吉林省长春市十一中2013-2014学年高一数学下学期期中试题 理

某某省某某市十一中2013-2014学年高一数学下学期期中试题 理
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分120分，测试时间120分钟。

第一部分（选择题）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( ) A ．45° B ．30°C．60° D．30°或150°
2．若△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C ＝( ) A ．－14 B.14C ．－23D.23
3．已知关于x 的不等式
x ＋1
x ＋a
<2的解集为P ，若1∉P ，则实数a 的取值X 围为( ) A ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) B ．[－1,0] C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
D ．(－1,0]
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() A.
3603B.580
3
C ．200
D ．240
5．函数y ＝log 2(x ＋
1
x －1
＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3C ．4 D ．－4
6．已知x >0，y >0.若2y x ＋8x y
>m 2
＋2m 恒成立，则实数m 的取值X 围是( )
A ．m ≥4或m ≤－2
B ．m ≥2或m ≤－4
C ．－2<m <4
D ．－4<m <2
7．若,0,0>>n m 且1=+n m ，则mn
mn 1
+的最小值为( ) A ．2B ．4C ．
17
4
D ．228．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值X 围是（ ）
A ．(1，2)
B ．(2，3)
C ．(3，2)
D ．(1,2)
9．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1] B ． (－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)
10．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为n S 和n T ，且n
n T S ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n
b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5
11.直角三角形的斜边长为2，则其内切圆半径的最大值为（ ） A ．2B ．12-C ．22D ．)12(2- 12.数列{}n a 前n 项和为n S ，已知11
3
a =
，且对任意正整数m 、n ，都有m n m n a a a +=⋅，若k S n <恒成立则实数k 的最小值为（ ）
A ．
12B ．23C ．3
2
D ．2 第二部分（非选择题）
二、填空题（每题4分，共16分）
13．已知－1，a 1，a 2，8成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，那么a 1a 2
b 2
的值为________． 14．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．
15．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
16．在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，把M 的最大值叫做f (x )的“下确界”，例如f (x )＝
x 2
＋2x ≥M ，则M max ＝－1，故－1是f (x )＝x 2
＋2x 的下确界，那么a 2＋b 2
a ＋
b 2
(其中a ，b ∈R ，且
a ，
b 不全为0)的下确界是________．
三、解答题（本大题共4小题，共44分）
17．(本小题满分10分)
一个各项都是正数的无穷等差数列{ n a }，1a 和3a 是方程0782
=+-x x 的两个根，求它的通项公式.
18．(本小题满分10分)
已知函数f (x )＝x 2
－2x －8，若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，某某数m 的取值X 围．
19．(本小题满分12分)
在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边长，已知cos23cos 20A A +-=. (Ⅰ)若mbc b c a -=-2
2
2
,某某数m 的值； (Ⅱ)若3=a ,求ABC ∆面积的最大值.
20．(本小题满分12分)
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足021=⋅+-n n n S S a )2(≥n ，2
11=
a .
(Ⅰ)求证：{
n
S 1
}是等差数列； (Ⅱ)若)2()1(2≥-=n a n b n n ，求证：2
2b ＋23b ＋…＋2
n b 1<.
附加题（10分）（计入总分）：
已知⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=0,20,)23()(x x x f x x
，若对任意[]1,1---∈m m x ，不等[]3
)()2(x f m x f ≥-恒成立，
某某数m 的取值X 围．
某某市十一高中2013-2014学年度高一数学下学期期中考试答案 一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分）
二、填空题（本题共4个小题。

每小题4分，共16分） 13．；－5 14．5 ； 15πr
2
a ＋b
2 ； 16．1
2
；
三、 解答题（总分44分） 17．(本小题满分10分)．
解：a 1+a 3=8, a 1a 3=7,又{a n }为正数等差数列，所以a 1=1，a 3=7，---------5分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B
A
B
C
B
D
C
C
B
D
B
A
设公差为d,又∵a 3=a 1+2d,∴7=1+2d,故d=3,a n =3n-2.----------10分 18．(本小题满分10分)
解：∵f (x )＝x 2
－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立，∴x 2
－2x －8≥(m ＋2)x
－m －15，即x 2
－4x ＋7≥m (x －1)．∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7
x －1
≥m 成
立．-------------------------5分
而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2
x －1×4
x －1
－2＝2(当x ＝3时等号成立)．∴实数
m 的取值X 围是
(－∞，2]．---------------------10分 19．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)由cos23cos 20A A +-=得：2
2cos 3cos 20A A +-=2分 解得: 2
1
cos =
A 3分 而mbc b c a -=-2
2
2
可以变形为
2
2222m
bc a c b =-+4分 即2
1
2cos ==
m A ，所以1m =6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
1
cos =
A ,则23sin =A ··················· 7分
又2
1
2222=-+bc a c b ···························· 8分
所以2
2
2
2
2a bc a c b bc -≥-+=即2
a bc ≤ ················· 10分 故4
33232sin 22=⋅≤=∆a A bc S ABC
···················· 12分 20．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)（1）∵－a n ＝2S n S n －1，∴－S n ＋S n －1＝2S n S n －1(n ≥2)-----------2分
S n ≠0，∴1S n －1S n －1 ＝2，又1S 1 ＝1
a 1
＝2---------------------4分 ∴{1
S n
}是以2为首项，公差为2的等差数列.---------------5分
(Ⅱ)由（1）1S n ＝2＋(n －1)2＝2n ，∴S n ＝1
2n
-------------7分
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－
1
2n (n －1)
n ＝1时，a 1
＝S 1
＝1
2
，∴a n
＝⎩⎨⎧1
2 （n ＝1）－12n (n －1) （n ≥2）
---------9分
由此知b n ＝2(1－n )a n ＝1
n
---------------10分
∴b 22＋b 32＋…＋b n 2
＝122 ＋132 ＋…＋1n 2 <11×2 ＋12×3 ＋…＋1(n －1) n
＝(1－12 )＋(12 －13 )＋…＋(1n －1 －1n )＝1－1
n <1.---------12分
附加题（10分）（计入总分）：
解：有题设知，⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=0,20,)23()(x x x f x x
，则)3()]([3
x f x f =，因此原不等式等价于
[]3
)()2(x f m x f ≥-)(x f 在R 上市增函数，x m x 32≥-∴，而x m )23(--≤，又
[]1.1---∈m m x ∴当1-=m x 时，x )23(--取得最小值，)1)(23(---m ，因此)1)(23(---≤m m ，解得222-≤
m ，又m m -->-110>∴m 故]2
2
2,
0(-∈m。