弹性力学100题

一、单项选择题
1.弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。

A ．相容方程
B ．近似方法
C ．边界条件
D ．附加假定
2.根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。

A ．几何上等效
B ．静力上等效
C ．平衡
D ．任意
3.弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。

A ．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同
B ．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同
C ．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同
D ．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同
4.不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（ A ）
①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；
④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。

A. ①②④
B. ②③④
C. ①②③
D. ①②③④
5.如下图1所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。

① I 单元的整体编码为162
② II 单元的整体编码为426
③ II 单元的整体编码为246
④ III 单元的整体编码为243
⑤ IV 单元的整体编码为564
图1
A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ③⑤ 6.平面应变问题的微元体处于（ C ）
A.单向应力状态
B.双向应力状态
C.三向应力状态，且z 是一主应力
D.纯剪切应力状态
7.圆弧曲梁纯弯时，（ C ）
A.应力分量和位移分量都是轴对称的 4635
21I III II IV
B.应力分量和位移分量都不是轴对称的
C.应力分量是轴对称的，位移分量不是轴对称的
D.位移分量是轴对称的，应力分量不是轴对称的
8.下左图2中所示密度为ρ的矩形截面柱，应力分量为：0,,0=+==xy y x B Ay τσσ对图（a ）和图(b)两种情况由边界条件确定的常数A 及B 的关系是（ C ）
A.A 相同，B 也相同
B.A 不相同，B 也不相同
C.A 相同，B 不相同
D.A 不相同，B 相同
图 2 图 3
9、上右图3示单元体剪应变γ应该表示为（ B ）
10、设有平面应力状态x ay dx dy cx by ax xy y x γτσσ---=+=+=,,，其中，d c b a ,,,均为常数，γ为容重。

该应力状态满足平衡微分方程，其体力是（ D ）
A.0,0==Y X
B.0,0=≠Y X
C.0,0≠≠Y X
D.0,0≠=Y X
11、函数4224),(cy y bx ax y x ++=Φ如作为应力函数，各系数之间的关系是（ B ）
A.各系数可取任意值
B.)(3c a b +-=
C.c a b +=
D.0=++c b a
12、对于承受均布荷载的简支梁来说，弹性力学解答与材料力学解答的关系是（ C ）
A.x σ的表达式相同
B.y σ的表达式相同
C.xy τ的表达式相同
D.都满足平截面假定
13、图4所示开孔薄板的厚度为t ，宽度为h ，孔的半径为r ，则b 点的=ϕσ（ D ）
A.q
B.qh /(h-2r )
C.2q
D.3q
图 4
14. 所谓“完全弹性体”是指（ A ）。

A. 应力应变成线性关系，符合胡克定律；
B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；
C. 本构关系为非线性弹性关系；
D. 卸载后，弹性变形可恢复。

15、对于常体力平面问题，要使函数33axy bx y Φ=+作为应力函数，则b a 、满足的关系是（ A
）
A.a b 、任意
B.b a =
C.b a -=
D.2b a =
16、应力、面力、体力的量纲分别是（ C ）
A.
B.
C.
D.
17、弹性力学的基本假定有哪些（ D ）
① 连续性 ②完全弹性
③ 各向同性 ④均匀性
A. ①②④
B. ②③④
C. ①②③
D. ①②③④
18、已知一平面应变问题内某一点的正应力分量为：
3.0,25,35===μσσMPa MPa y x ，则z σ为
多少（ B ） A 15MPa
B 18MPa
C 20MPa
D 22Mpa 19、无体力情况下平面问题的应力分量如下，试判断以下两组应力分量可在弹性体中存在的是（ A ）
（1）
（2）
其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数
A.（1）
B. (2)
C.(1)、（2）
D.都不可能存在
20、设有周边为任意形状的薄板，其表面自由并与Oxy 坐标面平行。

若已知各点的位移分量为
,1,1y E
p v x E p u μμ--=--=则板内的应力分量为（ C ） A. 0,0,==-=xy y x p τσσ B. 0,,==-=xy y x p p τσσ
C. 0,,=-=-=xy y x p p τσσ
D. 0,,0===xy y x p τσσ
二、填空题
1. 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。

-1-2-2-2-2-2M L T , M L T , M L T -1-2-2-2-1-2M L T , M L T , M L T -1-2-1-2-2-2
M L T , M L T , M L T -2-2-2-2-1-2
M L T , M L T , M L T By
Ax x +=σDy Cx y +=σFy Ex xy +=τ)
(22y x A x +=σ)(22y x B y +=σCxy xy =τ
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。

3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的
矩等于杆截面内的扭矩M 。

4. 平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一 点（基准点）到任一点外力的矩 。

5． 弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ )(21,,i j j i ij u u +=ε 6. 物体的均匀性假定，是指物体内 各点的弹性常数 相同。

7. 某弹性体应力分量为：)4(,0,22y h C qxy xy y x -===τσσ（不计体力），系数为=C 2q 8. 弹性力学分析结果表明，材料力学中的平截面假定，对纯弯曲梁来说是 正确的 。

9. 圆环仅受均布外压力作用时，环向最大压应力出现在 内周边处 。

10.已知一平面应变问题内某一点的正应力分量为：MPa x 35=σ, MPa y 25=σ
3.0=μ，则=z σ 18MPa 。

11.将平面应力问题下的物理方程中的μE ，分别换成
21μ-E 和μμ-1就可得到平面应变问 题下相应的物理方程。

12.位移表达式ϕϕρρϕϕcos sin 4K I H E
B U +-+=中的常数I,K,H 不影响 I,K 表示物体的刚体平移；H 表示物体的 刚体转动 ；它们由物体的 位移约束条件
13. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力，应变，位移。

14. 边界条件表示在边界上 位移 与 约束 ，或 应力 与 面力 之间的关 系式，它可以分为 位移 边界条件、 应力 边界条件和 混合 边界条件。

15. 体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为 L -2MT -2 ；
面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为 L -1MT -2 ；
体力和面力符号的规定为以 沿坐标轴正向 为正，属 外 力；应力是作用于截面单
位面积的力，属 内 力，应力的量纲为 L -1MT -2 ，应力符号的规定为： 正面正
向、负面负向为正，反之为负 。

16.小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 孔附近的应力高度集中 ，即孔附
近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。

二是 应力集中的局部性 ， 由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。

17.弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负
向 的面 。

18.利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含 结构离散化 、 单元分析 、
整体分析 三个主要步骤。

20.弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。

21.平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

22.已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，
=2σ0MPa ，=1α6135' 。

23.在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立方程。

24.按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

25.每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的另一部分是
由其他单元发生了形变而连带引起的。

26.为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小
以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移
应力的精度提高。

27.轴对称的位移对应的几何形状和受力 一定是轴对称的。

28.一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有8个，但其不为零的应力、应变和位移分量有9
个。

29.在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是 主平面 。

30.假如弹性体受已知体力作用，在物体的表面处，或者面力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知而另一部分上位移已知，则弹性体在平衡时，体内各点的应力分量与应变分量是唯一的，对后两种情况，位移分量也是唯一的。

三、判断题
1.对下图所示偏心受拉薄板来说，弹性力学和材料力学得到的应力解答是相同的。

（ √）
2.在轴对称问题中，应力分量和位移分量一般都与极角ϕ无关。

（ × ）
改：在轴对称问题中，应力与ϕ无关。

但一般情况下，位移分量与ϕ有关。

3.孔边应力集中是由于受力面减小了一些，而应力有所增大。

（ × ）
改：孔边应力集中是由于孔附近的应力状态和位移状态完全改观所引起的。

4.位移轴对称时，其对应的应力分量一定也是轴对称的；反之，应力轴对称时，其对应的位 移分量一定也是轴对称的。

（ √ ）
5.满足平衡微分方程又满足应力边界条件的一组应力分量必为正确解（设该问题的边界条件 全部为应力边界条件）。

( × )
6.在x 为常数的直线上，若u =0，则沿该线必有?x ＝0。

( × )
7.平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和应变协调方程既适用于各向同性体， 又适用 于各向异性体。

( √ )
8.两个不同弹性常数的均匀各向同性球体在力的作用下相互接触，其接触面为椭圆形。

(√)
9.各向同性弹性体有 3 个独立的弹性常数，它们是 E （弹性模量），ν（泊松比），
)（剪切弹 性模量）。

( × )
10.连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

（√）
11.连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。

（×）
12.如果某一问题中，0===zy zx z ττσ，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。

（√）
13.如果某一问题中，0===zy zx z γγε，只存在平面应变分量x ε，y ε，xy γ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。

（√）
14.表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

（×）
15.表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。

（×）
16.当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

（√）
17.当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。

（√）
18.在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结果 会有所差别。

（×）
19.应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。

（√）
20.平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。

（√）
21.对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。

(×)
22.位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。

（√）
23.求解位移变分方程时所设的位移分量不必事先满足位移边界条件，只要满足静力边界条 件即可。

（×）
四、简答题
1.材料各向同性的含义是什么？“各向同性”在弹性力学物理方程中的表现是什么？
答：材料的各向同性假定物体的物理性质在各个方向上均相同。

因此，物体的弹性常数不随方向而变化。

在弹性力学物理方程中，由于材料的各向同性，三个弹性常数，包括弹性模量E ，切变模量
G 和泊松系数（泊松比）μ都不随方向而改变（在各个方向上相同）。

2.试述弹性力学研究方法的特点，并比较材料力学、结构力学与弹性力学在研究内容、方法等方面的异同。

答：弹力研究方法：在区域V 内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；在边界s 上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。

在研究内容方面：材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在材料力学基础上研究杆系结构（如 桁架、刚架等）；弹性力学研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。

在研究方法方面：理力考虑整体的平衡（只决定整体的V 运动状态）；材力考虑有限体ΔV 的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV 的平，结果比较精确。

3.常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y
Φy x Φx Φ，请问：相容方程的作用是什么？两种解法中，哪一种解法不需要将相容方程作为基本方程？为什么？
答：（1）连续体的形变分量（和应力分量）不是相互独立的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量存在，相容方程也因此成为判断弹性力学问题解答正确与否的依据之一。

（2）对于按位移求解（位移法）和按应力求解（应力法）两种方法，对弹性力学问题进行求解时位移法求解不需要将相容方程作为基本方程。

（3）（定义）按位移求解（位移法）是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出应变分量，进而再求出形变分量和应力分量。

4．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

答：圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显着的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用：
（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

5.简述按应力求解平面问题时的逆解法。

答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函
数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。

6.简述弹性力学的研究方法。

答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。

此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。

在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。

求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

7.弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？
答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为： 平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x σ,y σ,xy τ存在，且仅为x,y 的函数。

平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化，只有平面应变分量x ε,y ε,xy γ存在，且仅为x,y 的函数。

8.试简述拉甫（Love ）位移函数法、伽辽金（Galerkin ）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性 .
Love 、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：
（1）变求多个位移函数或为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。

（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。

适用性：
Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；
Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。

9.位移法求解的条件是什么？怎样判断一组位移分量是否为某一问题的真实位移？
答：按位移法求解时，u ，v 必须满足求解域内的平衡微分方程，位移边界条件和应力边界条件。

平衡微分方程、位移边界条件和（用位移表示的）应力边界条件既是求解的条件，也是校核u ，v 是否正确的条件。

10.简述平面应力问题与平面应变问题的区别。

答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。

对应的应力分量只有x σ，y σ，xy τ。

而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u 和v.
1、如图所示，考虑上端固定，下端自由的一维杆件，只受重力作用，0bx F =，by F g ρ=（ρ为杆件密度，g 为重力加速度），并设泊松比0μ=。

试用位移法求解杆件竖向位移及应力。

(提示：平面问题的平衡微分方程：0yx x bx σF x y τ∂∂++=∂∂，0y xy by σF y x
τ∂∂++=∂∂；用位移分量表示的应力分量表达式：)(12y v μx u μE σx ∂∂+∂∂-=，)(12x u μy v μE σy ∂∂+∂∂-=，)()1(2y
u x v μE τxy ∂∂+∂∂+=。

) 解：据题意，设位移0u =，()v v y =，按位移进行求解。

将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求
解平面应力问题的基本微分方程如下
22222211()0122bx E u u v F x y x y
μμμ∂-∂+∂+++=-∂∂∂∂ ① 22222211()0122by E v v u F y x x y
μμμ∂-∂+∂+++=-∂∂∂∂ ② 将相关量代入式①、②，可见①式自然满足，而②式成为
可由此解出
22g
v y Ay B E ρ=-++ ③
本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，即
0()0y v ==，()0y y l σ== ④
将④代入③，可得
0B =，g A l E ρ=
进而可求得 )2(22y ly E g
v -=ρ，)(y l g σy -=ρ
2、已知受力物体内某一点的应力分量为：0x σ=，2MPa y σ=，1MPa z σ=， 1MPa xy τ=，0=yz τ，MPa 2=zx τ。

试求经过该点的平面13=++z y x 上的正应力。

解：由题意可知
平面13=++z y x ，其法线方向单位矢量的方向余弦为
1111311
222=++=l ，1131313
222=++=m ，1111311
222=++=n ，
[][][]113111
l
m n β== 所以，该平面上的正应力为 3、图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比μ已知。

试求薄板面积的改变量S ∆，并判断S ∆是否与薄板的形状有关。

解：设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移
为l ∆。

由q E
)1(1με
-=得 设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有
将l ∆代入得
显然，S ∆与板的形状无关。

4、图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集
中力作用，单位宽度上集中力的值为P ，设间距d 很小。

试求其应力分量。

（提示：取应力函数为 θθϕB A +=2sin 。

）
解：由于d 很小，所以M Pd =，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。

将应力函数),(θϕr 代入，可求得应力分量：
边界条件：
（1）0
00r θθσ=≠=，0
00r r θθτ=≠=；00r θπθσ=≠=，00r r θπ
θτ=≠=
代入应力分量式，有
02=+B A ①
（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有r σ，r θτ和M
Pd =
由该脱离体的平衡，得
将θτr 代入并积分，有
解得 0=+M B π ②
联立式①、②求得：
ππPd M B -=-=，π
2Pd A = 代入应力分量式，得
22sin 2r Pd r θπσ-==，0=θσ，22sin 2r Pd r θπτθ-=
5、如图所示，一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k ，梁受有均匀分布载荷q 作用。

试构造多项式形式的梁挠度试函数()w x ，并用最小势能原理或Ritz 法求其挠度近似解（取1项待定系数）。

解：梁挠度试函数可取为 此时有
即满足梁的端部边界条件。

梁的总势能为
取：2
1)(x A x w =，有
12
22A dx
w
d =，21)(l A l w = 代入总势能计算式，有 由0=Π
δ，有
代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为
6、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。

（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）
)
(22y x A x +=σ，
)(22y x B y +=σ，
Cxy
xy =τ；
其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件： （1）在区域内的平衡微分方程； （2）在区域内的相容方程； （3）在边界上的应力边界条件； （4）对于多连体的位移单值条件。

（1）此组应力分量满足相容方程。

为了满足平衡微分方程，必须A=-F ，D=-E 。

此外还应满足应力边界条
件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。

上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

7、已知应力分量2
3
1x Qxy C x σ=-+，2322y
C xy
σ=-，32
23xy C y C x y τ=--，体力不计，Q 为常数。

试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。

解：将所给应力分量代入平衡微分方程⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x y
y x xy y yx
x τστσ
得⎩
⎨⎧=--=--+-0230
33322322212xy C xy C x C y C x C Qy
()02222=+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ
即()()()⎩⎨⎧=+=+--02303332
22231xy C C y C Q x C C
由x ，y 的任意性，得⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=-0
23030
332
231C C C Q C C
由此解得，61Q C =
，32Q C -=，2
3Q
C = 8、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。

解：将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，代入平衡微分方程
可知，已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。

按应力求解平面应力问题的相容方程：
将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

按应力求解平面应变问题的相容方程：
将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

9、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。

（1）Axy x =ε，3By y =ε，2
Dy C xy -=γ； （2）2
Ay x =ε，y Bx
y 2
=ε，Cxy xy =γ；
（3）0=x ε，0=y ε，Cxy xy =γ； 其中，A ，B ，C ，D 为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知： （1）相容。

（2）22A By C +=；这组应力分量若存在，则须满足：B =0，2A =C 。

（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则0=x ε，0=y ε，0=xy γ。

10、证明应力函数2
by =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力
不计，0≠b ）。

解：将应力函数2
by =ϕ代入相容方程
可知，所给应力函数2
by =ϕ能满足相容方程。

l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O
由于不计体力，对应的应力分量为
b y
x 222=∂∂=ϕσ，022=∂∂=x y ϕσ，02=∂∂∂-=y x xy ϕ
τ
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边，
2h
y -=，0=l ，1-=m ，0)(2=-=-=h y xy x f τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；
下边，
2h
y =，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy x f τ，0)(2
===h y y y f σ；
左边，2
l
x -=，1-=l ，0=m ，
b f l x x x 2)
(2
-=-=-
=σ，0)
(2
=-=-
=l x xy y f τ；
右边，2l
x =
，1=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2===σ，0)(2
===l x xy y f τ。

可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b 。

因此，应力函数2
by =ϕ能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b >0）和均布压力（b <0）的问题
11、在物体内的任一点取一六面体，x 、y 、z 方向的尺寸分别为dx 、dy 、dz 。

试依据下图证明：
0=+∂∂+
∂+
∂∂Y x
z
y
xy zy
y ττσ 。

证明：
∑=0y
F
：
化简并整理上式，得：
0=+∂∂+
∂+
∂∂Y x
z
y
xy zy
y ττσ。

12、试列出下图问题的边界条件。

在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

参考答案：在主要边界2h
y ±=上，应精确满足下列边界条
件：
()
q h
y y -=-=2σ，()02
=-=h y xy τ，
()
02
==h
y y σ，()12
q h y xy -==τ。

在次要边界0x =上应用圣维南原理列出三个积分的应力边
界条件
l
1
q 2
h 2h x
y
O q M
N
F S
F
()
N h h x x F dx =⎰-=22
σ， ()M ydx h h x x -=⎰-=220σ， ()S h h x xy F dx -=⎰-=22
0τ
在次要边界l x =列出位移边界条件， ()0==l x u ， ()0==l x v 。

也可应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件
()
N h h l
x x F l q dx +=⎰-=122
σ， ()2
22
122
ql l F M lh q ydx S h h l x x -
--=⎰
-=σ， ()
S h
h l
x xy F ql dx --=⎰-=22
τ
13、已知如图所示的墙，高度为h ，宽度为b ，b h >>，在两侧面上受到均布剪力q 作用，不计体力，试用应力函数y Bx Axy 2
+=Φ求解应力分量。

参考答案：
（1）将应力函数代入相容方程2
2
0∇∇Φ=，其中
044=∂Φ∂x ， 0224=∂Φ∂y x ，044=∂Φ
∂y
满足相容方程。

（2）应力分量表达式为
220x y
σ∂Φ
==∂，226y Bxy x σ∂Φ==∂，223xy A Bx x y τ∂Φ=-
=--∂∂ （3）考查边界条件
在主要边界2
b
x =±
上，应精确满足下列边界条件： ()2
0b
x x σ=±=，()
2
b xy
x q τ=±
=-
在次要边界0y =上，
()
0y
y σ==能满足，但()
0yx y τ==的条件不
能精确满足，应用圣维南原理列出积分的应力边界条件代替
将应力分量代入边界条件，得
2
q
A =-，22q
B b =
应力分量
0x σ=，212y q
xy b σ=，221122xy q x b τ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
14、已知薄板有下列形变关系：Axy x =ε，3By y
=ε，2Dy C xy -=γ，式中，A ，B ，C ，D 皆为
常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。

h
x
y
O
h b
>>q
q
2
b 2
b
解：（1）相容条件：
将形变分量代入形变协调方程（相容方程）
y
x x y xy
y x ∂∂∂=
∂∂+∂∂γεε22， 其中，
02=∂∂y x
ε，02
=∂∂x y ε，0=∂∂∂y
x xy γ。

所以满足相容方程，符合连续性条件。

（2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为
()()
3
2
211By Axy E E y x x μμ
μεεμσ+-=+-=
， ()()
32
211By Axy E
E x y y +-=+-=
μμ
μεεμσ， ()2Dy C G G xy xy -==γτ。

（3）平衡微分方程 其中，
y EA x x 2
1μ
σ-=∂∂，()Ax By E y y μμσ+-=∂∂2
231， 0=∂∂x
xy τ，
GDy y
yx 2-=∂∂τ。

若满足平衡微分方程，必须有
15、一点应力张量为 0 1 2 1 1 2 1 0x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦⎣⎦,已知在经过该点的某一平面上应力矢量为零，求y
σ及该平面的单位法向矢量。

解：一点的应力张量与该点的任意斜面上各应力分量的关系为： x xy xz yx y yz zx zy z X l m n Y l m n Z l m n στττστττσ⎫
=++⎪
=++⎬⎪
=++⎭及
2221l m n ++=
故有：20
020y m n l m n l m σ⎫+=⎪
++=⎬⎪
+=⎭
解得：2 , , 2(1)0y m n l n n σ=-=-=
由此得：3213216
161261,1e e e ne me le v y ±±
=++== σ 16、图中楔形体两侧受均布水平压力q 作用，求其应力分量（体力为零）。

提示：设应力函数为：
2(cos )r A B ϕθ=+。

解：极坐标下的应力分量为：
2222211cos 22(cos )
1()sin r r A B
r r r A B r
A r r θθϕϕσθθϕ
σθϕ
τθ
θ
∂∂=+=+∂∂∂==+∂∂∂=-=∂∂ 力边界条件为：
cos sin r q q θθαθ
θα
σατα
=±=±=-=
应
将应力分量代入边界条件，可解得：1
,cos 2
A q
B q α=-=
所以应力分量解答为：(cos cos )
(cos 2cos )sin r r q q q θθσαθσαθτθ
=-=-=-
17、如图所示的悬臂梁结构，在自由端作用集中力P ，不计体力，弹性模量为E ，泊松比为μ，应力函数可取3
2
3
Dy Cy Bxy Axy +++=ϕ，试求应力分量。

解：由题可知，体力X=0，Y=0，且为弹性力学平面应力问题。

本题所设应力函数满足双调和方程：02
2
=∇∇ϕ
(a)
应力分量为：2
22
22230626Ay B y
x Yy x Dy
C Axy Xx y
xy y x --=∂∂∂-==-∂∂=++=-∂∂=ϕ
τϕ
σϕ
σ
(b)
用应力边界条件求待定常数A 、B 、C 、D
应力边界条件，在上、下表面a y 2±=处，必须精确满足：
0)( ,0)(22==±=±=a y xy a y y τσ
(c)。