数学中考一轮复习学案 第19节 等腰三角形（含解析）

第四章图形的性质第19节等腰三角形
■知识点一：等腰三角形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为 .
■知识点二：等边三角形
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对
称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC
是等边三角形.
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1
2
AB. ■知识点三：角平分线
2
1P C
O
B
A
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，则PA ＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上． ■知识点四：垂直平分线
P
C O
B
A
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP 垂直且平分AB ，则PA ＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
■考点1.等腰三角形 ◇典例：
1. （2018年黑龙江省绥化市）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 ．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，
当50°为底角时，其他两角为50°、80°，
所以等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
2.（2017年北京市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD=BC．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=C=72°，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论．
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠C=72°，
∴∠BDC=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD，
∴AD=BC．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
◆变式训练
1.（2018年内蒙古包头）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（）
A．17.5° B．12.5°C．12° D．10°
2.( 2017年湖北武汉市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
■考点2.等边三角形
◇典例
（2018年辽宁省葫芦岛市）如图，∠MON=30°，点B1在边OM上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n A n+1C n的面积为．（用含正整数n的代数式表示）
【考点】规律型：图形的变化类；等边三角形的性质
【分析】由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，△A2A3C2是等边三角形，边长为×，△A3A4C3是等边三角形，边长为××=（）2×，△A4A5C4是等边三角形，边长为×××=（）3×，…，一次看到△A n B n+1C n的边长为（）n﹣1×即可解决问题；
解：由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，
△A2A3C2是等边三角形，边长为×，
△A3A4C3是等边三角形，边长为××=（）2×，
△A4A5C4是等边三角形，边长为×××=（）3×，
…，
△A n A n+1C n的边长为（）n﹣1×，
∴△A n A n+1C n的面积为×[（）n﹣1×]2=（）2n﹣2×．
【点评】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会探究规律的
方法，属于中考常考题型．
◆变式训练
（2018年内蒙古通辽市）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为．
■考点3.角平分线
◇典例：
（2018年山东省德州）如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________．
【考点】角平分线的性质
【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
解：过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF．
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
◆变式训练
（2018年山东省东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是．
■考点4.垂直平分线
◇典例：
（2018年贵州省安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是
（）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图，线段垂直平分线
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
解：A、如图所示：此时BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
◆变式训练
（2018年山东省青岛）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．
一、选择题
1.（2018 年广西梧州市）如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于
点 F，DE=6，则 DF 的长度是（）
A．2 B．3 C．4 D．6
2.（2018年浙江省湖州市）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠
CAD=20°，则∠ACE的度数是（）
A．20°B．35°C．40°D．70°
3.（2018年四川省攀枝花市）如图，等腰直角三角形的顶点A．C分别在直线a、b上，若a
∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（）
A．30°B．15°C．10°D．20°
4.（2018年甘肃省兰州市（a卷））如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（）
A．50°B．60°C．65°D．70°
5.（2018年福建省（A卷））如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD
上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
二、填空题
6.（2018年湖南省湘潭市）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= ．
7.（2018年贵州省遵义市）如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若
∠CAE=16°，则∠B为度．
8.（2018年江苏省南京市）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分
别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
9.（2018年浙江省绍兴市）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
三、解答题
10.（2018年浙江省嘉兴市）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，
垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
一、选择题
1.（2018 年广西梧州市）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于
直线 EF对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（）
A．30° B．35° C．40° D．45°
2.（2018年青海省）如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB=300，B
点的坐标为(0,2)，将∆ABO沿着斜边AB翻折后得到∆ABC，则点C的坐标是（）
A. B. C. D.
3.（2018年黑龙江省大庆市）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠
ADC=110°，则∠MAB=（）
A．30° B．35° C．45° D．60°
4.（2018年湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为
半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD 的周长为13cm，则△ABC的周长为（）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
5.（2018年江苏省扬州市）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB
于E，则下列结论一定成立的是（）
A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC
6.（2018年广西玉林市）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向
移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）
A．平行B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直7.（2018年四川省巴中市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B
为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大
于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB 于点G．下列结论正确的是（）
A．CF=FG B．AF=AG C．AF=CF D．AG=FG
二、填空题
8.（2018年黑龙江省哈尔滨市）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接
AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为．
9.（2018年广西桂林市）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰
三角形的个数是__________
10.（2018年四川省南充市）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点
E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度．
11.（2018年湖南省娄底市）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF
⊥AC于点F，DE=3cm，则BF= cm．
三、解答题
12.（2018年浙江省绍兴市）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
13.（2018年湖北省孝感市）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下
操作：
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；
③连接PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是；
（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．
14.（2018年江苏省镇江市）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在
AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
15.（2018年黑龙江省哈尔滨市）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且
AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．。