4.4对数函数第一课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义

第四章 指数函数与对数函数
4.4对数函数 第1课时对数函数的概念
【课程标准】
1. 理解对数函数的概念、图像及性质。

2. 会解与对数函数有关的定义域、值域、比较大小等问题
【知识要点归纳】
1. 对数函数的概念
一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞) 2.对数函数的图像和性质
定义 形如log a y x =（a 0>且1a ≠）的函数叫做对数函数
定义域 ()0,+∞ 值域
(),-∞+∞
图像
【经典例题】
()()()()242213log 2log 3log 4log (1).(5)log 1
x y x y x y y x y x =+＝；＝；
＝5；＝＋
[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为 。

（2）若对数函数y ＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2x
B ．y ＝2log 4x
C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4x
D ．不确定
注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须严格满足以下条件： (1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
例2求下列函数的定义域.
(1)y＝log a(3－x)＋log a(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x).
[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．
(1)y＝3
log2x；(2)y＝log0.5(4x－3)；
(3)y＝log0.5(4x－3)－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．
注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
例3画出函数y＝lg|x－1|的图象.
例4 （1）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )
(2)函数y ＝log a (x ＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
[跟踪训练] 3 （1） 已知a>0，且a≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x)的图象只能是( )
(2)221
log 21
x y x -=+-图象恒过定点坐标是________．
注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a>1，还是0<a<1.
(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，－1. 【当堂检测】
一．选择题（共5小题）
1．下列函数是对数函数的是( ) A ．3log (1)y x =+
B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠
C ．y lnx =
D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且
2．函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，则1
()8
f 等于( )
A ．3
B ．3-
C ．3log 6-
D ．3log 8-
3．函数1
()(2)3
f x l
g x x =-+-的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(3,)+∞
C ．[2，3)(3⋃，)+∞
D ．(2，3)(3⋃，
)+∞
4．函数()(24)x f x ln =-的定义域是( ) A ．(0,2)x ∈
B ．(0x ∈，2]
C ．[2x ∈，)+∞
D ．(2,)x ∈+∞
5．已知1
3
2a =，21
()3
b =，21log 2
c =，则( )
A ．c a b <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
二．填空题（共3小题）
6．已知45a ln =，22
()3
b =，0.15
c =，将a 、b 、c 由小到大的顺序排列为 ．
7．已知log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图象上，则()f x = ．
8．已知函数()||f x lgx =，实数a ，()b a b ≠满足f （a ）f =（b ），则ab 的值为 ． 三．解答题（共1小题） 9．设函数2()(2)f x lg x x a =-+． （1）求函数()f x 的定义域A ；
（2）若对任意实数m ，关于x 的方程()f x m =总有解，求实数a 的取值范围．
当堂检测答案
一．选择题（共5小题）
1．下列函数是对数函数的是( )
A ．3log (1)y x =+
B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠
C ．y lnx =
D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且
【分析】根据对数函数的定义即可得出．
【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有y lnx =为对数函数． 故选：C ．
【点评】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，则1
()8
f 等于( )
A ．3
B ．3-
C ．3log 6-
D ．3log 8-
【分析】由对数函数定义推导出2()log f x x =，由此能求出1
()8
f ．
【解答】解：函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，
∴25101a a a a ⎧+-=⎪
>⎨⎪≠⎩，解得2a =， 2()log f x x ∴=，
211
()388
f lo
g ∴==-．
故选：B ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．
3．函数1
()(2)3
f x l
g x x =-+-的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(3,)+∞
C ．[2，3)(3⋃，)+∞
D ．(2，3)(3⋃，
)+∞
【分析】令对数的真数2x -大于0；分母3x -非0，列出不等式组，求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，需满足 20
30x x ->⎧⎨
-≠⎩
解得2x >且3x ≠ 故选：D ．
【点评】求函数的定义域：常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0；对数的真数大于0底数大于0且不等于1；分母不为0等．注意函数的定义域一定以集合形式或区间形式表示． 4．函数()(24)x f x ln =-的定义域是( ) A ．(0,2)x ∈
B ．(0x ∈，2]
C ．[2x ∈，)+∞
D ．(2,)x ∈+∞
【分析】可看出，要使得函数()f x 有意义，则需满足240x ->，解出x 的范围即可．
【解答】解：要使()f x 有意义，则：240x ->； 2x ∴>；
()f x ∴的定义域为(2,)+∞．
故选：D ．
【点评】考查函数定义域的定义及求法，指数函数的单调性． 5．已知1
3
2a =，21
()3
b =，21log 2
c =，则( )
A ．c a b <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
【分析】利用指数式和对数式的性质，比较三个数与0或1的大小得答案． 【解答】解：1023
1
221()03a b =>=>=>，
2
1
log 102
c ==-<， c b a ∴<<．
故选：C ．
【点评】本题考查对数值的大小比较，关键是注意利用0和1为媒介，是基础题． 二．填空题（共3小题）
6．已知45a ln =，22
()3b =，0.15c =，将a 、b 、c 由小到大的顺序排列为 a b c << ．
【分析】由20.142
0,0()1,5153
ln <<<>，即可得出a ，b ，c 的大小关系．
【解答】解：
4105ln ln <=，22
0()13
<<，0.10551>=， a b c ∴<<．
故答案为：a b c <<．
【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 7．已知log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图象上，则()f x = 2x ．
【分析】求出定点(1,2)P ，代入指数函数中，求出a ，得到()f x ．
【解答】解：由a 的任意性，1x =时，2y =，故log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点(1,2)P ，
把(1,2)P 代入指数函数()x f x a =，0a >且1a ≠，得2a =，
所以()2x f x =， 故答案为：2x ．
【点评】考查对数函数的定点问题，和求指数函数的解析式，基础题．
8．已知函数()||f x lgx =，实数a ，()b a b ≠满足f （a ）f =（b ），则ab 的值为 1 ． 【分析】由已知条件a b ≠，不妨令a b <，又y lgx =是一个增函数，且f （a ）f =（b ），故可01a b <<<，则lga lgb =-，由此可得ab 的值． 【解答】解：f （a ）f =（b ）
， ||||lga lgb ∴=．
不妨设0a b <<，则由题意可得01a b <<<， lga lgb ∴=-，0lga lgb +=， ()0lg ab ∴=， 1ab ∴=，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考查对数函数单调性的应用，属于基础题． 三．解答题（共1小题） 9．设函数2()(2)f x lg x x a =-+． （1）求函数()f x 的定义域A ；
（2）若对任意实数m ，关于x 的方程()f x m =总有解，求实数a 的取值范围．
【分析】（1）由真数大于0，可得222(1)10x x a x a -+=-+->，对a 分类讨论即可求得定义域；
11 （2）对任意实数m R ∈，方程()f x m =总有解，等价于函数2()(2)f x lg x x a =-+的值域为R ，由△0即可求得a 的取值范围．
【解答】解：（1）由2()(2)f x lg x x a =-+有意义，
可得222(1)10x x a x a -+=-+->，
当1a >时，()f x 的定义域为A R =；
当1a =时，()f x 的定义域为{|1}A x x =≠；
当1a <时，()f x
的定义域为{11A x x x =+<．
（2）对任意实数m R ∈，方程()f x m =总有解，
等价于函数2()(2)f x lg x x a =-+的值域为R ，
即22t x x a =-+能取遍所有正数即可，
所以△440a =-，1a ，
实数a 的取值范围(-∞，1]．
【点评】本题主要考查函数的定义域与值域，考查对数函数的性质，属于中档题，。