专题1.1 空间向量及其运算(七个重难点突破)(解析版)-高二数学上学期重难点和易错点突破

专题1.1空间向量及其运算
知识点1空间向量的有关概念
1．空间向量的定义及表示
名称方向模表示法零向量任意
0记为0
单位向量11a ＝或=1
AB 相反向量相反相等
记为a 共线向量相同或相反
//a b 或//AB CD 相等向量
相同
相等
=a b 或=AB CD
知识点2空间向量的线性运算
1.空间向量的加减运算加法运算
三角形法则
语言叙述
首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则
语言叙述
共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算
三角形法则
语言叙述
共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
2.空间向量的数乘运算定义
与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积a λ
仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义
λ>a λ 与向量a 的方向相同a λ 的长度是a 的长度的λ倍
0λ<a λ 与向量a 的方向相反
λ=0a λ=
，其方向是任意的
3.空间向量的运算律
知识点3共线向量与共面向量
1.直线l 的方向向量
定义：把与a
平行的非零向量称为直线l 的方向向量．2．共线向量与共面向量的区别
共线(平行)向量
共面向量
定义
位置关系
表示若干空间向量
的有向线段所在的
直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
特征方向相同或相反特例
零向量与任意向量
平行
充要条件
共线向量定理：对于空间任意两个向量()
0a b b ≠ ,，
//a b 的充要条件是存在实
数λ使=a b
λ 共面向量定理：若两个向量a b
,不共线，则向量p 与向量a b ,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使
p xa yb
＝＋对空间任一点O ，
)
1(OP xOA yOB x y =+
＋＝空间中,,,P A B C 四点共面的充要条件是存在有序实数
对(,,)x y z ，使得对空间中任意一点O ，都有
(1OP xOA yOB zOC x+y +z ==++
其中)
重难点1空间向量的线性运算
1．如图，在空间四边形ABCD 中，F ，M ，G 分别是BD ，BC ，CD 的中点，化简下列各式：
(1)()
12AB BC BD ++ ；
(2)()
12
AG AB AC -+ ；
(3)AC GD MB ++ ．
【答案】(1)AG
(2)MG
(3)AF
【分析】（1）由于G 是CD 的中点,所以
()
12
BC BD BG +=
，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；（2）由于M 是BC 的中点,所以()
12
AB AC AM +=
，再根据空间向量的减法运算即可求出结果；
（3）由于M ，G 分别BC ，CD 的中点，所以11,22MB CB GD CD == ，又F 是BD 的中点，()
12
CD CB CF +=
，
再根据空间向量的加法运算即可求出结果；(1)
解：因为G 是CD 的中点，所以()
12
BC BD BG +=
，
所以，()
12
AB BC BD AB BG AG ++=+=
；
(2)
解：因为M 是BC 的中点,所以()
12
AB AC AM +=
，
所以，()
1=2
AG AB AC AG AM MG -+-= ；
(3)
解：因为M ，G 分别BC ，CD 的中点，所以11,22
MB CB GD CD == ，
又F 是BD 的中点，()
12
CD CB CF +=
，
所以，()
111222
AC GD MB AC CD CB AC CD CB AC CF AF ++=++=++=+=
.
2．如图，点M ，N 分别是四面体ABCD 的棱AB 和CD 的中点，求证：()
12
MN AD BC =+
.
【答案】详见解析.
【分析】取BD 的中点P ，连接PM ，PN ，由12MP AD = ，12
PN BC = ，MN MP PN =+
即可求证.
【详解】取BD 的中点P ，连接PM ，PN ，
在ABD △中，12MP AD = ，在BCD △中，12
PN BC =
，
所以()
111222
AD BC MN MP P D N A BC =+=+=+ .
3．在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，化简1AF AB BC -+
，并在图中标出化简结果．
【答案】1BE
，作图见解析
【分析】先利用正六棱柱的性质证得11BC F E =
，从而利用空间向量的线性运算即可得解.
【详解】因为六边形ABCDEF 是正六边形，所以//BC EF ，BC EF =，又在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，1111,//E F EF E F EF =，所以1111//,BC E F BC E F =，故11BCE F 是平行四边形，则11BC F E =
，所以111111AF AB BC AF F E AB AE AB BE -+=+-=-= ，向量1BE
在图中标记如下，
4．如图.空间四边形OABC 中，OA a,OB b,OC c === ，点M 在OA 上，且满足2OM MA =
，点N 为BC 的
中点，则MN =
（
）
A ．121232a b c
-+ B ．221332a b c
+-
C ．111222
a b c
+- D ．211322
a b c
-++ 【答案】D
【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.
【详解】()
1221123322
MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++
.
故选：D.
5．如图所示，在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，11111,,A B a A D b A A c ===
，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求证：0EF GH PQ ++=
.
【答案】证明见解析.
【分析】先利用基底,,a b c 表示出,,EF GH PQ ，进而证得0EF GH PQ ++=
成立.
【详解】11111,,A B a A D b A A c ===
，
则111111,,222222EF a b GH a c PQ c b =+=--=-
，
则1111110222
222EF GH PQ b a c c b
⎛⎫⎛⎫++=++--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.6．如图，设A 是BCD △所在平面外的一点，G 是BCD △的重心.求证：()
13
AG AB AC AD =++
.
【答案】证明见解析.
【分析】连接BG ，延长后交CD 于点E ，利用G 是BCD △的重心即可得到AG
与,,AB AC AD 之间的关系.
【详解】连接BG ，延长后交CD 于点E ，连接AE
，
由G 为BCD △的重心，可得CE DE =，=2BG GE
，
则()
=2AG AB AE AG -- ，
则21=33AG AE AB + ，又()
1=2AE AC AD + ，
则()
21111=3223
3AG AC AD AB AB AC AD ⎛⎫++=
++ ⎪⎝⎭
.7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．记AB a =，AD b = ，1AA c =
则下列正
确的是（
）
A ．1122
AM a b c
=-++ B ．1122
AM a b c
=+-
C ．1122
AM a b c
=++ D ．1122
AM a b c
=++ 【答案】C
【分析】利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意可知：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，所以M 为11A C 的中点，则1121122
A M A C AC ==
，
所以1111111122
AM AA A M AA A C AA AC
=+=+=+ 111112222
AA AB AC a b c =++=++ ，
故选：C .
重难点2共线问题
8．设a ，b 是空间中两个不共线的向量，已知9AB m =+ a b ，2BC =-- a b ，2DC =-
a b ，且A ，B ，D 三
点共线，则实数m =；
【答案】3-；
【分析】A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB BD λ= ，再由已知条件表示出BD 与AB
,建立方程组
可求出m 和λ值．
【详解】因为2BC =-- a b ，2DC =-
a b ，
所以()223BD BC CD BC DC =+=-=----=-+
a b a b a b ，
因为A ，B ，D 三点共线，
所以存在实数λ，使得AB BD λ=
，即()93m λ+=-+a b a b ，
所以93m λλ=-⎧⎨=⎩
，解得3m λ==-．
【点睛】本题考查了空间向量中三点共线问题，共线向量定理常常用来解决此问题．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是底面1111D C B A 和侧面11CC D D 的中心，若
()10EF A D λλ+=∈R
，则λ=
．
【答案】1
2
-/－0.5
【分析】作图，连接连接11A C ，1C D ，构造三角形中位线解题﹒
【详解】如图，连接11A C ，1C D ，
则点E 在11A C 上，点F 在1C D 上，
易知1EF A D ，且11
2
EF A D =，∴112EF A D = ，即1102EF A D -= ，∴12
λ=-．
故答案为：1
2
-
10．(多选)若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP
=m OA +n OB ，其中m+n=1，则结论正确的有（
）
A ．P ∈直线AB
B ．P ∉直线AB
C ．O ，A ，B ，P 四点共面
D ．P ，A ，B 三点共线
【答案】ACD
【解析】由题意可得1m n =-，代入向量式化简可得AP nAB =
，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论．
【详解】解:因为1m n +=，所以1n =-，
所以OP
=()1OA B n n O -⋅+⋅ ，
即OP OA -
=n (OB OA - )，
即AP =n AB
，所以AP AB 与共线.又AP AB ，有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB.
因为OP
=m OA +n OB ，故O ，A ，B ，P 四点共面.
故答案为：ACD
【点睛】本题考查平面向量的共线问题，熟练表示出向量共线的条件是解决问题的关键，属中档题．11．已知5a = ，a b λ=
.
（1）若b 与a
的方向相同，且7b = ，则λ的值为；（2）若b 与a
的方向相反，且7b = ，则λ的值为
.
【答案】
57
57
-
【分析】根据向量共线可得答案.
【详解】由于57
a b = ，所以当a ，b 同向时，5
7λ=；
当a ，b 反向时，5
7
λ=-.
故答案为：①
57；②57-.12．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，下列不能与m a b =- ，n b c =-
构成空间的另一个基底的是（
）
A ．a c
- B ．a c
+C ．a b
+
D ．a b c
++ 【答案】A
【分析】根据基底向量任意两向量不共线，三个向量不共面可判断求解.
【详解】由m a b =- ，n b c =- ，两式相加可得a c m n -=+
，即a c -r r 与,m n →→
共面
故a c -r r
不能与m a b =- ，n b c =- 构成空间的另一个基底．
故选：A
13．已知平面单位向量1e ，2e 满足1212
e e ⋅= ，且12a xe e =+
，x R ∈，122(1)b e e λλ=+- ，若使1b a -= 成立的正数λ有且只有一个，则x 的取值范围为.
【答案】{}2/2
x =【分析】由向量的模的计算公式得223310x x λλ-+-=，再根据一元二次方程的根的判别式可求得答案.
【详解】解：12a xe e =+
，x R ∈，122(1)b e e λλ=+- ，
则12||(2)(11)1b a x e e λλ-=-+--= ，所以2
12(2)1x e e λλ--= ，
所以22(2)(2)1x x λλλλ---+=，故223310x x λλ-+-=.由于使||1b a -=
成立的正数λ有且只有一个，
故关于以λ为未知数的一元二次方程有且只有一个正实数根，故()
22
91210x x ∆=--=，
解得2x =±，当2x =-时，0λ<故舍去，则2x =.故x 的范围是唯一一个实数{}2，
故答案为：{}2.
14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 在11A D 上，且112A E ED =
，F 在对角线A 1C 上，且12.
3
A F FC = 若1,,A
B A b c a D AA === .
（1）用,,a b c
表示EB .
（2）求证：E ，F ，B 三点共线.
【答案】（1）23a EB c b =--
；（2）证明见解析.
【分析】（1）由已知得11111
2++++3
EB EA A A AB D A A A AB == ，由此可得答案；（2）由已知得FB 35
EB = ，由此可得证.【详解】解：（1）因为112A E ED =
，1,,AB A b c a D AA === ，所以1111122+++++33
EB EA A A AB D A A b A c a AB ===--
，
所以23
a EB c
b =-- ；
（2）12.
3
A F FC = 11112++++5
FB FA A A AB CA A A AB
== ()
112++++5
CB BA AA A A AB =
()
2++5
b a
c c a =--- 323323555535a b a b c c EB ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭
，又EB 与FB
相交于B ，所以E ，F ，B 三点共线.
15．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且OE kOA = ，OF kOB = ，OH kOD =
，
AC AD m AB =+ ，EG EH mEF =+
，0,0k m ≠≠.
求证：（1）//AC EG
；
（2）OG kOC = .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题意，EG EH mEF =+ ，转化,EH OH OE EF OF OE =-=- ，代入结合题干条件运算即得
证；
（2）由题意，OG OE EG =+
，又,OE kOA EG k AC == ，运算即得证【详解】证明：（1）()
EG EH mEF OH OE m OF OE =+=-+-
()()
k OD OA km OB OA =-+- ()
k AD km AB k AD m AB k AC
=+=+= ∴//AC EG .
（2）()
OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+= .
重难点3向量的共面问题
16．已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若64BD PA PB PC λ=-+
，则λ=（）
A ．2
B ．2-
C ．1
D ．1
-【答案】B
【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.
【详解】64BD PA PB PC λ=-+
，即64PD PB PA PB PC
λ=-+- 整理得63PD PA PB PC
λ=-+
由A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，可得631λ-+=，解之得2λ=-故选：B
17．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，1132
OM xOA OB OC =++
，则x =
．
【答案】
1
6
【分析】根据四点共面的知识列方程，由此求得x .【详解】由于M ∈平面ABC ，所以11
132x +
+=，解得16x =.
故答案为：
1
6
18．已知,,A B M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点,,A B M 是否共面．(1)3OB OM OP OA +=- ；(2)4OP OA OB OM =-- ．【答案】(1)共面(2)不共面
【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
【详解】（1）解：因为,,A B M 三点不共线，可得,,A B M 三点共面，
对于平面ABM 外的任意一点O ，若3OB OM OP OA +=-
，即111333
OP OA OB OM =++ ，
又因为111
1333
++=，根据空间向量的共面定理，可得点P 与,,A B M 共面.
（2）解：因为,,A B M 三点不共线，可得,,A B M 三点共面，
对于平面ABM 外的任意一点O ，若4OP OA OB OM =--
，此时41121--=≠，
根据空间向量的共面定理，可得点P 与,,A B M 不共面．
19．
已知12e e
，为两个不共线的非零向量，且12AB e e =+ ，1228AC e e =+ ，1233AD e e =- ，求证：A B C D ，，，四点共面．
【答案】证明见解析
【分析】用共面向量定理证明,,AC AB AD
共面，即可得四点共面．【详解】设AC x AB y AD =+
，则()()
1212122833e e x e e y e e +=++- ，
()()1223830x y e x y e ∴--+-+= ，又12e e
，为两个不共线的非零向量，230830x y x y --=⎧∴⎨-+=⎩，51
x y =⎧∴⎨=-⎩，5AC AB AD ∴=- ，A B C D ∴，，，四点共面，故原命题得证．
20．i ，j ，k
是三个不共面的向量，22AB i j k =-+ ，23BC i j k =-+ ，35CD i j k λ=+- ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为
.
【答案】-3
【分析】由题知存在实数s ，t ，使得CD sAB tBC =+
，代入条件，比较系数列方程求解.【详解】若A ，B ，C ，D 四点共面，则存在实数s ，t ，使得CD sAB tBC =+
，
即()()
35222-+3i j k s i j k t i j k λ+-=-++ ，所以232-52+3s t
s t s t λ=+⎧⎪
=-⎨⎪-=⎩
，解得1s =-，-1t =，-3λ=.
故答案为：-3.
21．下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（
）
A ．OA O
B O
C OP
++=-uu r uu u r uuu r uu u r B ．OA OB OC OP
++=uu r uu u r uuu r uu u r C ．2OA OB OC OP
++=uu r uu u r uuu r uu u r D ．3OA OB OC OP
++= 【答案】D
【分析】要使空间中的P 、A 、B 、C 四点共面，只需满足OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r
，且1x y z ++=即可.
【详解】对于A 选项，OP OA OB OC =---uu u r uu r uu u r uuu r
，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；
对于B 选项，OP OA OB OC =++
，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；
对于C 选项，111222
OP OA OB OC =++
，111312222
++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；
对于D 选项，111333
OP OA OB OC =++ ，111
1333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.
故选：D.
22．若{a ，b ，c
}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）
A ．b c +
，b ，b c -r r B ．a ，a b + ，a b - C ．a b + ，a b - ，c D ．a b +
，
a b c ++ ，c 【答案】C
【分析】由平面向量基本定理逐项判断可得答案．【详解】由平面向量基本定理得：
对于A 选项，12= b ()
+ b c 12+()
-
b c ，所以()+ b c ，b ，()
- b c 三个向量共面；对于B 选项，12= a ()
+ b a 12
+()a b -
，a ，a b + ，a b - 三个向量共面；对于C 选项，则存在实数,x y 使得
()()
()()=++-=++-
c x a b y a b x y a x y b ，则,,a b c
共面，与已知矛盾，因此C 选项中向量不共面；对于D 选项，
()
++=++ c a b a b c ，所以三个向量共面；故选：C ．
知识点1空间向量的夹角
如图，已知两个非零向量a b ,，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==
，则AOB ∠叫做向量a b ,的夹角，
记作a b ,，
夹角的范围：[]0,π，特别地，如果π2
a b = ,，那么向量a b ,
互相垂直，记作a b ⊥ 知识点2空间向量的数量积运算
1．空间向量的数量积
已知两个非零向量a b ,，则cos ,a b a b 〈〉叫做a b
,的数量积，记作a b ⋅ ，即cos ,a b a b a b ⋅= 〈〉．零向量与任意向量的数量积为0，即00a ⋅=
.
2．数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
()
()
a b a b R
λλλ⋅⋅∈
＝，交换律a b b a ⋅=⋅ 分配律
()a b c a b a c
⋅
⋅⋅ ＋=＋3．投影向量
在空间，向量a 向向量b
投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用
平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，||cos ||
,b
c a a b b =〈〉
，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．4．数量积的性质若a
，b 为非零向量，
则（1）0a b a b ⊥⇔⋅= ；（2）()
()
a b a b a b a b a b ⎧
⎪⋅=⎨-⎪⎩
与同向与反向；（3）2a a a ⋅= ，a a a =⋅
；
（4）a b cos a,b a b
⋅〈〉=
；（5）a b a b
⋅≤ 重难点4空间向量数量积的运算
23．在正四面体-P ABC 中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PD PC ⋅
的值为（
）.
A ．14
-
B ．18
-
C ．12
-
D ．1
2
【答案】D
【分析】在正四面体-P ABC 中，由中点性质可得()
12PD PA PB =+ ，则PD PC ⋅ 可代换为()
12
P PA B C P ⋅+
，
由向量的数量积公式即可求解.
【详解】
如图，因为D 为棱AB 的中点，所以()
12
PD PA PB =
+
，()()
1122
PD PC P P C P A PB PA P C PC B ⋅=⋅⋅⋅+=+ ，
由正四面体得性质，PA 与PC 的夹角为60°，同理PB 与PC
的夹角为60°，1PA PB PC === ，
111cos602
PA PC P PB C ⋅⋅==⨯⨯︒= ，
故
2
1211122PC PD ⎛⎫⋅=⨯+= ⎪⎝⎭ ，故选：D.
24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1
3BB =，E 、F 分别为棱AB 、11A C 的中点，则1EF BB =⋅
.
【答案】9
【分析】分析可知1BB AB ⊥，111BB A C ⊥，利用空间向量数量积的运算性质可求得1EF BB ⋅
的值.
【详解】因为1BB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则1BB AB ⊥，同理可知111BB A C ⊥，
所以，()
11111111
1122EF BB EA AA A F BB BA BB A C BB ⎛⎫⋅=++⋅=++⋅ ⎪⎝⎭
2211111111922
BA BB BB A C BB BB =⋅++⋅==
.故答案为：9.
25．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 上任意一点，则AM BC ⋅ =
.
【答案】1
【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.
【详解】如图，在正方体中，M 为棱1CC 上任意一点，则11CM CC AA λλ==
，01λ≤≤，
()()
2
1001AM BC A AC CM AB AD AA D D AD A λ∴=+⋅=++⋅⋅=++= .
故答案为：1.26．给出下列命题：
①空间中任意两个单位向量必相等；
②若空间向量,a b 满足a b =r r ，则a b = ；③在向量的数量积运算中()()
a b c a c b ⋅=⋅r r r r r r
；
④对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅ ，则a b =
，其中假命题的个数是
．
【答案】4
.【详解】对于①：空间中任意两个单位向量的方向不能确定，故不一定相等，故①错误；
对于②：空间向量,a b 满足a b =r r ，但方向可能不同，故不能得到a b =
，故②错误；
对于③：数量积运算不满足结合律，故③错误；
对于④：由a c b c ⋅=⋅
，可得cos ,cos ,a c a c b c b c <>=<> ，所以cos ,cos ,a a c b b c <>=<> ，无法得到a b =
，故④错误.
所以错误的命题个数为4.故答案为：4
27．已知空间四面体D -ABC 的每条棱长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则FE CD ⋅
等于（
）
A ．
14
B ．14
-
C
D
．【答案】B
【分析】由题意可得2DB FE =
，再利用空间向量的数量积运算即可得到答案.
【详解】因为点,E F 分别是,AB AD 的中点，所以//DB FE ，2DB FE =，所以2DB FE =
，则12
FE DB = ，
又因为空间四面体D -ABC 的每条棱长都等于1，所以DBC △是等边三角形，则60BDC ∠=︒，所以
111cos 60224
FE CD DB DC DB DC ⋅=-⋅=-⋅︒=- .故选：B ．
.
28．设a 、b
为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①22a a = ；②2a b b
a
a
⋅=
；③()
222a b a b ⋅=⋅ ；④()
2222a b a a b b -=-⋅+ .
其中正确的个数为（
）A ．1B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④.【详解】对于①，22
2cos 0a a a == ，①正确；对于②，向量不能作比值，即b
a
错误，②错误；
对于③，设a 、b
的夹角为θ，则()(
)
2
2
2222
2cos cos a b
a b a b a b θ
θ⋅=⋅=⋅≤⋅
，③错误；
对于④，由空间向量数量积的运算性质可得()
2
22
2a b
a a
b b -=-⋅+
，④正确.
故选：B.
【点睛】本题考查利用空间向量数量积的定义与运算性质判断等式的正误，属于基础题.29．已知向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60︒，且1,2,3a b c ===
，试求
(1)()
22a b c +-
；
(2)()()
323a b b c -⋅-
．
【答案】(1)11(2)72
-
【分析】（1）计算30,,32
a b a c b c ⋅=⋅=⋅=
，展开计算得到答案.
（2）
()()
2323333223a b b c a b a c b b c -⋅-=⋅-⋅-+⋅ ，代入计算得到答案.【详解】（1）向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60︒，且1,2,3a b c ===
，22231,4,9,0,cos60,cos6032
a b c a b a c a c b c b c ===⋅=⋅=⋅︒=⋅=⋅︒=
，
()()
22222222241169031211a b c a b c a b a c b c +-+++⋅-⋅-⋅=+++--==
；
（2）()()
2277323333223081822a b b c a b a c b b c -⋅-=⋅-⋅-+⋅=--+=-
30．在三棱锥D ABC -中，已知2AB AD ==，1BC =，3AC BD ⋅=-
，则CD =
【分析】用,AB AD 表示BD
，根据条件列出方程建立,,AC BAC DAC ∠∠的关系，利用等量代换计算
22
||CD AD AC =- 即得.
【详解】设,BAC DAC αβ∠=∠=，显然||||1AC AB BC -==
，
则222||||cos 1AC AB AC AB α+-⋅= ，即24||cos 3AC AC α-=-
，
而3AC BD ⋅=-
，即()3AC AD AB AC AD AC AB ⋅-=⋅-⋅=- ，
于是得2||cos 2||cos 3AC AC βα-=- ，2||cos 32||cos AC AC βα=-+
，
22222||244||cos CD AD AC AD AC AD AC AC AC β=-=+-⋅=+-
2242(32||cos )104||cos 7AC AC AC AC αα=+--+=+-=
，
则有||CD =
，所以CD =.
重难点5用数量积解决夹角问题
31．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长度为4，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.用向量法求：
(1)BD 1的长；
(2)直线BD 1与AC .【答案】(1)
【分析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的运算即得出BD 1的长；
（2）分别求出11||,||,AC BD AC BD ⋅
的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线BD 1与AC 所成角的
余弦值．
【详解】（1）∵111111BD BB B A A D =++
，()
2
2111111
BD BB B A A D =++ 222111111111111111
222BB B A A D BB B A BB A D B A A D =+++⋅+⋅+⋅ 222422242cos 60242cos120222cos 90=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
＝24，
∴1BD
的长为（2）∵AC AB BC =+
，
∴()
2
2222222208AC AB BC
AB BC AB BC =+=++⋅=++=
，
∴AC =
∵1BD =
()()
1111111111111111
24cos12022cos18022cos9024cos1202AC BD AB BC BB B A A D AB BB AB B A AB A D BC BB BC B A BC A D ⋅=+⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯+⨯+
2cos9022cos 08
⨯+⨯=-
，
∴111
cos ,=AC BD AC BD AC BD ⋅⋅
所以直线BD 1与AC
所成角的余弦值为
3
．32．
（多选）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -
，其中AB AD ==11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，下列说法中正确的是（
）
A
．1AC B ．1AC DB
⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC
所成角的余弦值为3
【答案】ABD
【分析】对选项A ，根据11AC AB AD AA =++
，再平方即可判断A 正确，对选项B ，根据
()
110()AC DB AB AD AA AB AD ⋅=++⋅-=
，即可判断B 正确，对选项C ，根据图形即可判断C 错误，对选
项D ，根据空间向量夹角公式即可判断D 正确.
【详解】对选项A ，111AC AB BC CC AB AD AA =++=++
，
则22221111
222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅
221cos 6021cos 4521cos 4511=+++︒+⨯︒+⨯︒=，
所以1AC A 正确；
对选项B ，()
22
1111()AC DB AB AD AA AB AD AB AA AB AA AD AD
⋅=++⋅-=+⋅-⋅-
2112022
=+-⨯-=，所以1AC DB ⊥，故B 正确；对C ，直线AC 与直线1BD 是异面直线，C 错误；
对D ，111BD BA AD DD AB AD AA =++=-++ ，AC AB AD =+
，
1BD
==
AC = ()
221111()BD AC AB AD AA AB AD AB AD AA AB AA AD
⋅=-++⋅+=-++⋅+⋅
2211222
=-+++=，
所以，111cos ,3||BD AC BD AC BD AC ⋅〉===〈
，于是1BD 与AC
所成角的余弦值为3
.故选：ABD
33．已知向量,a b r r 都是空间向量，且π,=3
a b ，则3,4=
a b -
.
【答案】
2π3
【分析】利用向量夹角公式、范围及已知求<3,4>a b -
的大小.
【详解】由题设1cos<,>==2||||a b a b a b ⋅
，
而121cos<3,4>==212||||
a b a b a b -⋅-- ，<3,4>(0,π)a b -∈
，
所以2π<3,4>=3
a b -
.
故答案为：
2π3
34．已知不共面的三个向量,,a b c 都是单位向量，且夹角都是3
π
，则向量a b c -- 和b 的夹角为（
）
A ．
6
πB ．
4
πC ．
34
πD ．
56
π【答案】C
【分析】根据题意计算得a b c --= ()
1a b c b --⋅=-
，进而计算夹角即可得答案.
【详解】解：由题意，得1
1,2
a b c a b a c b c ===⋅=⋅=⋅= ，
所以a b c --
(
)
21
a b c b a b b b c --⋅=⋅--⋅=-
设向量a b c -- 和b 的夹角为θ，则(
)
cos 2a b c b a b c b
θ--⋅==---⋅ ，
又[]0,θπ∈，所以34
π
θ=.故选：C.
35．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，2AB AD ==，11AA
=，点
P 为线段BC 中点．
(1)求1D P ；
(2)求直线1AB 与1D P 所成角的余弦值．【答案】
(1)1D P =
【分析】(1)首先设AB a = ，AD b = ，1AA c =
，得到112
D P a b c =-- ，再平方即可得到答案；
(2)由1AB a c =+
，得1AB = 111111cos ,AB D P AB D P AB D P
⋅=
计算即可.【详解】（1）因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段BC 上，且满足BP PC =．设AB a = ，AD b = ，1AA c =
，这三个向量不共面，{}
,,a b c 构成空间的一个基底．
所以()()
111
D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+ ()
1122a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝
⎭ ．
112D P a b c =-- ，22222111224D P a b c a b c a b a c b c
⎛⎫∴=--=++-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭
1111
441222212141122134222=+⨯+-⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯=++--+=
，
1D P ∴=
（2）由（1）知112
D P a b c =--
，1D P = 1a AB c =+ ，
1AB === ()
11111112cos ,a c a b c AB D P
AB D P AB D P
⎛⎫+⋅-- ⎪⋅∴=
2211322214
a a
b a
c a c b c c
-⋅-⋅+⋅-⋅-== ，直线1AB 与1
D P 所成角的余弦值为
14
．36．如图，二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 和AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂
直于棱l ．若4,6,8,AB AC BD CD ====
α与平面β夹角的余弦值为
．
【答案】
13
【分析】设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++
，从而得到cos α．【详解】解：设平面α与平面β的夹角的度数为α，
由题意得CD CA AB BD =++
，且,CA AB AB BD ⊥⊥ ，即0,0
CA AB AB BD ⋅=⋅= ∴22222||||cos(π)CD CA AB BD CA BD α=+++⋅-
，
2361664268cos α∴=++-⨯⨯⨯，
解得1
cos 3
α=，
∴平面α与平面β的夹角的余弦值为13
．
故答案为：1
3
．
重难点6投影向量
37．
在标准正交基{}
,,i j k 下，已知向量2a i =-+
83j k + ，52b i k =-+ ，则向量2a b + 在i 上的投影为，
在,j k
上的投影之积为
．
【答案】
-12
56
【分析】根据向量的加法求得21287a b i j k +=-++ ，即可得2a b + 在i ，j ，k
上的投影分别为-12，8，7，
即可得答案.
【详解】解：易得21287a b i j k +=-++
，
所以2a b + 在i ，j ，k
上的投影分别为-12，8，7，
其在j ，k
上的投影之积为8756⨯=．
故答案为：-12；56.
38．已知4a = ，向量e 为单位向量， 120a e <>=
，，则空间向量a 在向量e 方向上投影为
．
【答案】2
-【分析】根据投影的定义结合已知条件求解即可.【详解】因为4a = ，向量e
为单位向量， 120a e <>= ，，所以向量a 在向量e 方向上投影为1cos1204()22
a =⨯-=-
．
故答案为：2
-39．如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，已知1AB =，2AD =，3AA '
=，分别求向量AC ' 在AB 、AD 、
AA '
方向上的投影数量．
【答案】向量AC ' 在AB
、AD 、AA ' 方向上的投影数量分别为1、2、3.
【分析】分析可得A AB AD A C A =+'+' ，利用投影数量公式可求得向量AC ' 在AB
、AD 、AA ' 方向上的投
影数量.
【详解】解：非零向量a 在非零向量b
方向上的投影数量为cos ,a b a b a a b a a b b
⋅⋅<>=⋅=⋅
，
由空间向量的平行六面体法则可得A AB AD A C A =+'+'
，
在长方体ABCD A B C D -''''中，0AB AD AB AA AD AA ''⋅=⋅=⋅=
，
因此，向量AC ' 在AB
方向上的投影数量为
()
1AB AD AA AB AC AB AB AB AB
'++⋅'⋅===
，向量AC ' 在AD 方向上的投影数量为()
2AB AD AA AD AC AD
AD AD AD
'++⋅'⋅=
==
，向量AC ' 在AA ' 方向上的投影数量为()
3AB AD AA AA AC AA AA AA AA ''++⋅''
⋅'=
==''
.40．如图，已知PA ⊥平面ABC ，120ABC ∠= ，6PA AB BC ===，则向量PC 在BC
上的投影向量
等于
.
【答案】32
BC
【分析】先求出PC BC ⋅
，再根据投影向量的公式计算即可.
【详解】PA ⊥ 平面ABC ，
则PA BC ⊥，
21
()066654
2
PC BC PA AB BC BC PA BC AB BC BC BC ⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅=+⨯⨯+= 向量PC 在BC 上的投影向量为||PC BC BC ⋅
543.362||BC BC BC BC ⋅==
故答案为：32
BC
.
41．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，向量
AB
在向量11A C
方向上的投影向量的模是
．
【分析】由正方体的性质可得向量AB 与向量11A C 夹角为cos 45 ，先求出
1111
AB A C A C ⋅
的值，进而可得答案.【详解】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中向量AB 与向量11A C 夹角为cos 45
，
所以1111AB A C A C =⋅
111111cos ,cos ,AB A C AB AB A C A B ⋅=
1cos 452
=⨯=
向量AB
在向量11A C 方向上的投影向量是
111111
11AB A C A C A C A C ⋅⨯=
1111
A C A C
向量
AB
在向量11A C
1111
A C A C =
故答案为：
2
42．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，CB AB ⊥，AB BC a ==，PA b =．
(1)确定PC
在平面ABC 上的投影向量，并求⋅ PC AB ；
(2)确定PC 在AB
上的投影向量，并求⋅ PC AB ．
【答案】(1)PC
在平面ABC 上的投影向量为AC ，2PC AB a ⋅= ；
(2)PC 在AB 上的投影向量为AB
，2PC AB a ⋅= .
【分析】（1）根据PA ⊥平面ABC 可得PC
在平面ABC 上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的
定义计算()
AB PC A B B P B C A A =++⋅⋅
的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得PC 在AB
上的投影向量，由数量积的几何意义可得⋅ PC AB 的值.
【详解】（1）因为PA ⊥平面ABC ，所以PC
在平面ABC 上的投影向量为AC ，
因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂面ABC ，可得PA AB ⊥，所以0PA AB ⋅=
，
因为CB AB ⊥，所以0BC AB ⋅=
，
所以
()
PC AB PA AB PA AB AB BC AB BC AB AB =++=+⋅⋅⋅⋅+⋅ 2200a a =++=.
（2）由（1）知：2PC AB a ⋅= ，AB a =r ，
所以PC 在AB
上的投影向量为：
2cos ,AB PC AB AB PC AB AB a AB PC PC AB PC AB a a AB PC AB AB AB AB
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅
=⋅
=⋅
，由数量积的几何意义可得：2
PC AB AB a AB ⋅=⋅= .
重难点7用数量积求线段长度
43．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC 中，若M 是BC 的中点，N 在OM 上且ON MN =，
记OA a = ，OB b = ，OC c =
.
(1)用向量a ，b
，c 表示向量AN ；
(2)若1
3
AP AN =，求OP .
【答案】(1)1144
AN a b c =-++
；
(2)||OP =
【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解即可；
（2）根据空间向量数量积的运算性质和定义、结合空间向量基本定理进行求解即可.【详解】（1）因为M 是BC 的中点，N 在OM 上且ON MN =，
所以
11111()22244
AN AO ON OA OM OA OB OC a b c =+=-+=-+⨯+=-++
；（2）由（1）可知：
1144AN a b c =-++ ，因为1
3
AP AN =，所以1111211()334431212
OP OA AP OA AN OA a b c a b c =+=+=+-++=++
，
而OP = OABC 的棱长为1，
所以OP =
=
44．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，
90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为（
）
A ．5
B ．3C
D
【答案】C 【分析】11AC AB BC CC =++ ，然后平方可算出答案.
【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，∵11AC AB BC CC =++ ，
∴()2
211AC AB BC CC =++ 222111222AB BC CC AB BC AB CC CC BC
=+++⋅+⋅+⋅ 111110*********
=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，
∴1AC =
故选：C.
45．
如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c = ，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，1a b c === ，则用{},,a b c 表示1AC uuu r 及线段1AC 的长为分别为（）
A ．1AC c a b =++ ，15
AC = B ．1AC a b c =+- ，13AC =
C ．1AC c a b =++ ，1AC =
D ．1AC a b c =+- ，1AC =
【答案】C
【分析】用向量的线性运算可直接求得1AC uuu r ；求整体的模长可平方再开根.
【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，∵11AC AB BC CC a b c =++=++ ，
∴()2222111121222AC AB BC CC AB BC CC AB BC AB CC CC BC
=++=+++⋅+⋅+⋅ 111110*********
=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,
∴1AC = 故选:C ．
46．如图，在直三棱柱111—ABC A B C 中，E F G ，，，分别为11A B ，1CC ，1BB 的中点，分别记AB ，AC ，1AA
为a ，b ，c .
(1)用a ，b ，c 表示EF ，EG ；
(2)若12AB AC AA ===，AB AC ⊥，求2EF EG + .
【答案】(1)1122EF a b c -=-+ ；1()2
EG a c -= .
【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示EF ，EG ，111111EF EA A F EA AC C F +=+=+ ，11EG EB B G =+ ，
再转化为a ，b ，c 表示即可；
（2）先把2EF EG + 用a ，b ，c 表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算求得2EF EG + .
【详解】（1）连结1A F .在直三棱柱111—ABC A B C 中，11AB A B a == ，11AC AC b == ，111AA BB CC c === ，则11111111111111122
22EF EA A F EA A C C F A B A C CC a b c ===-+-=+++-+- .11111111()222
EG EB B G A B BB a c =+=--= .（2）如图，在直三棱柱111—ABC A B C 中，1AA ABC ⊥底面，AB ABC ⊂底面，AC ABC ⊂底面，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又AB AC ⊥，
所以10B AA A c a =⋅⋅= ，10C AA A c b =⋅⋅= ，0A A B a C b ⋅⋅== .
1113()22222
a b c a c F G b E a E c -+-++=-=+- ，()2222213193
314912422442a b c a b c a b a c EF EG b c ⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅=++= ⎪⎝⎭
+ ，所以2EF EG +=
47．如图所示，在平行四边形ABCD 中，1AB AC ==，=90ACD ∠︒，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60︒角，则,B D 间的距离等于（）
A B ．1C 2D ．1
【答案】C 【分析】先利用向量的加法可得BD BA AC CD =++ ，等式两边进行平方，可求出24BD = 或22BD = ，从
而可得结果.
【详解】90,0ACD AC CD ∠=︒∴⋅= ,
同理，0AC BA ⋅= ，
又因为AB 与CD 成60︒角，
,60BA CD ∴=︒ 或,120BA CD =︒ ，
AC CD BD BA =++ ，
2222222BD AC CD BA AC BA CD AC CD BA =+++⋅+⋅+⋅ 3211cos ,BA CD =+⨯⨯⨯= 31±，
24BD = 或22BD = ，
2BD = 或BD = 故选：C.
48．平行六面体ABCD A B C D -''''中，4,3,5,9060,AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=''∠='︒︒，则AC '的长为（
）A ．10
B C D
【答案】B
【分析】由AC AB AD AA '=++' ，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．【详解】如图，
216AB = ，29AD = ，225AA '= ，43cos 900AB AD ⋅=⨯⨯︒= ，
45cos 6010AB AA ⋅'=⨯⨯︒= ，1535cos 602
AD AA ⋅'=⨯⨯︒= ． AC AB AD AA '=++'
，∴2222222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA '=++'+⋅+⋅'+⋅'
1516925202102852=+++⨯+⨯+⨯=，
∴||AC '=
即AC '
故选：B ．
49．棱长为2的正方体中，E ，F 分别是1DD ，DB 的中点，G 在棱CD 上，且1
3
CG CD =，H 是1C G
的中点．(1)求1cos ,EF C G ．
(2)求FH 的长．
【答案】
15
3
【分析】（1）将1,EF C G 分别用1,,DA DC DD 表示，再根据数量积的运算律分别求出11
,,EF C G EF C G ⋅ ，再根据111cos ,EF C G EF C G EF C G
⋅= 即可得解；（2）将FH 用1,,DA DC DD 表示，再根据数量积的运算律即可得解.【详解】（1）由题意，
()
11122
EF ED DF DD DA DC =+=-++ ，11113C G C C CG DD DC =+=-- ，则
EF =
=
==
1C G ，()111111223EF C G DD DA DC DD DC ⎡⎤⎛⎫⋅=-++⋅-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
22111111111142626263
DD DD DC DD DA DA DC DD DC DC =+⋅-⋅-⋅-⋅-= ，
所以11143cos ,EF C G EF C G EF C G ⋅= （2）()11111122
FH FB BC CC C H DA DC DA DD C G =+++=+-++ ()
11111223DA DC DA DD DD DC ⎛⎫=+-++-- ⎪⎝⎭
1111232DA DC DD =-++ ，
所以FH =
3
=，所以FH
.。