培优课与球有关的切接问题课件-高三上学期数学一轮总复习
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培优课
与球有关的切接问题
1.球心的相关性质
(1)球心到球面上各点的距离相等;
(2)球的截面是圆面,
(3)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面,
(4)过截面圆圆心作截面的垂线必经过球心.
2.球的切、接问题的常用结论
(1)长、宽、高分别为 a,b,c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即 + + =2R.
A.[18, ]
B.[ , ]
C.[ , ]
)
D.[18,27]
解析:如图,设该球的球心为 O,半径为 R,
正四棱锥的底边长为 a,高为 h,依题意,得 36π= πR 3,解得 R=3.
由题意及图可得
=
+(
) ,
=
2
所以正四棱锥的体积 V= a h= (2l - )·
所以 V′= l - = l (4- )(3≤l≤3
[拓展演练] 在封闭的直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,
AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(
A.4π
B.
C.6π
D.
)
解析:要使球的体积 V 最大,必须使球的半径 R 最大.
由题意知当球与直三棱柱的上、下底面都相切时,球的半径为 R=,
2
2
2
a,
(1)等体积法:若几何体各个面都与球相切,则可以内切球球心为顶点,将几何体分成多个棱
锥,几何体的体积 V= (S1+S2+…+Sn)r 内,所以 r 内=
.
表面积
(2)轴截面法:
第一步,首先画出球及它的内切圆柱、圆锥、圆台等几何体,它们公共的轴截
面;
第二步,然后寻找几何体与几何体之间元素的关系.
3
从而三棱锥 D-ABC 外接球的体积 V= πR =
答案:(2)
.
外接球的球心问题
[典例 2] 三棱锥 P-ABC 中,△PAC 是边长为 2
则该三棱锥的外接球的体积为
解析:由题意,等边△PAC 的高为 h=2
在△ABC 中,cos∠ABC=
+
-
· ·
的等边三角形,AB=BC=2,平面 PAC⊥平面 ABC,
(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.
No
Image
墙角模型
(3)正四面体 P-ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长 a= ,如图 3 所示.
(4)若三棱锥的对棱两两相等（等腰四面体）,则可将其放入某个长方体内,
如图4所示.
[拓展演练] (1)(2022·陕西咸阳一模)已知正四面体S-ABC的外接球表面积为
相等，则外接球的球心位于这条垂线上，可利用勾股定理求出外接球半径。
正四面体内切球的半径为球心到正四面体各面的距离。
正四面体的内切球半径等于其外接正方体对角线的六分之一
正四面体和正方体有着相同的外接球。
2.普通棱锥的外接球：
对于普通棱锥来说，底面不是正多边形，也没有底面正多边形的中心的概念，但底面多边形
慢慢地气球就与木棍轻轻接触相切。
二、棱锥的外接球：
1．正四面体的外接球与内切球：
当正三棱锥的侧棱与底边相等时，构成正四面体。
正四面体外接球和内切球
如图,设正四面体的棱长为 a,内切球的半径为 r,外接球的半径为 R,
取 AB 的中点为 D,连接 CD,SD,SE 为正四面体的高,在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC
CD=4,AB=2
,则球 O 的表面积为(
A.28π
B.30π
C.32π
D.36π
)
解析:由于B处的三条棱两两垂直,可以把三棱锥补成长方体,设球O半径为R,
则(2R)2=BC2+BD2+AB2=CD2+AB2=28,
所以球表面积S=4πR2=28π.
故选A.
常见的构造长方体模型
(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示.
同样也适用于三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：补成正方体、补成长方体
(2)球(半径为 R)与正方体(棱长为 a)有以下三种特殊情形:
一、球内切于正方体,此时 2R=a;
正方体盒子里吹气球，会得到与
正方体放进气球里，气球放气，
6个面相切的内切球。
可得与8个顶点相接的外接球
12条木棍组成一个正方体框架，在里面吹气球，
6π,则正四面体S-ABC 的体积为(
A.
C.
B.
)
D.
解析:(1)设外接球半径为 R,则 S=4πR2=6π,
解得 R= ,将正四面体 S-ABC 补成正方体,知正四面体的棱为正方体的面对角线,
则正四面体 S-ABC 的外接球即为正方体的外接球,
则正方体的体对角线等于外接球的直径,设正方体的棱长为 a,则 3a2=6,解得 a= ,故该
在三棱锥 D-ABC 中,AB=AC=DB=DC=2,AD=BC= .
将三棱锥 D-ABC 放入长方体中,设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,
三棱锥 D-ABC 外接球的半径为 R,
2
2
2
2
2
2
则 a +b =4,b +c =4,a +c =2,
2
2
2
所以 a +b +c =5,
所以 R= + + = ,
,
),令 V′=0,得 l=2
<l≤3
所以该正四棱锥的体积的取值范围是[ , ].故选 C.
,3
时,V= .
]上单调递减,
与球有关的最值问题,主要涉及球的半径这个基本量,
当半径有明显的几何意义时,可以根据垂线段最短、两点之间线段最短等几
何意义求解;
当没有明显的几何意义时应该考虑建立函数、不等式模型求解.
过正三棱柱的一条侧棱 AA1 和它们的球心作截面,
设正三棱柱底面边长为 a,则 A1E1= a,D1E1= A1E1= a,A1D1= A1E1= a,则 R2=D1E1= a,
在 Rt△A1D1O 中有
所以 S1∶S2=
∶
答案:(2)5∶1
=A1
+
=5∶1.
=(
a) +( a) = a ⇒R1=
.
=-,
C
∠
则 sin∠ABC= ,则△ABC 外接圆半径为·
=2,
设 O1,O2 分别是△PAC,△ABC 的外心,则 O2A=2,
设 O 是三棱锥 P-ABC 的外接球的球心,R 是外接球的半径,则 OO2=1,
所以 R2=OA2=A
2 2
+O =2 +1 =5,所以 R= ,
2
2
2
当球心 O 不在线段 MM´上时,R =4 +OM´ =3 +(1+OM´) ,解得 OM´=3,
所以 R2=25,所以该球的表面积为 4πR2=100π.故选 A.
=3, × ×4
=4.
和4
,
内切球的球心问题
[典例 3] (1)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,O 是正方形 ABCD 的中心,PO⊥底面 ABCD,PA= ,AB=2,
所以三棱锥的外接球的体积为 V=
P
sin =3,等边△PAC 的外接圆半径为 r= ×3=2,
=
.
B
O1
O
D
O2
A
[拓展演练] (2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为 1,上、下底面边长分别为 3
其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(
)
A.100π
B.128π
C.144π
D.192π
因为以 O 为球心的球面与平面 BCD 的交线和 CD 相切,则切点为点 M,则球 O 的半径为
OM=
+
= a,
因此,球 O 的体积是 V= π×(
)
3
= πa .故选 D.
(2)如图,在圆柱 O1O2 内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱 O1O2 的体
积为 V1,球 O 的体积为 V2,则 的值是
依然有外接圆圆心（外心），底面多边形的外心到底面各顶点的距离都相等，故过底面多边
形的外心作底面的垂线即可。
球心位置推广：过底面多边形的外心作底面的垂线，则垂线上任一点到多边形各顶点的距离
都相等，则外接球的球心位于这条垂线上，可利用勾股定理求出外接球半径。
两个类型：
No
Image
构造法
[典例 1] 已知三棱锥 A-BCD 的四个顶点都在球 O 的球面上,若 AB⊥平面 BCD,∠CBD=90°,
所以 4r=
3
.解得 r= . 则四棱锥 P-ABCD 内切球的体积 V= πr =
.故选 B.
(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上,又球O2与此三棱柱的5个面都相切,求球O1与球O2
的表面积之比为
.
解析:(2)先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系.如图所示.
由题意可得两球的球心 O1,O2 是重合的,
正四面体的体积为( ) -4× ×× × × =
3
.故选 A.
答案:(1)A
(2)在△ABC 中,AB=AC=2,cos A= ,将△ABC 绕 BC 旋转至△BCD 的位置,使得 AD= ,如图所示,
则三棱锥 D-ABC 外接球的体积为
.
2
2
2
解析:(2)在△ABC 中,由余弦定理得 BC =2 +2 -2×2×2× ,所以 BC= .
解析:由题意,得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为 × ×3
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为 M,M´,连接 MM´,则 MM´=1,
其外接球的球心 O 在直线 MM´上.设球 O 的半径为 R,
2
2
当球心 O 在线段 MM´上时,R =3 +O
2
2
2
2
2
=4 +(1-OM) ,解得 OM=4(舍去);
当球与直三棱柱的三个侧面相切时,球的半径为 R=2,
C
因此直三棱柱里面放置的球体积最大时,球的半径只能为 R= ,
A
B1
所以球的最大体积为 V= πR3= π( )3= .故选 B.
因为 AE⊥平面 BCD,所以 OF⊥平面 BCD,因为 BE⊂平面 BCD,所以 AE⊥BE,
正△BCD 的外接圆半径为 BE=
所以 AE=
-
=
ห้องสมุดไป่ตู้
= a,
a,所以 OF=AE= a,且 BF=EF=EM,
故 FM=BE= a,因为△BCD 为等边三角形,M 为 CD 的中点,则 BM⊥CD,
相切,则球O的体积是(
3
A. πa
B.
)
3
πa
C.
3
πa
D.
3
πa
解析:(1)设点 A 在平面 BCD 内的射影为点 E,则 E 为△BCD 的中心,
取 CD 的中点 M,连接 BM,则 E∈BM,取线段 BE 的中点 F,连接 OF,OM,
因为 O,F 分别为 AB,BE 的中点,所以 OF
AE,
.
解析:(2)设圆柱内切球的半径为 R,则由题设可得圆柱 O1O2 的底面圆的半径为 R,高为 2R,
故 =
·
答案:(2)
= .
球切、接中的最值问题
[典例 4] (2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为 l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 36π,
且 3≤l≤3
,则该正四棱锥体积的取值范围是(
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
[拓展演练] (1)正四面体A-BCD的棱长为a,O是棱AB的中点,以O为球心的球面与平面BCD的交线和CD
相切,则球O的体积是(
3
A. πa
)
3
B. πa
3
C. πa
3
D. πa
[拓展演练] (1)正四面体A-BCD的棱长为a,O是棱AB的中点,以O为球心的球面与平面BCD的交线和CD
所以当 3≤l<2
3
时,V′>0;当 2
所以函数 V= (2- )(3≤l≤3
所以，当 l=2
时,
=
解得
= ( - ) + ( ) ,
=
2
3
)在[3,2
=
,
(2- ) (3≤l≤3
),
,
时,V′<0,
)上单调递增,在(2
= ，又当 l=3 时,V= ，当 l=3
相切,圆心在高 SE 上的圆.
因为正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为 O.
此时,CO=OS=R,OE=r,SE= a,CE= a,
2
2
2
则有 R+r= a,R -r =|CE| = ,解得 R= a,r= a.
正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
球心位置：若底面为正多边形，则过正多边形的中心作底面的垂线，则垂线上任一点到正多边形各顶点的距离都
则四棱锥 P-ABCD 内切球的体积为(
)
A.
C.
B.
D.
解析:(1)由 PO⊥底面 ABCD,PA= ,AB=2,O 是正方形 ABCD 的中心,
所以 AO= .则 OP= -
=
.所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V= S 四边形 ABCD·OP=
.
设四棱锥 P-ABCD 内切球半径为 r,所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V= ·(S 四边形 ABCD+S △ABP+S △ADP+S △BCP+S△CDP)·r,
与球有关的切接问题
1.球心的相关性质
(1)球心到球面上各点的距离相等;
(2)球的截面是圆面,
(3)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面,
(4)过截面圆圆心作截面的垂线必经过球心.
2.球的切、接问题的常用结论
(1)长、宽、高分别为 a,b,c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即 + + =2R.
A.[18, ]
B.[ , ]
C.[ , ]
)
D.[18,27]
解析:如图,设该球的球心为 O,半径为 R,
正四棱锥的底边长为 a,高为 h,依题意,得 36π= πR 3,解得 R=3.
由题意及图可得
=
+(
) ,
=
2
所以正四棱锥的体积 V= a h= (2l - )·
所以 V′= l - = l (4- )(3≤l≤3
[拓展演练] 在封闭的直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,
AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(
A.4π
B.
C.6π
D.
)
解析:要使球的体积 V 最大,必须使球的半径 R 最大.
由题意知当球与直三棱柱的上、下底面都相切时,球的半径为 R=,
2
2
2
a,
(1)等体积法:若几何体各个面都与球相切,则可以内切球球心为顶点,将几何体分成多个棱
锥,几何体的体积 V= (S1+S2+…+Sn)r 内,所以 r 内=
.
表面积
(2)轴截面法:
第一步,首先画出球及它的内切圆柱、圆锥、圆台等几何体,它们公共的轴截
面;
第二步,然后寻找几何体与几何体之间元素的关系.
3
从而三棱锥 D-ABC 外接球的体积 V= πR =
答案:(2)
.
外接球的球心问题
[典例 2] 三棱锥 P-ABC 中,△PAC 是边长为 2
则该三棱锥的外接球的体积为
解析:由题意,等边△PAC 的高为 h=2
在△ABC 中,cos∠ABC=
+
-
· ·
的等边三角形,AB=BC=2,平面 PAC⊥平面 ABC,
(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.
No
Image
墙角模型
(3)正四面体 P-ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长 a= ,如图 3 所示.
(4)若三棱锥的对棱两两相等（等腰四面体）,则可将其放入某个长方体内,
如图4所示.
[拓展演练] (1)(2022·陕西咸阳一模)已知正四面体S-ABC的外接球表面积为
相等，则外接球的球心位于这条垂线上，可利用勾股定理求出外接球半径。
正四面体内切球的半径为球心到正四面体各面的距离。
正四面体的内切球半径等于其外接正方体对角线的六分之一
正四面体和正方体有着相同的外接球。
2.普通棱锥的外接球：
对于普通棱锥来说，底面不是正多边形，也没有底面正多边形的中心的概念，但底面多边形
慢慢地气球就与木棍轻轻接触相切。
二、棱锥的外接球：
1．正四面体的外接球与内切球：
当正三棱锥的侧棱与底边相等时，构成正四面体。
正四面体外接球和内切球
如图,设正四面体的棱长为 a,内切球的半径为 r,外接球的半径为 R,
取 AB 的中点为 D,连接 CD,SD,SE 为正四面体的高,在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC
CD=4,AB=2
,则球 O 的表面积为(
A.28π
B.30π
C.32π
D.36π
)
解析:由于B处的三条棱两两垂直,可以把三棱锥补成长方体,设球O半径为R,
则(2R)2=BC2+BD2+AB2=CD2+AB2=28,
所以球表面积S=4πR2=28π.
故选A.
常见的构造长方体模型
(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示.
同样也适用于三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：补成正方体、补成长方体
(2)球(半径为 R)与正方体(棱长为 a)有以下三种特殊情形:
一、球内切于正方体,此时 2R=a;
正方体盒子里吹气球，会得到与
正方体放进气球里，气球放气，
6个面相切的内切球。
可得与8个顶点相接的外接球
12条木棍组成一个正方体框架，在里面吹气球，
6π,则正四面体S-ABC 的体积为(
A.
C.
B.
)
D.
解析:(1)设外接球半径为 R,则 S=4πR2=6π,
解得 R= ,将正四面体 S-ABC 补成正方体,知正四面体的棱为正方体的面对角线,
则正四面体 S-ABC 的外接球即为正方体的外接球,
则正方体的体对角线等于外接球的直径,设正方体的棱长为 a,则 3a2=6,解得 a= ,故该
在三棱锥 D-ABC 中,AB=AC=DB=DC=2,AD=BC= .
将三棱锥 D-ABC 放入长方体中,设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,
三棱锥 D-ABC 外接球的半径为 R,
2
2
2
2
2
2
则 a +b =4,b +c =4,a +c =2,
2
2
2
所以 a +b +c =5,
所以 R= + + = ,
,
),令 V′=0,得 l=2
<l≤3
所以该正四棱锥的体积的取值范围是[ , ].故选 C.
,3
时,V= .
]上单调递减,
与球有关的最值问题,主要涉及球的半径这个基本量,
当半径有明显的几何意义时,可以根据垂线段最短、两点之间线段最短等几
何意义求解;
当没有明显的几何意义时应该考虑建立函数、不等式模型求解.
过正三棱柱的一条侧棱 AA1 和它们的球心作截面,
设正三棱柱底面边长为 a,则 A1E1= a,D1E1= A1E1= a,A1D1= A1E1= a,则 R2=D1E1= a,
在 Rt△A1D1O 中有
所以 S1∶S2=
∶
答案:(2)5∶1
=A1
+
=5∶1.
=(
a) +( a) = a ⇒R1=
.
=-,
C
∠
则 sin∠ABC= ,则△ABC 外接圆半径为·
=2,
设 O1,O2 分别是△PAC,△ABC 的外心,则 O2A=2,
设 O 是三棱锥 P-ABC 的外接球的球心,R 是外接球的半径,则 OO2=1,
所以 R2=OA2=A
2 2
+O =2 +1 =5,所以 R= ,
2
2
2
当球心 O 不在线段 MM´上时,R =4 +OM´ =3 +(1+OM´) ,解得 OM´=3,
所以 R2=25,所以该球的表面积为 4πR2=100π.故选 A.
=3, × ×4
=4.
和4
,
内切球的球心问题
[典例 3] (1)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,O 是正方形 ABCD 的中心,PO⊥底面 ABCD,PA= ,AB=2,
所以三棱锥的外接球的体积为 V=
P
sin =3,等边△PAC 的外接圆半径为 r= ×3=2,
=
.
B
O1
O
D
O2
A
[拓展演练] (2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为 1,上、下底面边长分别为 3
其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(
)
A.100π
B.128π
C.144π
D.192π
因为以 O 为球心的球面与平面 BCD 的交线和 CD 相切,则切点为点 M,则球 O 的半径为
OM=
+
= a,
因此,球 O 的体积是 V= π×(
)
3
= πa .故选 D.
(2)如图,在圆柱 O1O2 内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱 O1O2 的体
积为 V1,球 O 的体积为 V2,则 的值是
依然有外接圆圆心（外心），底面多边形的外心到底面各顶点的距离都相等，故过底面多边
形的外心作底面的垂线即可。
球心位置推广：过底面多边形的外心作底面的垂线，则垂线上任一点到多边形各顶点的距离
都相等，则外接球的球心位于这条垂线上，可利用勾股定理求出外接球半径。
两个类型：
No
Image
构造法
[典例 1] 已知三棱锥 A-BCD 的四个顶点都在球 O 的球面上,若 AB⊥平面 BCD,∠CBD=90°,
所以 4r=
3
.解得 r= . 则四棱锥 P-ABCD 内切球的体积 V= πr =
.故选 B.
(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上,又球O2与此三棱柱的5个面都相切,求球O1与球O2
的表面积之比为
.
解析:(2)先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系.如图所示.
由题意可得两球的球心 O1,O2 是重合的,
正四面体的体积为( ) -4× ×× × × =
3
.故选 A.
答案:(1)A
(2)在△ABC 中,AB=AC=2,cos A= ,将△ABC 绕 BC 旋转至△BCD 的位置,使得 AD= ,如图所示,
则三棱锥 D-ABC 外接球的体积为
.
2
2
2
解析:(2)在△ABC 中,由余弦定理得 BC =2 +2 -2×2×2× ,所以 BC= .
解析:由题意,得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为 × ×3
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为 M,M´,连接 MM´,则 MM´=1,
其外接球的球心 O 在直线 MM´上.设球 O 的半径为 R,
2
2
当球心 O 在线段 MM´上时,R =3 +O
2
2
2
2
2
=4 +(1-OM) ,解得 OM=4(舍去);
当球与直三棱柱的三个侧面相切时,球的半径为 R=2,
C
因此直三棱柱里面放置的球体积最大时,球的半径只能为 R= ,
A
B1
所以球的最大体积为 V= πR3= π( )3= .故选 B.
因为 AE⊥平面 BCD,所以 OF⊥平面 BCD,因为 BE⊂平面 BCD,所以 AE⊥BE,
正△BCD 的外接圆半径为 BE=
所以 AE=
-
=
ห้องสมุดไป่ตู้
= a,
a,所以 OF=AE= a,且 BF=EF=EM,
故 FM=BE= a,因为△BCD 为等边三角形,M 为 CD 的中点,则 BM⊥CD,
相切,则球O的体积是(
3
A. πa
B.
)
3
πa
C.
3
πa
D.
3
πa
解析:(1)设点 A 在平面 BCD 内的射影为点 E,则 E 为△BCD 的中心,
取 CD 的中点 M,连接 BM,则 E∈BM,取线段 BE 的中点 F,连接 OF,OM,
因为 O,F 分别为 AB,BE 的中点,所以 OF
AE,
.
解析:(2)设圆柱内切球的半径为 R,则由题设可得圆柱 O1O2 的底面圆的半径为 R,高为 2R,
故 =
·
答案:(2)
= .
球切、接中的最值问题
[典例 4] (2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为 l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 36π,
且 3≤l≤3
,则该正四棱锥体积的取值范围是(
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
[拓展演练] (1)正四面体A-BCD的棱长为a,O是棱AB的中点,以O为球心的球面与平面BCD的交线和CD
相切,则球O的体积是(
3
A. πa
)
3
B. πa
3
C. πa
3
D. πa
[拓展演练] (1)正四面体A-BCD的棱长为a,O是棱AB的中点,以O为球心的球面与平面BCD的交线和CD
所以当 3≤l<2
3
时,V′>0;当 2
所以函数 V= (2- )(3≤l≤3
所以，当 l=2
时,
=
解得
= ( - ) + ( ) ,
=
2
3
)在[3,2
=
,
(2- ) (3≤l≤3
),
,
时,V′<0,
)上单调递增,在(2
= ，又当 l=3 时,V= ，当 l=3
相切,圆心在高 SE 上的圆.
因为正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为 O.
此时,CO=OS=R,OE=r,SE= a,CE= a,
2
2
2
则有 R+r= a,R -r =|CE| = ,解得 R= a,r= a.
正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
球心位置：若底面为正多边形，则过正多边形的中心作底面的垂线，则垂线上任一点到正多边形各顶点的距离都
则四棱锥 P-ABCD 内切球的体积为(
)
A.
C.
B.
D.
解析:(1)由 PO⊥底面 ABCD,PA= ,AB=2,O 是正方形 ABCD 的中心,
所以 AO= .则 OP= -
=
.所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V= S 四边形 ABCD·OP=
.
设四棱锥 P-ABCD 内切球半径为 r,所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V= ·(S 四边形 ABCD+S △ABP+S △ADP+S △BCP+S△CDP)·r,