2020年年九年级数学中考复习课件：圆的有关计算(56张PPT)
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第3页
3．(2019·广西梧州中考)如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与 AB 交 于 点 D ， ∠ADO ＝ 85° ， ∠CAB ＝ 20° ， 则 阴 影 部 分 的 扇 形 OAC 的 面 积 是
5 __3_6_π___.
第4页
命题点二 与扇形有关的阴影面积计算
4．(2015·遵义中考)如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2 cm，C为
定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的性
质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
第 33 页
例5 (2018·贵州贵阳中考)如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆 上 ， OC⊥AB ， 垂 足 为 点 O ， P 为 半 圆 上 任 意 一 点 ， 过 P 点 作 PE⊥OC 于 点 E ， 设 △OPE的内心为M，连接OM、PM.
解题技巧：本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质， 掌握弧长公式是解题的关键．
第 24 页
突破点二 与扇形有关的面积计算 例2 (2018·贵州安顺中考)如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm, ∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C ′
(D)
A．3 C．32
B． 3 D． 2
第 28 页
思路分析：∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝ 45°，BD＝ 2 AB．∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°.∵CB＝CD，∴△CBD为等边 三角形，∴BC＝BD＝ 2 AB．∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧 面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB∶CB，∴下面圆锥的侧面积为 2×1＝ 2.
BC＝
1 2
AB＝
1 2
×
52－r2 .由题意得⊙O与MN有交
点，∴OE≤r，即
1 2
×
52－r2 ≤r，解得r≥
5 .∵直线l与⊙O相
离，∴r＜5.故使△GBC是以BC为底边的等腰三角形时，⊙O的
半径r的取值范围为： 5≤r＜5.
图2
解题技巧：本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为__12_π_＋__2_2_－__12__
cm2.
第5页
命题拓展
5．(2019·内蒙古包头中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝
2 2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是
(D)
A．π－1
B．4－π
第 10 页
11．(2019·甘肃白银中考)把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧 依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于___4_－__π__.
第 11 页
考点精析
考点一 弧长及扇形的面积 如图，扇形AOB所对应的圆心角的度数为n°，半径为R，l是弧长，则有以下 计算公式．
第 16 页
(3)变换转化法：利用图形在平移、旋转、对称变换前后面积不变的性质，可将 阴影部分的面积转化为规则图形的面积进行计算．如下图，三角形经过对称、旋转 变换后所得阴影部分的面积等同于一个扇形的面积．
第 17 页
(4)整体转化法：当整个图形由较多规则图形组成时，如果整个图形除阴影部分 外的部分可以彻底分割成规则图形；另外，当阴影部分也参与分割时，整个图形也 能彻底分割成规则图形，那么利用两种不同分割方式对整个图形的面积计算的表达 式不同，可以建立方程来求解阴影部分面积．如下图，S阴影＋S扇形CBC′＋S△ABC＝ S△A′BC′＋S扇形A′BA．
个底面半径和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为 ( B )
A．60π
B．65π
C．78π
D．120π
第9页
核心素养 10．(2019·江苏泰州中考)如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半 径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6 cm，则莱洛三角 形的周长为__6_π___cm.
第 20 页
(2)圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥 侧面的⑨__母__线__长____，弧长是圆锥底面圆的周长，圆心是圆锥的顶点．
第 21 页
(3)圆锥的有关计算：设圆锥底面圆的半径为r，侧面母线长(扇形半径)为l，底面
圆周长(扇形弧长)为c，它的侧面积和表面积如下表：
C． 2
D．2
第6页
6．(2019·四川广安中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A
＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分
的面积为
( A)
A．43π－ 3
B．23π－
3 2
C．13π－
3 2
D．13π－ 3
第7页
命题点三 圆锥的有关计算
7．(2019·遵义中考)圆锥的底面半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥
圆的有关计算
中考题组
命题点一 弧长及扇形的面积
1．(2016·遵义中考)如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12，C为半圆上一
︵
点，∠CAB＝30°，AC 的长是
(D )
A．12π
B．6π
C．5π
D．4π
第2页
命题拓展 2．(2019·青海中考)如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO ＝60°，OA＝6，则弧BC的长为__83_π____.
(1)求∠OMP的度数； (2)当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长． 思路分析：(1)先判断出∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，再利用三角形的 内角和定理即可得出结论；(2)连接CM.分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC 内，通过证△CMO≌△PMO，求出∠CMO＝135°，进而判断出点M的轨迹，再用 弧长公式即可得出结论．
重难突破
突破点一 弧长的计算
例1 (2019·山东泰安中考)如图，将⊙O沿弦AB折叠，弧AB恰好经过圆心O，
若⊙O的半径为3，则弧AB的长为
(C)
A．12π
B．π
C．2π
D．3π
第 23 页
思路分析：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，如题图．由题意，得OC＝12OA，∴ ∠OAC＝30°.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴弧AB的长 ＝1201π80×3＝2π.故选C．
的高是
(A)
A．5 3 cm
B．10 cm
C．6 cm
D．5 cm
8．(2017·遵义中考)已知圆锥的底面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面
积是
(A)
A．18π cm2
B．27π cm2
C．18 cm2
D．27 cm2
第8页
9．(2018·遵义中考)若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一
第 30 页
思路分析：(1)连接OA，根据切线的性质得到∠OAB＝90°，根据等腰三角形 的性质、对顶角相等得到∠BAC＝∠BCA，根据“等角对等边”证明结论；(2)连接 AO 并 延 长 交 ⊙O 于 D ， 连 接 PD ， 根 据 勾 股 定 理 求 出 BC 、 PC ， 证 明 △DAP∽△CPB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；(3)作BC的垂直 平分线MN，作OE⊥MN于点E，根据勾股定理用r表示出AB，得到OE的长，根据 题意列出不等式，得到答案．
1 在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为__4_π____cm2．(结果保留π)
第 25 页
思路分析：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′＝60°，△BCO≌△B′C′O，
∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，
∴∠B′OB＝120°.
第 15 页
(2)等积转化法：通过等面积转化，将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的 面积进行计算．等面积变换主要有两种：一种是三角形的同底等高(或等底等高)转 化，如下左图，可将阴影部分的面积转化为扇形面积进行计算；另一种是将多个小 扇形拼成一个圆心角已知的大扇形进行计算，如下右图，可将两个小扇形的面积和 转化为四分之一圆的面积进行计算．
第 31 页
自主解答：(1)证明：如图1，连接OA．∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°， ∴∠OAP ＋ ∠BAC ＝ 90°.∵OB⊥l ， ∴∠BCA ＋ ∠BPC ＝ 90°.∵OA ＝ OP ， ∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC．
(2)解：如图1，连接AO并延长交⊙O于点D，连接PD，则 ∠APD＝90°.∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝
第 13 页
考点二 与扇形有关的阴影面积计算
1．弓形的面积计算方法
对应劣弧的弓形
对应优弧的弓形
对应半圆的弓形
S阴影＝S扇形－S三角形
S阴影＝S三角形＋S扇形
第 14 页
S阴影＝S扇形
2．与扇形有关的阴影图形面积的计算方法 求与扇形有关的不规则的阴影图形的面积，基本思路是通过分割、旋转、添补 等方法，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积进行计算． (1)加减转化法：将图形适当分割，将阴影部分的面积看成是规则图形面积的和 或差．
计算内容 弧长
计算公式 ①__l＝__n1_π8_R0___
扇形的周长 扇形的面积
②___C_＝__2_R_＋__l__ ③_S__＝__n3_π6_R0_2_或__S_＝__12_l_R___
第 12 页
易错提示：在弧长公式和扇形面积公式中，n,180,360都是没有单位(度)的，它 们只是一个数量．
OB2－OA2 ＝4.在Rt△PBC中，PC＝ PB2＋BC2 ＝2 5 .∵∠ DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△CPB，∴
ABPP＝APDC，即A2P＝2
6
5.解得AP＝6
5
5 .
图1
第 32 页
(3)解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于点
E，则OE＝
1 2
解题技巧：圆锥侧面积的计算公式为S侧面积＝
1 2
cr＝πrl(其中c为底面圆的周长或圆
锥侧面展开图扇形的弧长，l为圆锥的母线长)．
第 29 页
突破点四 圆中的探究性问题 例4 (2019·四川内江中考)如图，AB与⊙O相切于点A，直线 l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，AP的 延长线交直线l于点C． (1)求证：AB＝BC； (2)若⊙O的半径为3，求线段AP的长； (3)若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r 的取值范围．
∵AB＝2 cm，
∴OB＝1 cm，OC′＝12 cm，
∴B′C′＝
3 2
cm，
第 26 页
∴S扇形B′OB＝1203π6×0 12＝13π (cm2)．
∵S扇形C′OC＝1203π60×14＝1π2(cm2)，
∴阴影部分面积＝S扇形B′OB＋S△B′C′O－S△BCO－S扇形C′OC＝S扇形B′OB－S扇形C′OC＝
1 3
π
－112π＝14π(cm2)．
解题技巧：求不规则图形的面积时，常根据平移、旋转等知识添加恰当的辅助 线将图形进行分割，从而转化为求规则图形的面积和或差．
第 27 页
突破点三 圆锥的有关计算
例3 (2019·浙江金华中考)如图，物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝
90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为
侧面积
表面积
公式
S侧＝πrl
S表＝πr(r＋l)
思路 与推导
展开成扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，圆锥
的弧长是圆锥的底面圆周长，故S侧＝
1 2
cl＝
1 2
S表＝S侧＋S底面＝πrl＋ πr2＝πr(r＋l)
×2πrl＝πrl
方法点拨：圆锥的底面半径r、圆锥的高、圆锥的母线构成了一个直角三角 形．
第 22 页
第 18 页
考点三 圆柱、圆锥的有关计算
1．圆柱的有关计算
图形
圆柱的侧面积
圆柱的全面积
圆柱的体积
④_S_圆_柱__侧_＝__2_π_r_h_ ⑤__S_圆__柱_全_＝__2_π_r_h_＋__2_π_r_2_ ⑥__V_＝__π_r_2h____
第 19 页
2．圆锥的有关计算 (1)圆锥的定义：圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一 周而形成的图形，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的⑦___底__面___，斜边旋转而 成的面叫做圆锥的⑧__侧__面____. 易错提示：给出一个直角三角形，按其直角边所在直线旋转形成圆锥时，一般 有两种情况，要注意分类讨论，不要漏解．
3．(2019·广西梧州中考)如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与 AB 交 于 点 D ， ∠ADO ＝ 85° ， ∠CAB ＝ 20° ， 则 阴 影 部 分 的 扇 形 OAC 的 面 积 是
5 __3_6_π___.
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命题点二 与扇形有关的阴影面积计算
4．(2015·遵义中考)如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2 cm，C为
定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的性
质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
第 33 页
例5 (2018·贵州贵阳中考)如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆 上 ， OC⊥AB ， 垂 足 为 点 O ， P 为 半 圆 上 任 意 一 点 ， 过 P 点 作 PE⊥OC 于 点 E ， 设 △OPE的内心为M，连接OM、PM.
解题技巧：本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质， 掌握弧长公式是解题的关键．
第 24 页
突破点二 与扇形有关的面积计算 例2 (2018·贵州安顺中考)如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm, ∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C ′
(D)
A．3 C．32
B． 3 D． 2
第 28 页
思路分析：∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝ 45°，BD＝ 2 AB．∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°.∵CB＝CD，∴△CBD为等边 三角形，∴BC＝BD＝ 2 AB．∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧 面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB∶CB，∴下面圆锥的侧面积为 2×1＝ 2.
BC＝
1 2
AB＝
1 2
×
52－r2 .由题意得⊙O与MN有交
点，∴OE≤r，即
1 2
×
52－r2 ≤r，解得r≥
5 .∵直线l与⊙O相
离，∴r＜5.故使△GBC是以BC为底边的等腰三角形时，⊙O的
半径r的取值范围为： 5≤r＜5.
图2
解题技巧：本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为__12_π_＋__2_2_－__12__
cm2.
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命题拓展
5．(2019·内蒙古包头中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝
2 2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是
(D)
A．π－1
B．4－π
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11．(2019·甘肃白银中考)把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧 依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于___4_－__π__.
第 11 页
考点精析
考点一 弧长及扇形的面积 如图，扇形AOB所对应的圆心角的度数为n°，半径为R，l是弧长，则有以下 计算公式．
第 16 页
(3)变换转化法：利用图形在平移、旋转、对称变换前后面积不变的性质，可将 阴影部分的面积转化为规则图形的面积进行计算．如下图，三角形经过对称、旋转 变换后所得阴影部分的面积等同于一个扇形的面积．
第 17 页
(4)整体转化法：当整个图形由较多规则图形组成时，如果整个图形除阴影部分 外的部分可以彻底分割成规则图形；另外，当阴影部分也参与分割时，整个图形也 能彻底分割成规则图形，那么利用两种不同分割方式对整个图形的面积计算的表达 式不同，可以建立方程来求解阴影部分面积．如下图，S阴影＋S扇形CBC′＋S△ABC＝ S△A′BC′＋S扇形A′BA．
个底面半径和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为 ( B )
A．60π
B．65π
C．78π
D．120π
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核心素养 10．(2019·江苏泰州中考)如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半 径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6 cm，则莱洛三角 形的周长为__6_π___cm.
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(2)圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥 侧面的⑨__母__线__长____，弧长是圆锥底面圆的周长，圆心是圆锥的顶点．
第 21 页
(3)圆锥的有关计算：设圆锥底面圆的半径为r，侧面母线长(扇形半径)为l，底面
圆周长(扇形弧长)为c，它的侧面积和表面积如下表：
C． 2
D．2
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6．(2019·四川广安中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A
＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分
的面积为
( A)
A．43π－ 3
B．23π－
3 2
C．13π－
3 2
D．13π－ 3
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命题点三 圆锥的有关计算
7．(2019·遵义中考)圆锥的底面半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥
圆的有关计算
中考题组
命题点一 弧长及扇形的面积
1．(2016·遵义中考)如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12，C为半圆上一
︵
点，∠CAB＝30°，AC 的长是
(D )
A．12π
B．6π
C．5π
D．4π
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命题拓展 2．(2019·青海中考)如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO ＝60°，OA＝6，则弧BC的长为__83_π____.
(1)求∠OMP的度数； (2)当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长． 思路分析：(1)先判断出∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，再利用三角形的 内角和定理即可得出结论；(2)连接CM.分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC 内，通过证△CMO≌△PMO，求出∠CMO＝135°，进而判断出点M的轨迹，再用 弧长公式即可得出结论．
重难突破
突破点一 弧长的计算
例1 (2019·山东泰安中考)如图，将⊙O沿弦AB折叠，弧AB恰好经过圆心O，
若⊙O的半径为3，则弧AB的长为
(C)
A．12π
B．π
C．2π
D．3π
第 23 页
思路分析：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，如题图．由题意，得OC＝12OA，∴ ∠OAC＝30°.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴弧AB的长 ＝1201π80×3＝2π.故选C．
的高是
(A)
A．5 3 cm
B．10 cm
C．6 cm
D．5 cm
8．(2017·遵义中考)已知圆锥的底面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面
积是
(A)
A．18π cm2
B．27π cm2
C．18 cm2
D．27 cm2
第8页
9．(2018·遵义中考)若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一
第 30 页
思路分析：(1)连接OA，根据切线的性质得到∠OAB＝90°，根据等腰三角形 的性质、对顶角相等得到∠BAC＝∠BCA，根据“等角对等边”证明结论；(2)连接 AO 并 延 长 交 ⊙O 于 D ， 连 接 PD ， 根 据 勾 股 定 理 求 出 BC 、 PC ， 证 明 △DAP∽△CPB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；(3)作BC的垂直 平分线MN，作OE⊥MN于点E，根据勾股定理用r表示出AB，得到OE的长，根据 题意列出不等式，得到答案．
1 在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为__4_π____cm2．(结果保留π)
第 25 页
思路分析：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′＝60°，△BCO≌△B′C′O，
∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，
∴∠B′OB＝120°.
第 15 页
(2)等积转化法：通过等面积转化，将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的 面积进行计算．等面积变换主要有两种：一种是三角形的同底等高(或等底等高)转 化，如下左图，可将阴影部分的面积转化为扇形面积进行计算；另一种是将多个小 扇形拼成一个圆心角已知的大扇形进行计算，如下右图，可将两个小扇形的面积和 转化为四分之一圆的面积进行计算．
第 31 页
自主解答：(1)证明：如图1，连接OA．∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°， ∴∠OAP ＋ ∠BAC ＝ 90°.∵OB⊥l ， ∴∠BCA ＋ ∠BPC ＝ 90°.∵OA ＝ OP ， ∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC．
(2)解：如图1，连接AO并延长交⊙O于点D，连接PD，则 ∠APD＝90°.∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝
第 13 页
考点二 与扇形有关的阴影面积计算
1．弓形的面积计算方法
对应劣弧的弓形
对应优弧的弓形
对应半圆的弓形
S阴影＝S扇形－S三角形
S阴影＝S三角形＋S扇形
第 14 页
S阴影＝S扇形
2．与扇形有关的阴影图形面积的计算方法 求与扇形有关的不规则的阴影图形的面积，基本思路是通过分割、旋转、添补 等方法，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积进行计算． (1)加减转化法：将图形适当分割，将阴影部分的面积看成是规则图形面积的和 或差．
计算内容 弧长
计算公式 ①__l＝__n1_π8_R0___
扇形的周长 扇形的面积
②___C_＝__2_R_＋__l__ ③_S__＝__n3_π6_R0_2_或__S_＝__12_l_R___
第 12 页
易错提示：在弧长公式和扇形面积公式中，n,180,360都是没有单位(度)的，它 们只是一个数量．
OB2－OA2 ＝4.在Rt△PBC中，PC＝ PB2＋BC2 ＝2 5 .∵∠ DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△CPB，∴
ABPP＝APDC，即A2P＝2
6
5.解得AP＝6
5
5 .
图1
第 32 页
(3)解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于点
E，则OE＝
1 2
解题技巧：圆锥侧面积的计算公式为S侧面积＝
1 2
cr＝πrl(其中c为底面圆的周长或圆
锥侧面展开图扇形的弧长，l为圆锥的母线长)．
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突破点四 圆中的探究性问题 例4 (2019·四川内江中考)如图，AB与⊙O相切于点A，直线 l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，AP的 延长线交直线l于点C． (1)求证：AB＝BC； (2)若⊙O的半径为3，求线段AP的长； (3)若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r 的取值范围．
∵AB＝2 cm，
∴OB＝1 cm，OC′＝12 cm，
∴B′C′＝
3 2
cm，
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∴S扇形B′OB＝1203π6×0 12＝13π (cm2)．
∵S扇形C′OC＝1203π60×14＝1π2(cm2)，
∴阴影部分面积＝S扇形B′OB＋S△B′C′O－S△BCO－S扇形C′OC＝S扇形B′OB－S扇形C′OC＝
1 3
π
－112π＝14π(cm2)．
解题技巧：求不规则图形的面积时，常根据平移、旋转等知识添加恰当的辅助 线将图形进行分割，从而转化为求规则图形的面积和或差．
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突破点三 圆锥的有关计算
例3 (2019·浙江金华中考)如图，物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝
90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为
侧面积
表面积
公式
S侧＝πrl
S表＝πr(r＋l)
思路 与推导
展开成扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，圆锥
的弧长是圆锥的底面圆周长，故S侧＝
1 2
cl＝
1 2
S表＝S侧＋S底面＝πrl＋ πr2＝πr(r＋l)
×2πrl＝πrl
方法点拨：圆锥的底面半径r、圆锥的高、圆锥的母线构成了一个直角三角 形．
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考点三 圆柱、圆锥的有关计算
1．圆柱的有关计算
图形
圆柱的侧面积
圆柱的全面积
圆柱的体积
④_S_圆_柱__侧_＝__2_π_r_h_ ⑤__S_圆__柱_全_＝__2_π_r_h_＋__2_π_r_2_ ⑥__V_＝__π_r_2h____
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2．圆锥的有关计算 (1)圆锥的定义：圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一 周而形成的图形，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的⑦___底__面___，斜边旋转而 成的面叫做圆锥的⑧__侧__面____. 易错提示：给出一个直角三角形，按其直角边所在直线旋转形成圆锥时，一般 有两种情况，要注意分类讨论，不要漏解．