,即龙舟不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸，选项D 正确．
答案：D
练3解析：(1)当船头与河岸垂直时，时间最短，
t1＝错误!＝20 s
(2)设船头与河岸的夹角为θ，渡河时间为t2，
合成图如图：
可知,cos θ＝错误!；θ＝37°
t2＝错误!＝错误!s≈33。

3 s
（3)设小船避开危险区，合速度与水流方向的夹角为α，则tan α＝错误!＝错误!，α＝30°
当船头分运动与合运动垂直时，取得最小值．
如图所示：
最小速度v2min＝v1sin α＝2 m/s
答案:(1）20 s(2）37°33.3 s（3）2 m/s
【典例2】【解析】小船在静水中先做加速运动后做减速运动，具有加速度，又水的流速恒定，且方向与小船在静水中的速度方向垂直，小船的实际运动是两者的合运动，是曲线运动，A错误；研究小船垂直于河岸方向的运动，根据速度-时间图像中图线与时间轴围成的面积表示位移大小，可得河宽d ＝错误!×30×10 m＝150 m,B正确;根据运动的等时性可知，小船沿河岸方向运动了30 s,则沿河岸方向运动的距离x＝3×30 m＝90 m,C错误；根据矢量合成法则可知，小船在静水中的速度最大时,渡河速度最大，为102＋32m/s＝109 m/s，D错误．【答案】B
练4解析：快艇的轨迹一定为曲线运动,A、B两个选项错误;要使到达河岸的时间最短，则v船应垂直于河岸,s＝错误!at2，解得t＝20 s,C选项正确；快艇最快到达岸边，位移必定大于100 m。

s,C正确；小船过河所需的最短时间与水流速度的大小无关，D 错误．
答案:C
4．解析：由题意可知，小船相对静水的速度为v1，船头与上游河岸成θ角时，其航线恰好垂直于河岸，若水流速度稍微增大,为保持航线不变，且能到达对岸,如图所示,可以保持v1大小不变，减小θ角，或者保持θ角不变，增大v1；若增大θ角，v1大小也必须增大．故A、C、D错误，B正确．
答案：B
5．解析：水流的速度与其到较近河岸的距离有关，小船垂直河岸的速度恒定，则小船在沿河岸方向做变速运动，在垂直河岸方向做匀速运动，则小船的合运动为曲线运动，选项A错误；根据v水＝错误!x(m/s)得,小船在河中央时水流速度最大，即为v水＝3 m/s，故小船的最大速度v＝错误!＝5 m/s，选项B正确；无论小船是在距南岸200 m处还是在距北岸200 m处,水速均为v水′＝1.5 m/s,则小船的合速度大小相等,选项C错误;小船渡河的时间t＝错误!＝200 s，选项D错误．
答案：B
6．解析:两次渡河的示意图分别如答图甲、乙所示，渡河最短时间t＝错误!，所以t1＝错误!，A错误;第一次渡河时有tan α＝错误!,第二次渡河时有错误!＝sin α，所以错误!＝错误!，第二次渡河时间为t2＝错误!＝错误!，B错误;两次渡河的初位置和末位置都相同，因此两次渡河的位移之比为1:1，C错误;两次渡河的时间之比为错误!＝错误!,D正确．
答案：D
7．解析：小船的运动为实际运动，故把小船的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分运动，如图所示,小船运动过程中保持人拉绳子的速度大小不变，两个分运动方向始终垂直，合运动方向不变，绳子与水平方向夹角θ逐渐增大．v船＝错误!，由于θ不断增大,则cos θ不断减小，故v船逐渐增大，选项A、C、D错误,B正确．
答案：B。