2015年湖州市菱湖中学高三第三次适应性测试理科数学
2015年高考适应性练习(二)即三模数学(理)试题 扫描版含答案
高三理科适应性练习（二）答案一、选择题：BABBA ADBBB 二、填空题：11. 29 12. 75 13.2914. ()0,1- 15. ①③④ 三、解答题：16. （1）解：（1）=)(x f n m ⋅1-1cos sin 32cos 22-+=x x x x x 2sin 32cos +=．)62sin(2π+=x …………………………4分∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,6ππx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+∴32,662πππx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,2162sin πx)(x f ∴的值域为[]2,1- ……………………6分（2）∵2)(=A f ，即2)62sin(2=+πA ，∵角A 为锐角，得6π=A ， … 8分又3=a ，4=+c b ，()()932166cos22cos 22222=+-=--+=-+=∴bc bc bc c b A bc c b a π()327-=∴bc ……………………10分()43276sin 21-==∴∆πbc S ABC …………………12分 17. ⑴ 由频率分布直方图知：12)15.0125.01.005.0=⨯++++x （，解得：075.0=x ………………2分⑵ 由⑴知，这批产品中净重在[)102100，中的频率为3.0，根据题意概率为3.0，记从这批产品中有放回地随机抽取3件时，净重在[)102100，中的产品件数为η， 则η～()3.0,3B ，故()()()216.03.07.03.0322333223=⨯+⨯⨯==+==≥C C P P P ηηη………5分⑶20件抽样产品中不合格品的件数为5件，合格品件数为15…………………6分ξ的可能取值为0,1,2 三种情况()()()1912,38151,382102202522011515220215=========C C P C C C P C C P ζζζ…9分 所以ξ的分布列为2119123815138210=⨯+⨯+⨯=ζE ……………12分18. （1）证：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA CD ⊥. ∵AD CD ⊥，PA AD A =，∴CD ⊥平面PAD . 取PD 中点E ,PC 中点Q .连接BQ QE AE ,,.∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥.∵PA AD =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥. ∵CD PD D =，∴AE ⊥平面PCD . ∵//BQ AE ，∴BQ ⊥平面PCD . ∵BQ ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD . …………………6分 (2)如图建立直角坐标系，设1,2PA AB AD CD ====，则(0,0,0)A ,(0,1,0),(1,2,0),(0,0,1)B C P -，则(0,1,1)PB =-，(1,1,0)BC =-. 设平面PBC 的法向量为n ),,(z y x =，则由n 0=⋅及n 0=⋅所以0y z x y z x y -=⎧⇒==⎨-+=⎩，取)1,1,1(=n ………………………………11分由CD ⊥平面PAD ，//AB CD ，知AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(0,1,0)AB =.设所求锐二面角的大小为θ，由||n ⋅|AB =||n ⋅θcos .∴所求锐二面角的的余弦值为33……………………12分19.解：（1）2n S n = ，111==∴S ax 0.1时，当2≥n ()211-=-n S n .121-=-=∴-n S S a n n n ，时，当1=n 11=a 12-=∴n a n ……………………4分(2)因为()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-==+121121211212111n n n n a a b n n n所以12121121513131121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=n nn n T n ………………7分 ①当n 为偶数时，要使不等式n n n T )1(8-⋅+<λ（*∈N n ）恒成立，只需不等式1782)12)(8(++=++<n n n n n λ恒成立即可，∵882≥+nn ，等号在2=n 时取得，∴25<λ …………9分②当n 为奇数时，要使不等式n n n T )1(8-⋅+<λ（*∈N n ）恒成立，只需不等式1582)12)(8(--=+-<nn n n n λ恒成立即可，∵n n 82-是随n 的增大而增大，∴1=n 时，nn 82-取得最小值6-，∴21-<λ ...............11分综合①②可得λ的取值范围是)21,(--∞ ...............12分20.解：(1) 由已知得：22==a c e ，1)23()22(2222=+-b a ， 结合222c b a +=，可解得： 1,222==b a ，.1222=+∴y x 椭圆的方程为………………… 4分（2）由题意可知直线MN 存在斜率，设方程为m kx y +=，代入2222=+y x 整理得()022412222=-+++m kmx x k由题意()()()()012822124422222>+-=-+-=∆m k m k km设()()2211,,,y x N y x M .则1222,1242221221+-=+-=+k m x x k km x x ……………………8分又1,1221122-+=-+=x m kx k x m kx k N F M F 由已知直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补,得.011,0221122=-++-+=+x mkx x m kx k k N F M F 即………………10分化简,得02))((22121=-+-+m x x k m x kx0212)(412222222=-+--+-⋅∴m k k m km k m k 整理得.2k m -= 检验后符合题意 直线MN 的方程为)2(-=x k y ,因此直线MN 过定点,该定点的坐标为(2,0) …………………13分21.解：（1）设'1()ln(1)()001x x F x e x F x e x x =-+=-=⇒=+令 当(1,0)x ∈-，'()0F x <，当(0,)x ∈+∞，'()0F x >所以当(1,0)x ∈-时，()F x 单调递减，当(0,)x ∈+∞时，()F x 单调递增 当0x =时，()F x 取得的极小值(0)1F = ………3分 （2）证明：令()()())2ln(1+-=+-=x e x g x f x G x ，()()21221+-+=+-='x x e x e x G x x'()1x G x e =-，当(0,)x ∈+∞，()()0120120>-+>-+e x e x ，'()0G x >所以当[)+∞∈,0x 时()G x 单调递增；()()02ln 00>-=≥e G x G ；所以()(1)f x g x >+ …………………………8分 （3）令()(1)ln(1)h x x x ax =++-， '()ln(1)1hx x a =++-，令'()0h x =解得11.a x e-=-（i ）当1a ≤时，110a x e -=-≤所以对所有0x>，'()0h x >；()h x 在[0,)+∞上是增函数.所以有()(0)0(0)h x h x >=>即当1a≤时，对于所有0x ≥，都有()1axg x x ≥+………………11分（ii ）当1'11,01,()0,()(0,1)a a a x e h x h x e --><<-<-时对于所以在上是减函数， 101()(0)0a x e h x h -<<-<=从而对于有， 即()1axg x x ≥+不成立.所以当1a >时，不是对所有的0x ≥都有()1ax g x x ≥+成立. 综上，a 的取值范围是 (]1，∞- …………14分。
2015届第三次高考适应性考试数学试卷(理科)
2015届第三次高考适应性考试数学试卷（理科）【试卷综析】这套试题,具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血.但是综合知识、创新题目的题考的有点少.这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.【题文】第I卷共10小题。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分·在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合M满足｛1，2｝｛1，2，3，4｝，则满足条件的集合M的个数为（）A.1 B ．2 C ．3. D. 4【知识点】子集与真子集A1【答案】【解析】C 解析：根据子集的定义，可得集合M必定含有1、2两个元素，而且含有1，2，3，4中的至多三个元素．因此，满足条件{1，2}⊆M⊈{1，2，3，4}的集合M有：{1，2}、{1，2，3}、{1，2，4}，共3个．故选：C．【思路点拨】根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案.【题文】2.已知点A(1,3)，B(4，一1），则与向量AB的方向相反的单位向量是（）A、（－35，45）B、（－45，35）C、（35，－45）D、（45，－35）【知识点】单位向量F1【答案】【解析】A 解析：AB=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），|AB |==5．∴与向量AB的方向相反的单位向量()3,434,555ABAB-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭．故选：A．【思路点拨】利用与向量的方向相反的单位向量ABAB-即可得出．【题文】3.函数2()f x x=＋bx的图象在点A（l，f(1））处的切线与直线3x - y＋2＝0平行，若数列｛1()f n｝的前n项和为Sn，则S2015＝（）A、1B、20132014C、20142015D、20152016【知识点】数列的求和；二次函数的性质．B5 D4【答案】【解析】D 解析：f′（x）=2x+b，由直线3x﹣y+2=0可知其斜率为3，根据题意，有f′（1）=2+b=3，即b=1，所以f（x）=x2+x，从而数列{1 () f n}的通项为，所以S2015==，故选：D．【思路点拨】由f′（1）与直线斜率相等可得f（x）的解析式，从而可得数列{1()f n}的通项公式，计算可得答案．【题文】4.某锥体三视图如右，根据图中所标数据，该锥体的各侧面中，面积最大的是（）A. 3B. 25C. 6D. 8【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案】【解析】C 解析：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：×4×=2．两个侧面面积为：×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选C．【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD 的四个侧面中面积，得到最大值即可．【题文】5.已知圆C1：（x一2）2＋(y－3 )2 =1 ，圆C2 : (x －3)2＋(y－4).2 ＝9，M，N分别是Cl ，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM ｜+ ｜PN｜的最小值为（）A. 17－1B、6－22C、52－4D ．17【知识点】圆与圆的位置关系及其判定．H4【答案】【解析】C 解析：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，C2，C3，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：C．【思路点拨】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【题文】6.函数恰有两个零点，则实数k的范围是（）A.（0，1)B.（0，l）U（1,2）C. (1，＋oo）D、（一oo,2)【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9【答案】【解析】B 解析：由题意，令f（x）=0，则211xkx x-= -令2111xyx-=-，2y kx=，则y1==，图象如图所示2y kx =表示过点（0，0）的直线，结合图像以及斜率的意义，∴k 的取值范围是（0，1）∪（1，2）， 故选B.【思路点拨】令f （x ）=0，则211x kxx -=-，构建函数，作出函数的图象，即可求得k 的取值范围．【题文】7.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M （1，m ）（m >0）到其焦点的距离为5，双曲线2221x y a -=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行、则实数a 等于（ ） A 、19 B 、14 C 、13 D 、12【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．H6 H7【答案】【解析】A 解析：抛物线y2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣， 由抛物线的定义可得5=1+，可得p=8，即有y2=16x ，M （1，4），双曲线﹣y2=1的左顶点为A （﹣，0），渐近线方程为y=±x ，直线AM 的斜率为，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得=，解得a=，故选A ．【思路点拨】求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M 的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a 的值． 【题文】8.函数在x ＝1和x ＝－1处分别取得最大值和最小值，且对于，则函数f （x ＋1）一定是（ ）A ．周期为2的偶函数 B.周期为2的奇函数C.周期为4的奇函数D.周期为4的偶函数 【知识点】正弦函数的图象．B4 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，[﹣1，1]是f （x ）的一个增区间，函数f （x ）的周期为2×2=4， ∴=4，ω=，∴f （x ）=Asin （x+φ）．再根据f （1）=Asin （ω+φ）=A ，可得sin （+φ）=cosφ=1，故φ=2kπ，k ∈z ，f （x ）=Asin x ，故f （x ）是周期为4的奇函数，故选：C ．【思路点拨】由题意可得函数f （x ）的周期为4，由此求得ω 的值，再根据f （1）=A ，求得φ 的值，可得f （x ）的解析式，从而得出结论． 【题文】9．已知正方体ABCD 一A1B1C1D1，，下列命题：③向量1AD 与向量1A B 的夹角为600④正方体ABCD 一A1B1C1D1的体积为1||AB AA AD ，其中正确命题序号是A.①③B.①②③C.①④D.①②④． 【知识点】空间向量及应用F1 【答案】【解析】A 解析：如图所示：以点D 为坐标原点，以向量，，所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），对于①：，∴，，∴，∴||=，||=1，∴①正确；对于②：，，∴=2．∴②错误；对于③：，，∴，∴③正确；对于④：∵，∴④错误，故选A.【思路点拨】结合图形，以点D为坐标原点，以向量，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，对四个命题进行逐个检验即可．【题文】10.已知函数，则关于x的方程有5个不同实数解的充要条件是（）A. b＜一2且c＞0B. b＞一2且c＜0C. b＜一2且c＝0D. b≤一2且c＝0【知识点】充要条件．A2【答案】【解析】C 解析：∵方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，∴对应于f（x）等于某个常数有4个不同实数解，由题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=0时，它有﹣个根．且f（x）=﹣b时有四个根，由图可知﹣b＞2，∴b＜﹣2．故所求充要条件为：b＜﹣2且c=0，故选C．【思路点拨】作出f（x）的简图，数形结合可得．【题文】 第II 卷（非选择题，满分100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 【题文】11、若复数x ＝（1＋ai ）（2＋i ）的实部与虚部相等，则实数a ＝ 【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．L4【答案】【解析】13 解析： ()()()12221x ai i a a i=-++＝＋＋，因为实部与虚部相等，所以221a a -=+，解得13a =，故答案为13【思路点拨】利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，把复数化为最简形式，由实部和虚部相等，求出实数a ．【题文】12.93()3x x -的展开式中常数项等于 【知识点】二项式系数的性质．J3【答案】【解析】289-解析：93()3x x -的展开式的通项公式为Tr+1=••（﹣3）r•，令=0，求得r=3，可得展开式中常数项等于••（﹣3）3=﹣，故答案为：289-．【思路点拨】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【题文】13.7个身高各不相同的学生排成一排照相，高个子站中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也一个比一个矮，则共有 种不同的排法（结果用数字作答）． 【知识点】排列、组合及简单计数问题．J3 【答案】【解析】20 解析：最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有=20种排法，第二步：排右边，有=1种，根据分步乘法计数原理，共有20×1=20种，故答案为：20．【思路点拨】最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有=20种排法，第二步：排右边，有=1种，根据分步乘法计数原理可得结论．【题文】14.阅读右边框图，为了使输出的n＝5，则输人的整数P的最小值为【知识点】程序框图．L1【答案】【解析】8 解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈否故S=7时，满足条件S＜pS=15时，不满足条件S＜p故p的最小值为8故答案为：8【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【题文】15．平面内两定点M（0，一2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：①∃m，使曲线E过坐标原点；②对∀m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2m＋4;⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。
浙江省湖州市菱湖中学2015届高三9月月考数学(理)试题及答案
菱湖中学2015届高三9月月考数学（理）试题1．抛物线y x 82-=的准线方程为 ( )A ．x=2B ．x=-2C ．y=2D ．y=-22．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （ ）A ．x-2y-1=0B ．x-2y+1=0C ．2x+y-2=0D ．x+2y-1=0 3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )4．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为 ( ）A ．12B ．1C ．2D ．4 5．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相反的直线方程是 ( ）A ．01=+-y xB ．01=--y xC ．0101=--=+-y x y x 或D ．02301=-=+-y x y x 或6．若椭圆两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆方程是 ( )A ．2213620x y += B ．2212812x y += C ．221259x y +=D ．221204x y +=9．曲线241x y -+=(x ∈[-2，2])与直线(2)4y k x =-+两个公共点时，实数k 的取值范围是 （ ） A ．5(0,)12 B ．13(,)34C ．5(,)12+∞D ．53(,]12410的椭圆称为“优美椭圆”.设22221(0)x y a b a b +=>>是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个顶点，则FBA ∠等于（ ） A ．120 B ．90 C ．75 D ． 60二、填空题（本题共7小题，每小题4分，满分28分）11．设(2,6,3)a =-，则与a 平行的单位向量的坐标为12．一个几何体的三视图如图所示(右下图)，则这个几何体的全面积为13．已知P 是椭圆22143x y +=上的一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆半径为12，则12PF PF ⋅的值为14．若双曲线22a x －22by =1的渐近线与方程为 3)2(22=+-y x 的圆相切，则此双曲线的离心率为 ．15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．16．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF ＝FB ，BA ·BC ＝48，则抛物线的方程为______________19．（本题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2===CB DC AD ， 30=∠CAB ， 四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，3=CF ． （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）设点M 为EF 中点，求二面角C AM B --的余弦值．20.（本小题满分14分）ABCDEMF已知过点)1,0(A , 且斜率为k 的直线l ，与圆1)3()2(:22=-+-y x C 相交于M 、N 两点. （1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM AN ⋅=定值；（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值.21．（本小题满分15分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值.22．（本小题满分15分）已知点F 1，F 2为椭圆1222=+y x 的两个焦点，点O 为坐标原点，圆O 是以F 1，F 为直径的圆，一条直线)0(:>+=b b kx y l 与圆O 相切并与椭圆交于不同的两点A ，B ． （1）设)(),(k f k f b 求=的表达式； （2）若,32=⋅OB OA 求直线l 的方程； （3）若)4332(,≤≤=⋅m m OB OA ，求三角形OAB 面积的取值范围．A BC D EF菱湖中学2014学年第一学期高三数学9月月考试卷(理科)参考答案一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分）C AD C D C B A D B 二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11、)73,76,72( 或)73,76,72( 12、π12 13、5 14、2 15、090 16、x 4=y 2 17、 ①③④ 三、解答题（本题共5小题，共72分）19.（本小题满分14分）(1) 证明： 60,2=∠===ABC CB DC AD 则4=AB ，122=AC ，则得222BC AC AB +=AC BC ⊥∴， 面⊥ACEF 平面ABCD ，面 ACEF 平面ABCD AC =⊥∴BC 平面ACEF ． （7分）（II ）过C 作AM CH ⊥交AM 于点H ，连BH ,则CHB ∠为二面角C AM B --的平面角，在BHC RT ∆中，13,3==HB CH ，13133cos =∠CHB ，则二面角C AM B --的余弦值为13133． （14分）20.（本小题满分14分）解：解 （1）1l y kx ∴=+直线的方程为21+得k <<. (4分) （2）2cos 07.AM AN AM AN AT AM AN ∴⋅=︒==∴⋅为定值 （8分） 1122(3)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+= （10分）2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k∴⋅=+=++++=+=+4(1+)24,11k k k k ∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时. （14分）21．（本小题满分15分）解析 方法一：(1)证法一：取CE 的中点G ，连接FG 、BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE ， ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .又DE ＝2AB ， ∴四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG .∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE. （5分）证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，∵F为CD的中点，∴FM∥CE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB.又AB＝12DE＝ME，∴四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE.∵FM、AM⊄平面BCE，CE、BE⊂平面BCE，∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE.又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE.∵AF⊂平面AFM，∴AF∥平面BCE. （5分）(2)证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. （10分）(3)在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连接BH，∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE.∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．设AD＝DE＝2AB＝2a，则FH＝CF sin45°＝22a，BF＝AB2＋AF2＝a2＋3a2＝2a，在Rt△FHB中，sin∠FBH＝FHBF＝24.∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为24. （15分）方法二：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)．(1)证明：AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )， ∵AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . （5分）(2)证明：∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a,0)，ED →＝(0,0，－2a )， ∴AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0，∴AF →⊥CD →，AF →⊥ED →. ∴AF →⊥平面CDE ，又AF ∥平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE . （10分）(3)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·BE →＝0，n ·BC →＝0可得x ＋3y ＋z ＝0,2x －z ＝0，取n ＝(1，－3，2)．又BF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，－a ，设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则 sin θ＝|BF →·n ||BF →|·|n |＝2a 2a ·22＝24.∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24. （15分）22．（本小题满分15分）解：1c =且直线)0(:>+=b b kx y l 与圆O 相切b >（4分）（2）设),,(),,(2211y x B y x A则由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x b kx y ，消去y 得0224)12(222=-+++b kbx x k （6分） 又1222,124),0(0822212212+-=+-=+≠>=∆k b x x k kb x x Qk k则.121222121++=+=⋅k k y y x x OB OA （8分）由.2,1,3222==∴=⋅b k OB OA.2,2:,2,0+-=+=∴=∴>x y x y l b b （10分）（3）由（2）知：,4332.12122≤≤=++m Q m k k,121,4312132222≤≤∴≤++≤∴k k k （12分） 由弦长公式得12)1(2||211221||222222++==+⋅+=k k k AB S ，k k k AB 所以解得.3246≤≤∴S（15分）。
浙江湖州中学高三数学第三次单元测试试卷(理)及其答案
浙江省湖州中学2008学年第一学期高三第三次单元测试数学试卷(理科)注意：本卷考试时间120分钟，请考生将所有题目都做在答题卷上． 参考公式：学科网如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式学科网()()()P A B P A P B +=+ V Sh =学科网如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式学科网在n 次独立重复试验中事件A 恰好13V Sh=学科网 发生k 次的概率是()1n kk kn C p k --， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高其中p 表示在一次试验中事件A 发生的概率 棱台的体积公式学科网球的表面积公式 24S R π=()1213V h S S =学科网球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R表示球的半径 h 表示棱台的高学科网试 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．学科网1．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中含1x 项的系数为560-，则n 等于 A ．4 B ．6 C ．7 D ．11 3．在等差数列{}n a 中，若79416,1a a a +==，则12a 的值是A ．64B ．31C ．30D ．154．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．,,m n m n αα若则‖‖‖ B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ C ．,,m n αβαβ若则‖‖‖ D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖ 5．如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720S =， 则在判断框中应填入关于k 的判断条件是学科网 A ．6?k ≥B ．7?k ≥C ．8?k ≥D ．9?k ≥学科网 6．已知,m n R ∈，则“0m ≠”是“0mn ≠”的 A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件7．若对(,0)a ∀∈-∞，0x R ∃∈，使0cos a x a ⋅≤成立，则0c o s 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值为D 的 A ．12 B ．12-C． D．学科网8．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为A．48+．48+．36+．36+9．设双曲线22221x y a b -=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为 A ．54 B ． 5 C． D10．已知向量a r ，b r ，c r 满足1a =r ，a b b -=r r r ，()()0a c b c -⋅-=r r r r ．若对每一确定的b r ，cr 的最大值和最小值分别为m 和 n ，则对任意b r,m n -的最小值是学科网A ．14B ．12C ．34 D ．1学科网二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 ．12．函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ．13．已知A B C ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c若a c ==75A ∠=o ，则b = ．14．某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70/km h ，否则视为违规扣分．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规扣分的汽车大约为 辆．学科网网15．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 ．16．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个．（用数字回答）17．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数．若方程()(0f x m m =＞）在区间[]8,8-上有四个不同的根1,234,,x x x x ．则1234x x x x +++= ．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是不为零的常数，123n =，，，），且123a a a ，，成等比数列．（1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求数列}{n n c n ca ⋅-的前n 项之和n T ．19．已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ︒∠=，2AC BC ==，点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（2）求1CC 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --的大小的余弦值．20．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分介于20分到40分之间的概率．21．已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，且8=AB ，动点P 满足35AP PB =，设点P 的轨迹为曲线C ，定点)0,4(M ，直线PM 交曲线C 于另外一点Q ． （1）求曲线C 的方程； （2）求OPQ ∆面积的最大值．22.已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线9:+=kx y m ，又0)1(=-'f ．（１）求a 的值；（２）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是)(x g y =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由．（３）如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．【答案】B【解析】123121z ii z i +==+-，故选B ．2．【答案】C【解析】11()r n rrr n T C x -+=⋅-，将各选项代入可得7,3n r ==，故选C ．3．【答案】D【解析】由于79412a a a a +=+ ，故选D ．4．【答案】D【解析】由线面垂直的性质知：垂直同一平面的两条直线平行，故选D ． 5．【答案】C【解析】7201098=⨯⨯，故选C ． 6．【答案】A【解析】考虑逆否命题可知选A ． 7．【答案】A【解析】：由题意和cos y x =的有界性知，又0cos 1x ≥有解，得0c o s 1x =，0001cos cos cos sin sin 6662x x x πππ⎛⎫-=⋅+⋅=⎪⎝⎭，故选A ． 8．【答案】A【解析】该棱锥的直观图如图，则有三视图可知高4PO =，3OD =，由勾股定理，得5PD =，AB =11666522S =⨯⨯+⨯⨯+14482⨯=+，故选A ．9．【答案】D【解析】双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y ,得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40ba -=，所以2ba =,2c e a ====D ．10．【答案】B【解析】设OA a =，OB b =，OC c =，AB 中点为P ，则由a b b-=r r r知，点B 在线段OA 的中垂线上，由()()0a c b c -⋅-=r r r r知，点C 在以AB 为直径的圆上，则对每一确定的b r ，c r的最大值和最小值分别为12m OC AB =-uuu r uu u r 和 12n OC AB=-uuu r uu u r，所以m n AB-=uu u r，而AB DA ≥，故m n -的最小值是12．故选B ． 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．【答案】22(2)(1)9x y -++= 【解析】设圆方程为222(2)(1)x y r -++=，则3r ==．12．【答案】 32【解析】1c o 231()si n2s i n (2)262x f x x x π-==-+，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则当262x ππ-=时，max 3()2f x =．13. 【答案】 2【解析】0sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由a c ==可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =．由正弦定理得1sin 2sin 2a b B A=⋅==．14. 【答案】110【解析】由于频率分布直方图是用面积表示频率，所以违规扣分的汽车大约为100.0111000110⨯⨯=．15．【答案】73【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC ∆．由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩得(1,1)A ，又(0,4)B ，4(0,)3C ∴S △ABC=144(4)1233-⨯=，设y k x =与34x y +=的交点为D ，则由1223BCD S S ABC ∆=∆=知12D x =，∴52D y =∴5147,2233k k =⨯+=．16．【答案】28【解析】分三种情形:0，2，4夹在两个奇数数字之间，可得128828++=． 17．【答案】8-【解析】：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以,由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[]0,2上是增函数,所以)(x f 在区间[]0,2上也是增函数.如图所示,那么方程()f x m =(0m >)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-，344x x +=所以12348x x x x +++=-．学科网1三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是不为零的常数，123n =，，，），且123a a a ，，成等比数列．（1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求数列}{n n c n ca ⋅-的前n 项之和n T ．解：（1）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =． ∵0c ≠，∴2c =． （2）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n nn n =+-=-+=，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，．（3）令nnn n n c n c a b )21)(1(-=⋅-=n n b b b b T +++=321nn )21)(1()21(3)21(2)21(0432-++++= ……① 143)21)(1()21)(2()21(2)21(021+-+-++++=n n n n n T ……② ①-②得：nn n n T 21)21(11---=-19．已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ︒∠=，2AC BC ==，点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．（1）求证：AC ⊥平面1A BC ；（2）求1CC 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --的大小．解： (1)如图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,∵BC AC ⊥,∴DE AC ⊥, 又1A D ⊥平面ABC ,以1,,DE DC DA 所在直线为,,x y z 轴建立空间坐标系,则(0,1,0)A -,(0,1,0)C ,(2,1,0)B ,1(0,0,)A t ,1(0,2,)C t ,1(0,3,)AC t =,1(2,1,)BA t =--,(2,0,0)CB =,由10AC CB ⋅=,知1AC CB ⊥,又11BA AC ⊥,从而1AC ⊥平面1A BC . (2)由21130AC BA t ⋅=-+=,得t =.设平面1A A B 的法向量为(,,)n x y z =,1(0,1AA =,(2,2,0)AB =,10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,设1z =,则33(,n =-∴点1C 到平面1A AB 的距离1||2217||AC n n d ⋅==.(3)设面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =,1(0,1CA =-,(2,0,0)CB =,∴1020m CA y m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩.设1z =,则3(0,m =,故77||||cos ,m n m n m n ⋅⋅<>==-,根据法向量的方向可知二面角1A A B C --的大小为的余弦值为7．.20．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分介于20分到40分之间的概率．解：（1）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则311152223102()3C C C C P A C ⋅⋅⋅==．解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B是互斥事件，因为1215283101()3C C C P B C ⋅⋅==所以12()1()133P A P B =-=-=． （2）由题意ξ有可能的取值为：2,3,4,5．211222223101(2)30C C C C P C ξ⋅+⋅===；211242423102(3)15C C C C P C ξ⋅+⋅===； 211262623103(4)10C C C C P C ξ⋅+⋅===；211282823108(5)15C C C C P C ξ⋅+⋅===．所以随机变量ξ的概率分布为因此ξ的数学期望为1238132345301510153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则2313()("3""4")("3")("4")151030P C P P P εεεε=====+==+=或．21．已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，且8=AB ，动点P 满足35AP PB =，设点P 的轨迹为曲线C ，定点)0,4(M ，直线PM 交曲线C 于另外一点Q ． （1）求曲线C 的方程； （2）求OPQ ∆面积的最大值．解：(1)设),(),,0(),0,(y x P b B a A ，则),(),,(y b x y a x --=-=∵PB AP 53=,∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-)(5353y b y x a x ，∴y b x a 38,58==， 又822=+=b a AB ，∴192522=+y x ∴曲线C 的方程为192522=+y x(2)由(1)可知，M (4，0)为椭圆192522=+y x 的右焦点，设直线PM 方程为 4+=my x ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+4192522m y x y x 消去x 得，08172)259(22=-++my y m ，∴25919025981)259(4)72(22222++=+⨯+⨯+=-m m m m m y y Q P∴9251202591902212222++=++⨯=-=∆m m m m y y OM S Q P OPQ2153820191612091611202222=≤+++=+++=m m m m ，当1916122+=+m m ，即37+=m 时取得最大值，此时直线方程为01273=-+y x .22.已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线9:+=kx y m ，又0)1(=-'f ．（１）求a 的值；（２）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是)(x g y =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由．（３）如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围．解：（1）因为a x ax x f 663)(2-+=',所以0)1(=-'f 即0663=--a a ,所以a=－2.(2)因为直线m 恒过点（0，9）.先求直线m 是y=g(x) 的切线.设切点为)1263,(0200++x x x ,因为66)(00+='x x g . 所以切线方程为))(66()1263(00020x x x x x y -+=++-,将点（0，9）代入得10±=x . 当10-=x 时，切线方程为y=9, 当10=x 时，切线方程为y=12x+9.由0)(/=x f 得012662=++-x x ，即有2,1=-=x x当1-=x 时，)(x f y =的切线18-=y ，当2=x 时， )(x f y =的切线方程为9=y ∴9=y 是公切线，又由12)(/=x f 得1212662=++-x x ∴0=x 或1=x ，当0=x 时)(x f y =的切线为1112-=x y ，当1=x 时)(x f y =的切线为1012-=x y ，∴912+=x y ，不是公切线 综上所述 0=k 时9=y 是两曲线的公切线(3) ①)(9x g kx ≤+得3632++≤x x kx ，当0=x ，不等式恒成立，R k ∈.当02<≤-x 时，不等式为6)1(3++≥x x k ，而6])(1)[(36)1(3+-+--=++x x x x 0623=+⋅-≤0≥∴k 当0>x 时，不等式为6)1(3++≤x x k ， 126)1(3≥++x x ∴12≤k∴当2-≥x 时,)(9x g kx ≤+恒成立，则120≤≤k②由9)(+≤kx x f 得111232923-++-≥+x x x kx当0=x 时，119-≥恒成立，R k ∈，当02<≤-x 时有x x x k 2012322-++-≤设x x x x h 201232)(2-++-==x x 208105)43(22-+--，当02<≤-x 时8105)43(22+--x 为增函数，x 20-也为增函数∴8)2()(=-≥h x h ∴要使9)(+≤kx x f 在02<≤-x 上恒成立，则8≤k由上述过程只要考虑80≤≤k ，则当0>x 时12166)(2/++-=x x x f =)2)(1(6-+-x x∴在]2,0(∈x 时0)(/>x f ，在),2(+∞时0)(/<x f ∴)(x f 在2=x 时有极大值即)(x f 在),0(+∞上的最大值，又9)2(=f ，即9)(≤x f 而当0>x ,0≥k 时99>+kx ，∴9)(+≤kx x f 一定成立综上所述80≤≤k .。
2014-2015学年浙江省湖州中学高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2014-2015学年浙江省湖州中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1） B．[0，1]C．[0，1） D．（0，1]2．（5分）“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）将函数y=cos（x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．x=π4．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 D．（x+1）2+（y+1）2=55．（5分）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a13=S13=13，则a1=（）A．﹣14 B．﹣13 C．﹣12 D．﹣117．（5分）下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个面相交B．平行于同一平面的两条直线不一定平行C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面D．若直线l不平行于平面α内不存在与l平行的直线8．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，]C．（，+∞） D．[，+∞）9．（5分）半径为R的球的内部装有4个相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值为（）A．R B．R C．R D．R10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，f（3）=．12．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（4分）已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k=．14．（4分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a6+a5的最小值为．15．（4分）已知ω＞0，函数在上单调递减，则ω的取值范围是．16．（4分）已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积．17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，其中18～20题每小题14分，第21、22题各15分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）设函数，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期，并求f（x）在区间上的最小值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若，b+c=7，△ABC的面积为，求a．19．（14分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n 为其前n 项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n 项和．（1）求数列{a n}的通项公式和T n；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：OE∥平面PCD；（Ⅱ）求直线CE与平面PDC所成角的正弦值．21．（14分）已知A，B分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线D与直线DB的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，已知P，Q是椭圆C上不同于顶点的两点，直线AP与QB交于点M，直线PB与AQ交于点N．若弦PQ过椭圆的右焦点F2，求直线MN的方程．22．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2014-2015学年浙江省湖州中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1） B．[0，1]C．[0，1） D．（0，1]【解答】解：由M中的不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即M=[0，1]；由N中的y=2x＞0，得到N=（0，+∞），则M∩N=（0，1]．故选：D．2．（5分）“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直，则3m+m （2m﹣1）=0，即2m（m+1）=0，解得m=0或m=﹣1，则“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）将函数y=cos（x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．x=π【解答】解：函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为：，再向左平移个单位得到函数为：=，所得函数的图象的一条对称轴为：．故选：C．4．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 D．（x+1）2+（y+1）2=5【解答】解；由圆（x+2）2+y2=5可知，圆心（﹣2，0），半径r=．设点（﹣2，0）关于直线x﹣y+1=0对称的点为（x，y），则，解得．∴所求圆的圆心为（﹣1，﹣1）．又∵半径r=．∴圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=5．故选：D．5．（5分）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx【解答】解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选：C．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a13=S13=13，则a1=（）A．﹣14 B．﹣13 C．﹣12 D．﹣11【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a13=S13=13，得：，即．解得：a1=﹣11，d=2．故选：D．7．（5分）下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个面相交B．平行于同一平面的两条直线不一定平行C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面D．若直线l不平行于平面α内不存在与l平行的直线【解答】解：选项A：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个面相交，正确；反证法：假设a∥α或a⊂α内，则由α∥β可知，a∥β或a⊂β，与a∩β=A相矛盾，故假设不成立；选项B：平行于同一平面的两条直线不一定平行，正确，例如正方体中的A1B1与B1C1都与平面ABCD平行，但它们相交；选项C：如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面，正确，是线面垂直判定定理的逆否命题；选项D：若直线l不平行于平面α，则α内不存在与l平行的直线，不正确，直线l不平行于平面α，则直线l可能在平面α内，很容易作出直线与直线l平行．故选：D．8．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，]C．（，+∞） D．[，+∞）【解答】解：设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为（m+c）y﹣n（x+c）=0，右焦点F2（c，0）到该直线的距离为2a，所以=2a，所以n=（m+c），所以直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0，与﹣=1联立可得（b4﹣a4）x2﹣2a4cx﹣a4c2﹣a2b4=0，因为A在右支上，所以b4﹣a4＞0，所以b2﹣a2＞0，所以c2﹣2a2＞0，所以e＞．故选：C．9．（5分）半径为R的球的内部装有4个相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值为（）A．R B．R C．R D．R【解答】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心该正四面体的高为=设正四面体的外接球半径为x，则x2=（﹣x）2+（）2∴x=r∴R=r+r，∴r=R．故选：B．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8【解答】解：∵f（x）=，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣2=；又g（x）=，∴g（x）=2+，∴g（x﹣2）﹣2=，当x≠2k﹣1，k∈Z时，上述两个函数都是关于（﹣2，2）对称，；由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的实根有3个，x1=﹣3，x2满足﹣5＜x2＜﹣4，x3满足0＜x3＜1，x2+x3=﹣4；∴方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为﹣7．故选：C．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，f（3）=4．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（3）=f（1）=f（﹣1）=log216=4．故答案为：4．12．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V1为：剪去的三棱锥体积V2为：所以几何体的体积为：13．（4分）已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k=﹣3．【解答】解：由约束条件作可行域如图，图中以k=0为例，可行域为△ABC及其内部区域，当k＜0，边界AC下移，当k＞0时，边界AC上移，均为△ABC及其内部区域．由z=2x+4y，得直线方程，由图可知，当直线过可行域内的点A时，z最小．联立，得A（3，﹣k﹣3）．∴z min=2×3+4（﹣k﹣3）=﹣4k﹣6=6，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．14．（4分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a6+a5的最小值为32．【解答】解：由题意知等比数列{a n}中a n＞0，则公比q＞0，因为2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，所以2a1•q3+a1•q2﹣2a1q﹣a1=8，即a1（2q3+q2﹣2q﹣1）=8，则a1（2q+1）（q2﹣1）=8，则a1（2q+1）=，所以2a6+a5=2a1•q5+a1•q4=q4•a1（2q+1）=q4•=，设x=，则x＞0，y==x﹣x2=﹣（x）2+≤，所以取最大值时，取到最小值32，故答案为：32．15．（4分）已知ω＞0，函数在上单调递减，则ω的取值范围是ω≤．【解答】解：∵x∈，ω＞0，∴∈（，）∵函数在上单调递减，∴周期T=≥π，解得ω≤2∵的减区间满足：，k∈Z∴取k=0，得，解之得ω≤故答案为：ω≤16．（4分）已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积．【解答】解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC 折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，∴AC=，BC=，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵当三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：=．故答案为：．17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．【解答】解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．设P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′==＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，其中18～20题每小题14分，第21、22题各15分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）设函数，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期，并求f（x）在区间上的最小值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若，b+c=7，△ABC的面积为，求a．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x﹣），∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T=π；∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，则当2x﹣=﹣时，函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣；（2）由f（A）+f（﹣A）=得：1﹣sin（2A+）+sin（2A﹣）=，化简得：cos2A=﹣，又∵0＜A＜，∴sin2A==，即sinA=，cosA=，=bcsinA=bc=2，由题意知：S△ABC解得：bc=8，又b+c=7，由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA）=25，∴a=5．19．（14分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n 为其前n 项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n 项和．（1）求数列{a n}的通项公式和T n；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）（法一）在a n2=S2n﹣1，令n=1，n=2可得即∴a1=1，d=2∴a n=2n﹣1∵b n===（）∴）=（1﹣）=（法二）∵{a n}是等差数列，∴∴=（2n﹣1）a n由a n2=S2n﹣1，得a n2=（2n﹣1）a n，又a n≠0，∴a n=2n﹣1∵b n===（）∴）=（1﹣）=（Ⅱ）∵T1=，T m=，T n=若T1，T m，T n，成等比数列，则即法一：由可得，＞0即﹣2m2+4m+1＞0∴∵m∈N且m＞1∴m=2，此时n=12∴当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n，成等比数法二：∵∴∴2m2﹣4m﹣1＜0∴∵m∈N且m＞1∴m=2，此时n=12∴当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n，成等比数20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：OE∥平面PCD；（Ⅱ）求直线CE与平面PDC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取CD中点F，连BF，AF，PF，∴AB=DF，∵AB∥DF，∴四边形ADFB是平行四边形，∴AF∩BD=O，且O为AF中点，∴OE∥PF，PF⊂平面PCD，OE⊄平面PCD，∴OE∥平面PCD；（Ⅱ）∵平行四边形ADFB中，AB=AD=2，AB⊥AD，∴四边形ADFB是正方形，∴OD⊥OF，又PB=PD=2，O为BD的中点，∴PO⊥OD，同理PO⊥AF，∴PO⊥平面ABCD，分别以OD，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图可得平面PDC的一个法向量为，=（），所以直线CE的一个方向向量为，设所求线面角为θ，所以；所以直线CE与平面PDC所成角的正弦值为．21．（14分）已知A，B分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线D与直线DB的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，已知P，Q是椭圆C上不同于顶点的两点，直线AP与QB交于点M，直线PB与AQ交于点N．若弦PQ过椭圆的右焦点F2，求直线MN的方程．【解答】解：（1）∵点在椭圆C上，∴，又直线DA与直线DB的斜率之积为﹣，∴==﹣，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：．（2）设PQ：x=ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴，，∴直线AP的直线方程为，BQ的直线方程为，联立，解得x M=4，同理，x N=4，∴直线MN的方程为x=4．22．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），因为f（x）连续，所以f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，所以，解得，b≥2；（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，当2≤a≤4时，＜≤a，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，a）上递减，在（a，+∞）上递增，（x）=f（）=﹣a+1，所以f极大f极小（x）=f（a）=﹣2a，所以对2≤a≤4恒成立，解得：0＜t＜1，当﹣2＜a＜2时，＜a＜，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，）上递减，在（，+∞）上递增，（x）=f（）=﹣a+1，所以f极大f极小（x）=f（）=﹣﹣a﹣1，所以﹣﹣a﹣1＜﹣2ta＜﹣a+1对﹣2＜a＜2恒成立，解得：0≤t≤1，综上所述，0＜t＜1．。
湖州市2015年高三数学二模试题卷(理) (1)
三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16．(本小题满分 15 分) 在 ABC 中,已知 AB 2 , cos B
1 . 3
(Ⅰ) 若 AC 2 2 ，求 sin C 的值； (Ⅱ) 若点 D 在边 AC 上,且 AD 2 DC , BD
4 3 ,求 BC 的长. 3
高三（理科）数学试题卷（共 4 页）——第 3 页
17．(本小题满分 15 分) 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 1 ， PB PC BC 2 ，
AB AC 3 ．
（Ⅰ）求证：平面 PAC 平面 ABC ； （Ⅱ）求二面角 A PC B 的余弦值． （第 17 题图） 18． （本小题满分 15 分） 设数列 an 的前 n 项和为 S n ．已知 a1 a ( a 3) ， an 1 S n 3 ， n N ．
(第 8 题图)
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第
Ⅱ
卷
（非选择题部分，共 110 分）
注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效． 二、填空题(本大题共 7 小题，第 9 至 12 题，每题 6 分，第 13 至 15 题每题 4 分，共 36 分． ) 9．设全集 U R ，集合 A x x 2 x 4 0 ， B x x 3 ， 则 A B ▲ ， A B ▲ ， CU B ▲ ． ▲ ；
B． z 有最大值 2 ，无最小值 D． z 有最小值 2 ，无最大值
6．已知矩形 ABCD ， AB 2 ， BC 1 ．将 ABC 沿矩形的对角线 AC 所在的直线进行 翻折，在翻折过程中 A．存在某个位置，使得 AD BC 0 B．存在某个位置，使得 AB CD 0 C．存在某个位置，使得 AC BD 0 D．对任意位置， AD BC ， AB CD ， AC BD 均不等于零 7．已知函数 f x 2 x bx c （ b, c R ） 的定义域是 0, 2 ， 记 f x 的最大值是 M ，
【数学】2015-2016年浙江省湖州中学高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2015-2016学年浙江省湖州中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A={x|x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|x＞a}，若A∩B={x|x≥2}，则所有实数a组成的集合为（）A．{a|a≥2}B．{a|a≤2}C．{a|﹣1≤a≤2}D．{a|﹣1≤a＜2}2．（5分）若函数f（x）=cos2x，g（x）=sin2x，则“＜x＜”是“f（x）＜g（x）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设等差数列{a n}和等比数列{b n}首项都是1，公差和公比都是2，则a+a+a=（）A．24 B．25 C．26 D．274．（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．5．（5分）设函数f（x）=，若f[f（a）]＞f[f（a）+1]，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0]B．[﹣1，0]C．（﹣5，﹣4]D．[﹣5，﹣4]6．（5分）已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2 C．D．7．（5分）设点p（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）上的动点，且满足+≤2，则a+b的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[1，2]C．[1，+∞）D．（0，2]8．（5分）如图，矩形CDEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面垂直，AD=，DE=，AB=4，EG=EF，点M在线段GF上（包括两端点），点N在线段AB上，且=，则二面角M﹣DN﹣C的平面角的取值范围为（）A．[30°，45°]B．[45°，60°]C．[30°，90°） D．[60°，90°）二、填空题（本题共有7小题，其中第9题每空2分，第10、11、12题每空3分，第13、14、15题每空4分，共36分）9．（6分）已知x∈[，π]，且sin（2x﹣）=，则cos2x=，sinx=，tanx=．10．（6分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+5=2a4，a10=﹣3，则a1=，S8=．11．（6分）已知直线Ax+By+C=0（A2+B2=C2）与圆x2+y2=4交于M，N两点，O 为坐标原点，则|MN|等于，•等于．12．（6分）已知向量，的夹角为，|﹣|=||=5，向量﹣，﹣的夹角为，|﹣|=2，则﹣与﹣的夹角正弦值为，||=．13．（4分）若存在x0∈[1，3]，|x02﹣ax0+4|≤3x0，则实数a的取值范围是．14．（4分）已知点A（﹣），在抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若=3，则点A到动直线MN的最大距离为．15．（4分）已知A={（x，y）|ax+by=1}，B={（x，y）|x≥0，y≥1，x+y≤2}，若A∩B≠∅恒成立，则a2+b2+2a+3b的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）设锐角三角形ABC的三内角为A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=cosxsin（x+）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（A）的取值范围；（Ⅱ）若f（A）=，△ABC的面积为，求•的取值范围．17．（15分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）设{b n﹣（﹣1）n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71，求数列{b n}的前n项和T n．18．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．（15分）如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆T1，T2都过点M（0，﹣），且椭圆T1与T2的离心率均为．（Ⅰ）求椭圆T1与椭圆T2的标准方程；（Ⅱ）过点M引两条斜率分别为k，k′的直线分别交T1，T2于点P，Q，当k′=4k 时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（15分）已知函数f（x）=x2+|x+1﹣a|，其中a为实常数．（Ⅰ）若a=1，判断f（x）在[﹣，]上的单调性；（Ⅱ）若存在x∈R，使不等式f（x）≤2|x﹣a|成立，求a的取值范围．2015-2016学年浙江省湖州中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A={x|x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|x＞a}，若A∩B={x|x≥2}，则所有实数a组成的集合为（）A．{a|a≥2}B．{a|a≤2}C．{a|﹣1≤a≤2}D．{a|﹣1≤a＜2}【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥2，即A={x|x≤﹣1或x≥2}，∵B={x|x＞a}，且A∩B={x|x≥2}，∴a的范围为{a|﹣1≤a＜2}，故选：D．2．（5分）若函数f（x）=cos2x，g（x）=sin2x，则“＜x＜”是“f（x）＜g（x）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵＜x＜，∴，∴cos2x＜sin2x，即f（x）＜g（x）；反之不成立，例如取x=．满足f（x）＜g（x）．因此“＜x＜”是“f（x）＜g（x）”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）设等差数列{a n}和等比数列{b n}首项都是1，公差和公比都是2，则a+a+a=（）A．24 B．25 C．26 D．27【解答】解：等比数列{b n}首项是1，公比是2，∴b2=2，b3=4，b4=8，等差数列{a n}首项是1，公差是2，+a4+a8=3a1+11d=3+11×2=25．∴a+a+a=a故选：B．4．（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．【解答】解：∵锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又∵锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，A中图形的面积为4，不满足要求；B中图形的面积为π，不满足要求；C中图形的面积为2，满足要求；D中图形的面积为，不满足要求；故选：C．5．（5分）设函数f（x）=，若f[f（a）]＞f[f（a）+1]，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0]B．[﹣1，0]C．（﹣5，﹣4]D．[﹣5，﹣4]【解答】解：当f（a）≤0，f（a）+1≤0，即a≤﹣5时；f[f（a）]=f（4+a）=8+a，f[f（a）+1]=9+a，故f[f（a）]＜f[f（a）+1]，故f[f（a）]＞f[f（a）+1]不成立；当f（a）≤0，0＜f（a）+1≤4，即﹣5＜a≤﹣4时，f[f（a）]=8+a，f[f（a）+1]=f（5+a）=（5+a）2，8+a＞（5+a）2在（﹣5，﹣4]上显然成立；故结合选项可知，A，B，D一定不正确，故选：C．6．（5分）已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2 C．D．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，）∴|解得：，c=2则双曲线的离心率为2，故选：A．7．（5分）设点p（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）上的动点，且满足+≤2，则a+b的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[1，2]C．[1，+∞）D．（0，2]【解答】解：由a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）．分类讨论：当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax﹣by=1；当x≤0，y≥0时，化为﹣ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为﹣ax﹣by=1．画出图象：其轨迹为四边形ABCD．+≤2，变形为+，上式表示点M（0，1），N（0，﹣1）与图象上的点P的距离之和≤2．∴，化为，a≥1．∴a+b≥1+=2，同理b≥1时也成立．其取值范围为[2，+∞），故选：A．8．（5分）如图，矩形CDEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面垂直，AD=，DE=，AB=4，EG=EF，点M在线段GF上（包括两端点），点N在线段AB上，且=，则二面角M﹣DN﹣C的平面角的取值范围为（）A．[30°，45°]B．[45°，60°]C．[30°，90°） D．[60°，90°）【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵AD=，DE=，AB=4，EG=EF=1，点M在线段GF上（包括两端点），点N在线段AB上，且=，∴0≤AN=EM≤3，D（0，0，0），设N（，a﹣1，0），a∈[1，4]，则M（0，a，），=（），=（0，a，），设平面DMN的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，﹣）平面DNC的法向量=（0，0，1），设二面角M﹣DN﹣C的平面角为θ，则cosθ===∈[，]，∴45°≤θ≤60°．∴二面角M﹣DN﹣C的平面角的取值范围为[45°，60°]．故选：B．二、填空题（本题共有7小题，其中第9题每空2分，第10、11、12题每空3分，第13、14、15题每空4分，共36分）9．（6分）已知x∈[，π]，且sin（2x﹣）=，则cos2x=﹣，sinx=，tanx=﹣．【解答】解：∵x∈[，π]，sin（2x﹣）=﹣cos2x=，∴2x﹣∈[，]，cos2x=﹣，∴cos2x=1﹣sin2x=，即sin2x=，解得：sinx=，cosx=﹣=﹣，则tanx=﹣．故答案为：﹣；；﹣10．（6分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+5=2a4，a10=﹣3，则a1=15，S8=64．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵a2+5=2a4，a10=﹣3，∴，即，解得a1=15，d=﹣2；∴S8=8×15+×8×7×（﹣2）=64．故答案为：15，64．11．（6分）已知直线Ax+By+C=0（A2+B2=C2）与圆x2+y2=4交于M，N两点，O为坐标原点，则|MN|等于，•等于﹣2．【解答】解：如图，圆心到直线的距离是d=，又A2+B2=C2，∴d==1．又圆的半径是2，∴|MN|=2；sin∠OMN=sin∠ONM=．∴∠OMN=∠ONM=30°，可得∠MON=120°．故•=2×2×cos120°=﹣2．故答案为：，﹣2．12．（6分）已知向量，的夹角为，|﹣|=||=5，向量﹣，﹣的夹角为，|﹣|=2，则﹣与﹣的夹角正弦值为，||=4+或．【解答】解：作=，=，=，则=﹣，向量﹣=，﹣=，由题意可得△OAB为边长为5的等边三角形，向量﹣，﹣的夹角为，可得∠ACB=120°，由∠AOB+∠ACB=180°，可得四点O，A，B，C共圆，在△ABC中，CA=2，AB=5，∠ACB=120°，由正弦定理可得sin∠CBA===，在△OAC中，OA=5，AC=2，∠OCA=60°，由余弦定理可得52=OC2+12﹣2OC•2•，解得OC=4+．当C在△OAB中，同理可得sin∠CBA=，OC=．故答案为：，4+或．13．（4分）若存在x0∈[1，3]，|x02﹣ax0+4|≤3x0，则实数a的取值范围是1≤a≤8．【解答】解：命题“存在x0∈[1，3]，|x02﹣ax0+4|≤3x0”，的否定是：“任意x∈[1，3]，|x2﹣ax+4|＞3x”，它等价于x2﹣ax+4＞3x①，或x2﹣ax+4＜﹣3x②；由①得，a＜x+﹣3，且x+在x∈[1，3]上的最小值是2+2=4，∴a＜1；由②得，a＞x++3，且x+在x∈[1，3]上的最大值为1+4=5，∴a＞8；由①②知，a＜1或a＞8，它的否定是1≤a≤8，∴实数a的取值范围是1≤a≤8．故答案为：1≤a≤8．14．（4分）已知点A（﹣），在抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若=3，则点A到动直线MN的最大距离为．【解答】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，由题意得﹣=﹣，解得p=1．即有抛物线方程为y2=2x，设直线MN的方程为：x=ty+m，点M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN与x轴的交点为D（m，0），x=ty+m代入y2=2x，可得y2﹣2ty﹣2m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣2m，∵•=3，∴x1•x2+y1•y2=3，从而（y1•y2）2+y1•y2﹣3=0，∵点M，N位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣6，故m=3．当y=0时，x=3恒成立，故直线MN所过的定点坐标是D（3，0），当直线MN绕着定点D（3，0）旋转时，AD⊥MN，即有点A到动直线MN的距离最大，且为=．故答案为：．15．（4分）已知A={（x，y）|ax+by=1}，B={（x，y）|x≥0，y≥1，x+y≤2}，若A∩B≠∅恒成立，则a2+b2+2a+3b的取值范围是．【解答】解：如图1所示，集合B表示的图形如△ABC．若A∩B=∅，则，或，．作出可行域如图2，利用补集的思想可得：由于A∩B≠∅恒成立，则表示的点集为去掉虚线表示的部分，由于（a+1）2+表示点与上述点集的点之间的两点之间的距离的平方．∴a2+b2+2a+3b=（a﹣1）2+﹣≥（1﹣1）2+﹣=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）设锐角三角形ABC的三内角为A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=cosxsin（x+）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（A）的取值范围；（Ⅱ）若f（A）=，△ABC的面积为，求•的取值范围．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）f（x）=cosxsin（x+）﹣cos2x=cosx（sinx+cosx）﹣=sin2x+（1+cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分因为是锐角三角形，所以A∈（0，），所以2A﹣∈（﹣，），所以sin（2A﹣）∈（﹣，1]，所以f（A）∈（﹣，]；﹣﹣﹣﹣8分（Ⅱ）因为f（A）=，所以sin（2A﹣）=1，又因为：2A﹣∈（﹣，），所以：2A﹣=，即A=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分又△ABC的面积为=bcsinA，所以bc=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分所以•=bccosA=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分．17．（15分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）设{b n﹣（﹣1）n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a1=2且a2，a4，a8成等比数列，∴（3d+2）2=（d+2）（7d+2），解得d=2，故a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n．（Ⅱ）令，设{c n}的公比为q，∵b2=7，b5=71，a n=2n，∴c2=b2﹣a2=7﹣4=3，c5=b5+a5=71+10=81，∴，故q=3，∴，即，∴．T n=b1+b2+b3+…+b n=（30+31+…+3n﹣1）+[﹣2+4﹣6+…+（﹣1）n2n]当n为偶数时，；当n为奇数时，=．∴．18．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…（6分）=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…（10分）于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）19．（15分）如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆T1，T2都过点M（0，﹣），且椭圆T1与T2的离心率均为．（Ⅰ）求椭圆T1与椭圆T2的标准方程；（Ⅱ）过点M引两条斜率分别为k，k′的直线分别交T1，T2于点P，Q，当k′=4k 时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆T1与T2的离心率e==．∴a=b=c∵焦点分别在x轴和y轴上的椭圆T1，T2都过点M（0，﹣），故椭圆T1的b=c=，a=2，椭圆T2的b=c=1，a=，故椭圆T1与椭圆T2的标准方程分别为：，；（Ⅱ）直线MP的方程为，联立椭圆方程得：，消去y得，则P点的横坐标为，则点P的坐标为（，）同理可得点Q的坐标为：（，），故直线PQ的斜率k PQ==﹣，则直线PQ的方程为：y﹣=﹣（x﹣），即y=﹣x+，即当x=0时，y=，故直线PQ过定点（0，）．20．（15分）已知函数f（x）=x2+|x+1﹣a|，其中a为实常数．（Ⅰ）若a=1，判断f（x）在[﹣，]上的单调性；（Ⅱ）若存在x∈R，使不等式f（x）≤2|x﹣a|成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，函数f（x）=x2+|x|=，故f（x）在[﹣，0）上是减函数，在[0，]上是增函数．（Ⅱ）先求使不等式f（x）＞2|x﹣a|对x∈R恒成立时a的取值范围．①当x≤a﹣1时，不等式化为x2﹣x﹣1+a＞2（a﹣x），即x2+x﹣1＞a，∴﹣＞a，若a ﹣1≥﹣，即a ≥，则由不等式可得a ＜﹣，矛盾．若a ﹣1＜﹣，即a ＜，则由不等式可得a ＜（a ﹣1）2+（a ﹣1）﹣1，即a 2﹣2a ﹣1＞0，求得a ＞1+，或a ＜1﹣，∴a ＜1﹣．（2）当a ﹣1＜x ≤a 时，不等式化为x 2+x +1﹣a ＞2（a ﹣x ），即﹣＞3a ，若a ﹣1＜﹣≤a ，即﹣≤a ＜﹣，此时3a ＜﹣，a ＜﹣，结合条件，得﹣≤a ＜﹣．若a ﹣1≥﹣，即a ≥﹣，3a ≤（a ﹣1）2+3（a ﹣1）+1，即a 2﹣2a ﹣1＞0，解得a ≥1+或a ≤1﹣．结合条件及（1），得﹣≤a ＜1﹣．若a ＜﹣，3a ＜a 2+3a +1恒成立． 综合得a ＜1﹣．（3）当x ＞a 时，不等式化为x 2+x +1＞2（x ﹣a ），即x 2﹣x +1＞﹣a ，解得a ＞﹣． 结合（2）可得﹣＜a ＜1﹣．所以，使不等式使不等式f （x ）＞2|x ﹣a |恒成立的a 的取值范围是﹣＜a ＜1﹣．故本题所要求的a 的取值范围是a ≥1﹣，或a ≤﹣．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
浙江省湖州市2015届高三下学期第三次教学质量调测数学(文)试题 含解析
第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{12345}U =，，，，，{123}A =，，，{24}B =，,则()UA B =A ．{1235}，，， B ．{24}， C ．{13}， D ．{25}， 【答案】C考点：集合运算.2.已知m ,n 都是非零实数,则“m n =”是“22mn =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析:由2222,m n mn m n m n =⇒==⇔=±可知应选A 。
考点：充分条件与必要条件。
3.为得到函数sin(3)4y x π=+的图象,只要把函数sin()4y x π=+图象上所有的点 A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的31倍,纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的31倍，横坐标不变【答案】B 【解析】试题分析:把()f x 图像上所有点的横坐标变化到原来的()10ωω>倍,纵坐标不变,可得()f x ω的图像,由此结论可知选B 。
考点:三角函数图像的平移。
4.等比数列{}na 的前n 项和为nS ,已知84=a,且11n n S pS +=+，则实数p 的值为A ．1B ．2C ．34 D ．4【答案】B考点：等比数列.5。
已知实数x ，y 满足10220220.x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，则3x y -的最小值为 A ．4- B ．3- C ．0 D ．1 【答案】A 【解析】试题分析：满足10220220.x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，的区域是以()1,0，()0,1，()2,2为顶点的三角形区域,3x y -的最小值在顶点处取得，经验证2,2x y ==时3x y -的值最小为—4,故选A.。
浙江省湖州市2015届高三第三次教学质量调测数学文试题_Word版含答案
2015年湖州市高三第三次教学质量调测 数学 文科注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式 V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V =13Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{12345}U =，，，，，{123}A =，，，{24}B =，，则()UA B =ðA ．{1235}，，， B ．{24}， C ．{13}， D ．{25}， 2．已知m ，n 都是非零实数，则“m n =”是“22m n =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．为得到函数sin(3)4y x π=+的图象，只要把函数sin()4y x π=+图象上所有的点A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的31倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的31倍，横坐标不变4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知84=a ，且11n n S pS +=+，则实数p 的值为A ．1B ．2 CD ．45．已知实数x ，y 满足10220220.x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，则3x y -的最小值为A ．4-B ．3-C ．0D ．16．已知双曲线2222C :1(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P ．若12PF PF ⊥，则C 的离心率为 A B C ．2D 7．在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面1111A B C D ，底 面1111A B C D 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 的长为b ，E 为侧棱1BB 上的动点（包括端点），则A ．对任意的a ，b ，存在点E ，使得11B D EC ⊥ B ．当且仅当a b =时，存在点E ，使得11BD EC ⊥ C ．当且仅当a b ≥时，存在点E ，使得11B D EC ⊥ D ．当且仅当a b ≤时，存在点E ，使得11B D EC ⊥8．已知向量b a ⊥，2=-b a ，定义：b a c )1(λλλ-+=，其中10≤≤λ．若1212λ⋅=c c ，则λc 的最大值为A ．12 B ．2C ．1D 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题 (本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分)9．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，()()2l o g 23f x x =+-，则(6)f = ▲ ，()(0)f f = 6正视图 侧视图E1D1C 1BDCB 1AA（第7题图）▲ ，表面积为 ▲ ．11．直线l ：210x y --=与圆()221x y m +-=相切．则直线l 的斜率为 ▲ ，实数m 的值为 ▲ ．12.已知α，β为锐角，3sin 5α=，tan 2β=，则sin 2απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭▲ ，()tan αβ+= ▲ ．13．已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 ▲ .14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为正整数．．．d .若22331S a +=，则d 的值为▲ ． 15．设关于x 的方程210x ax --=和220x x a --=的实根分别为12x x ，和34x x ，．若1324x x x x <<<，则实数a 的取值范围为 ▲ ．三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)16. （本题满分15分）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．已知()2cos cos c a B b A -=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若21a c -=，且△ABC ，求边a 的长. 17．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足：12a =，21n n n a a ka k +=-+，（k ∈R ），1a ，2a ，3a 分别是公差不为零的等差数列{}n b 的前三项． （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求证：对任意的N n *∈，n b ，2n b ，4n b 不可能．．．成等比数列.18．（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，△ABC 是边长为2的正三角形，90PCA ︒∠=， E ，H 分别为AP ，AC 的中点，4AP =，BE = （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEH ；（Ⅱ）求直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值． 19．（本题满分15分） 已知a ∈R ，函数()21f x x a x =--． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）当0a <时，讨论()y f x =的图象与y x a =-的图象的公共点个数．20．（本题满分14分）抛物线C ：24x y =，直线1l ：y kx =交C 于点A ，交准线于点M ．过点M 的直线2l 与抛物线C 有唯一的公共点B （A ，B 在对称轴的两侧），且与x 轴交于点N ． （Ⅰ）求抛物线C 的准线方程； （Ⅱ）求:AOB MON S S ∆∆的取值范围．数学（文）参考答案（第20题图）HECBAP（第18题图）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．D 7．D 8．C二、填空题 (本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分)9．0，1- 10．288，336 11．12，12-± 12．45，112-13．12 14．1 15．30,2⎛- ⎝⎭ 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)16. （本题满分15分）解：（Ⅰ）因为()2cos cos c a B b A -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos C A B B A -=．………………………………………… 2分即()2sin cos sin cos cos sin sin sin C B A B A B A B C =+=+=． ………… 5分 所以1cos 2B =，即3B π=． …………………………………………………… 7分（Ⅱ）因为△ABC ， 所以1sin 2ABC S ac B ∆==． ………… 9分 所以10ac =． ……………………………………………………………… 11分又因为21a c -=， 所以5a =．……………………………………………… 15分 17．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）因为12a =，所以24a k =-，2321116a k k =-+．……………… ２分又因为2132a a a =+，所以229100k k -+=，解得2k =或52． ………… 5分 又因为{}n b 的公差不为零，所以52k =．…………………………………… 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，52n nb -=．…………………………………………………… 10分 假如n b ，2n b ，4n b 成等比数列，则242n n n b b b =．………………………… 12分代入化简得： ()()()255452n n n --=-，解得0n =．……………………14分 与N n *∈矛盾， 故n b ，2n b ，4n b 不可能．．．成等比数列．…………………… 15分 18．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）因为△ABC 是边长为2的正三角形, 所以AC BH ⊥．………………２分又因为E ，H 分别为AP ，AC 的中点， 得//EH PC ，因为︒=∠90PCA ， 所以EH AC ⊥．……………………………… 5分故⊥AC 平面BEH ．…………………………………………………… 7分 （Ⅱ）取BH 得中点G ，连接AG ．……………………………………………9分因为EH BH BE ===，所以BH EG ⊥． 又因为⊥AC 平面BEH ， 所以AC EG ⊥，所以⊥EG 平面ABC ．所以EAG ∠为PA 与平面ABC 所成的角．… 12分 在直角三角形EAG 中，2AE =，23=EG , 所以3sin 4EG EAG EA ∠==．………… 15分 所以PA 与平面ABC 所成的角的正弦值为34．19．（本题满分15分）（Ⅰ）解：()221,1,1, 1.x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨+-<⎪⎩……………………………………………… ２分当1x ≥时，()()11f x f ≥=； 当1x <时，()1524f x f ⎛⎫≥-=-⎪⎝⎭．……………………………………… 4分 所以，()min 1524f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．………………………………………… 5分 （Ⅱ）解：设()()2()1h x f x g x x a x x a =-=----0a <时，()()()()22212,1,1,1,12..x a x a x h x x a x a x x a x a x a ⎧-++≥⎪⎪=+-≤<⎨⎪++-<⎪⎩ ………………………………………… 7分1x ≥时， (1)0h a =<．所以1x ≥时，一个零点．……………………………………………………………9分1a x ≤<时，10x =，211x a =->，（舍去）所以，1a x ≤<时，一个零点．………………………………………………… 11分x a <时，2101a a ∆=++，对称轴12a x +=-，()()210h a a a =-> G BHECAP所以（ⅰ）13a ≤-时，0∆>，对称轴12a x a +=-≥，无零点；（ⅱ）153a -<<-+21010a a ∆=++<，无零点；（ⅲ）5a =-+25x a ==-+，一个零点；（ⅳ）50a -+<<时，21010a a ∆=++>，对称轴12a x a +=-<，两个零点．………… 13分 综上，（ⅰ）5a <-+ ()y f x =与()y g x =的图像的公共点有2个；（ⅱ）5a =-+()y f x =与()y g x =的图像的公共点有3个；（ⅲ）50a -+<时，()y f x =与()y g x =的图像的公共点有4个．………… 15分20．（本题满分15分）（Ⅰ）解：1y =-．………… 4分 （Ⅱ）解：不妨设点A 在y 轴的左侧．则1(,1)M k--，设2l 的斜率为m ，2l ：211()4y m x k x y⎧+=+⎪⎨⎪=⎩， 24440m x mx k -+-=，…… 6分 24164(4)0m m k ∆=--=，得 2110m k m-=<．………8分得2(2,)B m m ，所以有1m >．2(4,)A k k ，11(,0)N m k -，11||ON m m k =-=,12MON S m ∆=．…………………………………… 10分 B 到1l的距离2d =4||OA k =所以，212|||2|2AOBS OA d k km m ∆==-=2422|2|||(1)m m m m +-．……………………… 12分 故:AOBMON S S ∆∆=24224()(1)m m m +-．第20题图令21,(0)m t t -=<，则2131:8()442AOB MON S S t ∆∆=-->．………………………… 14分。
2025届浙江省湖州市菱湖中学高考适应性考试数学试卷含解析
2025届浙江省湖州市菱湖中学高考适应性考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞2．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．4．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．22C ．2D ．13-5．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．不充分不必要7．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9B ．12C ．15-D ．18-9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A．5B ．15C．10D．510． “11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”是“221x y +≤”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194B ．1695C ．311D ．109512．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =-，()3,b t =-，且()a ab ⊥+，则b =（ ） A ．3BC．D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江湖州中学高三数学第三次单元测试试卷(理)及其答案
浙江省湖州中学2008学年第一学期高三第三次单元测试数学试卷(理科)注意：本卷考试时间120分钟，请考生将所有题目都做在答题卷上． 参考公式：学科网如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式学科网()()()P A B P A P B +=+ V Sh =学科网如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式学科网在n 次独立重复试验中事件A 恰好13V Sh=学科网 发生k 次的概率是()1n kk kn C p k --， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高其中p 表示在一次试验中事件A 发生的概率 棱台的体积公式学科网球的表面积公式 24S R π=()1213V h S S =学科网球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R表示球的半径 h 表示棱台的高学科网试 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．学科网1．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中含1x 项的系数为560-，则n 等于 A ．4 B ．6 C ．7 D ．11 3．在等差数列{}n a 中，若79416,1a a a +==，则12a 的值是A ．64B ．31C ．30D ．154．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．,,m n m n αα若则‖‖‖ B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ C ．,,m n αβαβ若则‖‖‖ D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖ 5．如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720S =， 则在判断框中应填入关于k 的判断条件是学科网 A ．6?k ≥B ．7?k ≥C ．8?k ≥D ．9?k ≥学科网 6．已知,m n R ∈，则“0m ≠”是“0mn ≠”的 A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件7．若对(,0)a ∀∈-∞，0x R ∃∈，使0cos a x a ⋅≤成立，则0c o s 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值为D 的 A ．12 B ．12-C． D．学科网8．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为A．48+．48+．36+．36+9．设双曲线22221x y a b -=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为 A ．54 B ． 5 C． D10．已知向量a r ，b r ，c r 满足1a =r ，a b b -=r r r ，()()0a c b c -⋅-=r r r r ．若对每一确定的b r ，cr 的最大值和最小值分别为m 和 n ，则对任意b r,m n -的最小值是学科网A ．14B ．12C ．34 D ．1学科网二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 ．12．函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ．13．已知A B C ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c若a c ==75A ∠=o ，则b = ．14．某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70/km h ，否则视为违规扣分．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规扣分的汽车大约为 辆．学科网网15．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 ．16．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个．（用数字回答）17．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数．若方程()(0f x m m =＞）在区间[]8,8-上有四个不同的根1,234,,x x x x ．则1234x x x x +++= ．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是不为零的常数，123n =，，，），且123a a a ，，成等比数列．（1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求数列}{n n c n ca ⋅-的前n 项之和n T ．19．已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ︒∠=，2AC BC ==，点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（2）求1CC 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --的大小的余弦值．20．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分介于20分到40分之间的概率．21．已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，且8=AB ，动点P 满足35AP PB =，设点P 的轨迹为曲线C ，定点)0,4(M ，直线PM 交曲线C 于另外一点Q ． （1）求曲线C 的方程； （2）求OPQ ∆面积的最大值．22.已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线9:+=kx y m ，又0)1(=-'f ．（１）求a 的值；（２）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是)(x g y =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由．（３）如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．【答案】B【解析】123121z ii z i +==+-，故选B ．2．【答案】C【解析】11()r n rrr n T C x -+=⋅-，将各选项代入可得7,3n r ==，故选C ．3．【答案】D【解析】由于79412a a a a +=+ ，故选D ．4．【答案】D【解析】由线面垂直的性质知：垂直同一平面的两条直线平行，故选D ． 5．【答案】C【解析】7201098=⨯⨯，故选C ． 6．【答案】A【解析】考虑逆否命题可知选A ． 7．【答案】A【解析】：由题意和cos y x =的有界性知，又0cos 1x ≥有解，得0c o s 1x =，0001cos cos cos sin sin 6662x x x πππ⎛⎫-=⋅+⋅=⎪⎝⎭，故选A ． 8．【答案】A【解析】该棱锥的直观图如图，则有三视图可知高4PO =，3OD =，由勾股定理，得5PD =，AB =11666522S =⨯⨯+⨯⨯+14482⨯=+，故选A ．9．【答案】D【解析】双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y ,得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40ba -=，所以2ba =,2c e a ====D ．10．【答案】B【解析】设OA a =，OB b =，OC c =，AB 中点为P ，则由a b b-=r r r知，点B 在线段OA 的中垂线上，由()()0a c b c -⋅-=r r r r知，点C 在以AB 为直径的圆上，则对每一确定的b r ，c r的最大值和最小值分别为12m OC AB =-uuu r uu u r 和 12n OC AB=-uuu r uu u r，所以m n AB-=uu u r，而AB DA ≥，故m n -的最小值是12．故选B ． 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．【答案】22(2)(1)9x y -++= 【解析】设圆方程为222(2)(1)x y r -++=，则3r ==．12．【答案】 32【解析】1c o 231()si n2s i n (2)262x f x x x π-==-+，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则当262x ππ-=时，max 3()2f x =．13. 【答案】 2【解析】0sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由a c ==可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =．由正弦定理得1sin 2sin 2a b B A=⋅==．14. 【答案】110【解析】由于频率分布直方图是用面积表示频率，所以违规扣分的汽车大约为100.0111000110⨯⨯=．15．【答案】73【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC ∆．由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩得(1,1)A ，又(0,4)B ，4(0,)3C ∴S △ABC=144(4)1233-⨯=，设y k x =与34x y +=的交点为D ，则由1223BCD S S ABC ∆=∆=知12D x =，∴52D y =∴5147,2233k k =⨯+=．16．【答案】28【解析】分三种情形:0，2，4夹在两个奇数数字之间，可得128828++=． 17．【答案】8-【解析】：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以,由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[]0,2上是增函数,所以)(x f 在区间[]0,2上也是增函数.如图所示,那么方程()f x m =(0m >)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-，344x x +=所以12348x x x x +++=-．学科网1三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是不为零的常数，123n =，，，），且123a a a ，，成等比数列．（1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求数列}{n n c n ca ⋅-的前n 项之和n T ．解：（1）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =． ∵0c ≠，∴2c =． （2）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n nn n =+-=-+=，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，．（3）令nnn n n c n c a b )21)(1(-=⋅-=n n b b b b T +++=321nn )21)(1()21(3)21(2)21(0432-++++= ……① 143)21)(1()21)(2()21(2)21(021+-+-++++=n n n n n T ……② ①-②得：nn n n T 21)21(11---=-19．已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ︒∠=，2AC BC ==，点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．（1）求证：AC ⊥平面1A BC ；（2）求1CC 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --的大小．解： (1)如图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,∵BC AC ⊥,∴DE AC ⊥, 又1A D ⊥平面ABC ,以1,,DE DC DA 所在直线为,,x y z 轴建立空间坐标系,则(0,1,0)A -,(0,1,0)C ,(2,1,0)B ,1(0,0,)A t ,1(0,2,)C t ,1(0,3,)AC t =,1(2,1,)BA t =--,(2,0,0)CB =,由10AC CB ⋅=,知1AC CB ⊥,又11BA AC ⊥,从而1AC ⊥平面1A BC . (2)由21130AC BA t ⋅=-+=,得t =.设平面1A A B 的法向量为(,,)n x y z =,1(0,1AA =,(2,2,0)AB =,10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,设1z =,则33(,n =-∴点1C 到平面1A AB 的距离1||2217||AC n n d ⋅==.(3)设面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =,1(0,1CA =-,(2,0,0)CB =,∴1020m CA y m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩.设1z =,则3(0,m =,故77||||cos ,m n m n m n ⋅⋅<>==-,根据法向量的方向可知二面角1A A B C --的大小为的余弦值为7．.20．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分介于20分到40分之间的概率．解：（1）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则311152223102()3C C C C P A C ⋅⋅⋅==．解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B是互斥事件，因为1215283101()3C C C P B C ⋅⋅==所以12()1()133P A P B =-=-=． （2）由题意ξ有可能的取值为：2,3,4,5．211222223101(2)30C C C C P C ξ⋅+⋅===；211242423102(3)15C C C C P C ξ⋅+⋅===； 211262623103(4)10C C C C P C ξ⋅+⋅===；211282823108(5)15C C C C P C ξ⋅+⋅===．所以随机变量ξ的概率分布为因此ξ的数学期望为1238132345301510153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则2313()("3""4")("3")("4")151030P C P P P εεεε=====+==+=或．21．已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，且8=AB ，动点P 满足35AP PB =，设点P 的轨迹为曲线C ，定点)0,4(M ，直线PM 交曲线C 于另外一点Q ． （1）求曲线C 的方程； （2）求OPQ ∆面积的最大值．解：(1)设),(),,0(),0,(y x P b B a A ，则),(),,(y b x y a x --=-=∵PB AP 53=,∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-)(5353y b y x a x ，∴y b x a 38,58==， 又822=+=b a AB ，∴192522=+y x ∴曲线C 的方程为192522=+y x(2)由(1)可知，M (4，0)为椭圆192522=+y x 的右焦点，设直线PM 方程为 4+=my x ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+4192522m y x y x 消去x 得，08172)259(22=-++my y m ，∴25919025981)259(4)72(22222++=+⨯+⨯+=-m m m m m y y Q P∴9251202591902212222++=++⨯=-=∆m m m m y y OM S Q P OPQ2153820191612091611202222=≤+++=+++=m m m m ，当1916122+=+m m ，即37+=m 时取得最大值，此时直线方程为01273=-+y x .22.已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线9:+=kx y m ，又0)1(=-'f ．（１）求a 的值；（２）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是)(x g y =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由．（３）如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围．解：（1）因为a x ax x f 663)(2-+=',所以0)1(=-'f 即0663=--a a ,所以a=－2.(2)因为直线m 恒过点（0，9）.先求直线m 是y=g(x) 的切线.设切点为)1263,(0200++x x x ,因为66)(00+='x x g . 所以切线方程为))(66()1263(00020x x x x x y -+=++-,将点（0，9）代入得10±=x . 当10-=x 时，切线方程为y=9, 当10=x 时，切线方程为y=12x+9.由0)(/=x f 得012662=++-x x ，即有2,1=-=x x当1-=x 时，)(x f y =的切线18-=y ，当2=x 时， )(x f y =的切线方程为9=y ∴9=y 是公切线，又由12)(/=x f 得1212662=++-x x ∴0=x 或1=x ，当0=x 时)(x f y =的切线为1112-=x y ，当1=x 时)(x f y =的切线为1012-=x y ，∴912+=x y ，不是公切线 综上所述 0=k 时9=y 是两曲线的公切线(3) ①)(9x g kx ≤+得3632++≤x x kx ，当0=x ，不等式恒成立，R k ∈.当02<≤-x 时，不等式为6)1(3++≥x x k ，而6])(1)[(36)1(3+-+--=++x x x x 0623=+⋅-≤0≥∴k 当0>x 时，不等式为6)1(3++≤x x k ， 126)1(3≥++x x ∴12≤k∴当2-≥x 时,)(9x g kx ≤+恒成立，则120≤≤k②由9)(+≤kx x f 得111232923-++-≥+x x x kx当0=x 时，119-≥恒成立，R k ∈，当02<≤-x 时有x x x k 2012322-++-≤设x x x x h 201232)(2-++-==x x 208105)43(22-+--，当02<≤-x 时8105)43(22+--x 为增函数，x 20-也为增函数∴8)2()(=-≥h x h ∴要使9)(+≤kx x f 在02<≤-x 上恒成立，则8≤k由上述过程只要考虑80≤≤k ，则当0>x 时12166)(2/++-=x x x f =)2)(1(6-+-x x∴在]2,0(∈x 时0)(/>x f ，在),2(+∞时0)(/<x f ∴)(x f 在2=x 时有极大值即)(x f 在),0(+∞上的最大值，又9)2(=f ，即9)(≤x f 而当0>x ,0≥k 时99>+kx ，∴9)(+≤kx x f 一定成立综上所述80≤≤k .。
浙江省湖州市菱湖中学高三数学月考试题
菱湖中学2018学年第一学期12月月考高三数学试题一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}065{2<+-=x x x A ，}044{2>+-=y y y B ，则=B A C U )(( )A.),3[]2,(+∞-∞B.),3[)2,(+∞-∞C.(2,)+∞D.),3()2,(+∞-∞ 2. 已知复数z 满足(1)1z i i +=-+(i 为虚数单位)，则z ( )A ．iB ．i -C ． 2i -D ．2i3. 已知R b a ∈,“0a b <<”是“11->-b a ”的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最大1份为 （ ） A. 35 B.1103 C. 1153D. 40 5.若实数,x y 满足100(1),210x y x y a z x y y ax -+≥⎧⎪+≥>=-⎨⎪-+≥⎩的最大值是34，则a 的值是( ）A.52B.4C. 2D. 3 6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离为3（c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为 （ ） A ．37 B. 273 C. 773 D. 73 7.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足()1212()2f x g x x x -=的，，有12min3x x π-=，则=ϕ （ ）A.512π B.3π C.4π D.6π 8. 设函数,1,41|,12|)(1⎩⎨⎧>-≤-=+x x x x f x 若互不相等的实数r q p ,,满足),()()(r f q f p f == 则r q p 222++的取值范围是 （ ） A.)16,8(B. )17,9(C. )16,9(D. )235,217(9. 已知单位向量→1e 、→2e 满足2121=⋅→→e e ，若→→-p e 1与→→-p e 212的夹角为3π，则→p 的取值范围为 （ ）A. [)+∞,0B. )13,13(+-C. 1)+D. 1)- 10. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11AA D D 内的动点， 且点P 满足；直线1PC 与平面11AA D D 所成角的大小等于平面PBC 与平面11AA D D 所成角的锐二面角的大小，则点P 的轨迹是 （ ） A. 直线 B. 圆 C . 椭圆 D. 抛物线 二、填空题：共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11. 已知函数a xx x f ++-=32cos32sin )(2[]π,0∈x 的最小值是2-,则()f x 的单调递减区间为 ；()f x 的最大值为 .12. 二项式81()2x x -的展开式的各项系数之和为 ，2x 的系数为 ．13. 某几何体的三视图如图所示（图中对角线均为实线），，则该 几何体中最长的一条棱长度为________，该几何体的体积是 _________14．已知袋子中有大小相同的红球3个，黑球2个，从中任取2个．设ξ表示取到红球的个数，则=ξE ，=ξD ．15．如图，已知F E ,分别是正方形ABCD 的边CD AB ,的中点，现将正方形沿EF 折成060的二面角，则异面直线AE 与BF 所成角的正切值是 ．16．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,已知B A ,为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则||||AB MN 的最大值为 ．17. 已知2(),f x x ax =-|(())|2f f x ≤在[1,2]上恒成立，则实数a 的最大值为 . 三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ，，的对边，已知cos23cos()1A B C ++=. （1）求角A 的值； （2）若3=a ，求b c +的取值范围.19．（本题满分15分）如图，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，侧面11B BCC ⊥底面ABC ，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为︒60．（1）求直线C A 1与底面ABC 所成的角；（2）在线段11C A 上是否存在点P ，使得平面⊥CP B 1平面11A ACC ？若存在，求出P C 1的长；若不存在， 请说明理由．A BCD E F A BCD E F（第15题A1A 1B 1C20.（本题满分15分）设数列{}n a 满足：21*123222,.2n n na a a a n N -++++=∈(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数，为奇数n a n n b nn1,，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．（本题满分15分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ,点P 在椭圆C 上，且△12PF F的面积为． （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点O 且与x 轴不重合的直线交椭圆C 于E ，F 两点，直线AF AE ,分别与y 轴交于点N M ,．求证：①以MN 为直径的圆恒过焦点1F ，2F ； ②求△1F MN 面积的取值范围．22.（本题满分15分）已知函数()(),,,R.x f x e g x ax b a b ==-∈(1) 若存在1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得不等式2()f x x m >-成立，求实数m 的取值范围；(2) 若对任意实数a ，函数()()()F x f x g x =-在(),0-∞上总有零点，求实数b 的取值范围.菱湖中学2018学年第一学期高三数学12月月考试题参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.B2.A3.A4.C5.D6.C7.D8.B9.C 10.D二、填空题：共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.5[,];6ππ 12.1;25672-1014. 6;5925三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)解：（1）由cos23cos()1A B C ++=，得22cos 3cos 20A A --=， … 2分 即(2cos 1)(cos 2)0A A +-=. 解得1cos 2A =-． … 4分 因为π<<A 0，所以23A π=．… 6分 （2）2(sin sin )2(sin 2sin )b c R B C B C +=+=+ … 8分2(sin 2sin -)3b c B B π+=+故（） … 9分2sin()3b c B π+=+故 … 11分(0,)3B π∈2(,)333B πππ+∈b c +∈…14分19．(本题满分15分)解：设BC 的中点O ,连接O B 1，∵侧面11B BCC ⊥底面ABC ，侧棱B B 1与底面ABC 所成的角为3π，∴=∠BC B 13π． … 2分 又11C BCB 是菱形，∴BC OB ⊥1．∴⊥1OB 底面ABC ．…3分（1）以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则)0,0,3(-A ,)0,1,0(-B ,)0,1,0(C ,)3,1,3(1-A ,)3,0,0(1B ,)3,2,0(1C∴)3,0,3(1-=CA ,又底面ABC 的法向量)1,0,0(=n…5分∴22sin ==θ, 45=θ 所以直线CE 与底面ABC 所成的角为 45． …7分 （2）假设在线段11C A 上存在点P ，设C 1=11C λ,即)0,1,3(1--=λC)3,1,3(11λλ--=+=C CC ，)3,1,0(1-=B …9分设平面CP B 1的法向量),,(z y x m =，⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=⋅=-=⋅03)1(3031z y x z y B λλ令1=z ，则3=y ，λλ-=2x ， )1,3,2(λλ-=∴…11分设平面11A ACC 的法向量),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅=+=⋅03031z y C y x AC n令1=z ，则3-=y ，1=x ，)1,3,1(-=∴． …13分要使平面⊥CP B 1平面11A ACC ，则=⋅)1,3,2(λλ-)1,3,1(-⋅=022=--λλ．32=∴λ． 341=∴P C ． …15分20．(本题满分15分)(1)2112322 (22)n n na a a a -++++=, 则2n ≥时,221231122 (22)n n n a a a a ---++++=, ....2分 相减得：1122n n a -⋅=....3分 nn a 31=, 2n ≥ ...4分当1=n 时，112a =...5分 nn a 31=∴ ...6分（2）,,2n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 ...7分①当n 为奇数时，2411232 (2)n n S n -=++++++12(1)(1)4(14)2214n n n -++-=⋅+- ...10分 21214(21)43n n n -++=+-. ...11分②当n 为偶数时，241232...(1)2nn S n =+++++-+2(1(1))4(14)2214nn n +--=⋅+- ...14分24(21)43n n =+-. ...15分21．(本题满分15分)解：（1）12122PF F S c ∆=⨯=2c ∴=， …2分又点P 在椭圆C 上，224214a a +=-， …3分 即4210160a a -+=，解得28a =，或22a =（舍） …4分又224a b -=，24b ∴=，所以椭圆C 的方程为22184x y +=； …5分 （2）(22,0)A -，1(2,0)F -，2(2,0)F ，方法一：当直线EF 的斜率不存在时，E ，F 为短轴的两个端点， 则(0,2)M ，(0,2)N -， 11F M F N ∴⊥，22F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆恒过焦点1F ，2F ， …7分 当EF 的斜率存在且不为零时，设直线EF 的方程为(0)y kx k =≠， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --，由22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得22812x k =+，所以0x =，0y =， 所以直线AE的方程为y x =+， …9分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M，同理可得点N ， …10分1122kF M F N ∴==，110FM F N ∴⋅=， 11F M F N ∴⊥，同理22F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆恒过焦点1F ，2F ，…11分 当EF 的斜率存在且不为零时，||4MN ===>， ∴△1F MN 面积为11||||42OF MN ⋅>， …13分又当直线EF 的斜率不存在时，||4MN =，△1F MN 面积为11||||42OF MN ⋅=， ∴△1F MN 面积的取值范围是[4,)+∞． …15分方法二：当E ，F不为短轴的两个端点时，设0000(,),(0,E x y x x ≠≠±， 则00(,)F x y --，由点E 在椭圆C 上， 220028x y ∴+=， …6分 所以直线AE的方程为y x =+，令0x =得y =，即点M，同理可得点N ， …7分以MN 为直径的圆可化为222000220088088x y y x y y x x +-+=--， …8分代入220082x y -=-，化简得22440x x y y y ++-=， …9分 令220,40,y x y =⎧⎨+-=⎩解得2,0,x y =±⎧⎨=⎩ …10分∴以MN 为直径的圆恒过焦点1(2,0)F -，2(2,0)F ， …11分0200168|||||||8y MN x y ∴===-，又022y -<<，||4MN ∴>, ∴△1F MN 面积为11||||42OF MN ⋅>，…13分 当E ，F 为短轴的两个端点时，||4MN =，△1F MN 面积为11||||42OF MN ⋅=，∴△1F MN 面积的取值范围是[4,)+∞． …15分22．(本题满分15分)解：(1) 由题意得：2xm x e >-， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e e x ,1成立， …2分令2()xm x x e =-，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e e x ,1，则()2xm x x e '=-， …3分再令()()2x n x m x x e '==-，则()2x n x e '=-，故当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2ln ,1e x 时，()0n x '>，()n x 单调递增； 当()e x ,2ln ∈时，()0n x '<，()n x 单调递减， …5分 从而()n x 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈e e x ,1上有最大值(ln 2)2ln 220n =-<， 所以()m x )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,1上单调递减，…6分 所以1211()()em x m e e e >=-， 即121(,)e m e e ∈-+∞…7分 (2) 令()()()x F x f x g x e ax b =-=-+，则()()()x F x f x g x e a '''=-=- (0)x <…8分 ① 1a ≥当时，()0F x '≥则()F x 在(,0)-∞上单调递减， 又(0)1F b =+由()F x 在(,0)-∞上总有零点，只需(0)10F b =+>解得：1b >-…10分 ② 1a <当时，由()0F x '>得：0ln x a >>由()0F x '<得：ln x a <故min ()(ln )ln F x F a a a a b ==-+…11分 令()(ln )ln a F a a a a b ϕ==-+则()ln 0a a ϕ'=->故函数()ln a a a a b ϕ=-+在(,1)-∞上单调递增，ϕ>只需(1)0b>-…15分解得：1。
浙江省湖州市菱湖中学高三数学10月月考试题 理 新人教
菱湖中学2014届高三10月月考数学理试题一、选择题（共10小题，每小题只有一个正确选项，每题5分，共50分） 1．已知集合A =｛x | x ( x -1) = 0｝，那么 （ ▲ ）A. 0∈AB. 1∉AC. -1∈AD. 0∉A2．曲线2)(3-+=x x x f 在0P 处的切线平行于直线14-=x y ，则0P 点的坐标为（ ▲ ）.A (1,0) .B (1,0)和(1,4)-- .C (2,8) .D (2,8)和(1,4)--3. 已知集合}41)21(|{},1)2(log |{A 2>=>+=xx B x x , 则A ∩=B （ ▲ ）A ．)2,0(B ．)0,2(-C ．RD ． ),2(∞+ 4．下列命题错误的是 （ ▲ ）.A 命题“若m>0，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根，则m ≤0”；.B “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件； .C 若q p ∧为假命题，则p ，q 均为假命题；.D 对于命题p:R x ∈∃,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x x5．设)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，f (x )＝2x (1－x )，则)25(-f ＝( ▲ )．A. －12B. －14C. 14D. 126．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（ ▲ ）.A )23,2(ππ .B )25,23(ππ .C )2,(ππ .D )3,2(ππ7．设θ为第二象限角，若21)4tan(=+πθ，则=+θθcos sin （ ▲ ）.A 510 .B 510- .C 5102 .D 5102- 8．若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极值，则a 的取值范围是（ ▲ ） A ．12a -<< B ．2a >或1a <- C ．2a ≥或1a ≤- D ．12a a ><-或 9．若函数)(x f y =的导函数．．．在区间],[b a 上是增函数，则函数)(x f y =在区间],[b a 上的可能图象为下面图像的 （ ▲ ）.A （1）、（3）、（4） .B （2）、（5）、（6） .C （1）、（2）、（3） .D （4）、（5）、（6） 10．设函数x xx p x f ln 2)1()(--=，x ex g 2)(=， ],2[e x ∈，若p >1,且对任意],2[1e x ∈，存在],2[2e x ∈，使不等式)()(21x g x f >成立，则p 的取值范围为（ ▲ ）.A ),32ln 42(+∞+e .B ),14(2+∞-e e .C ),32ln 44(+∞+ .D ,14(2-e e )32ln 44+ 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。
浙江省湖州市数学高三下学期理数第三次模拟考试试卷
浙江省湖州市数学高三下学期理数第三次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则（）A .B .C . (1,2]D . [0,2]2. （2分）(2019·河南模拟) 若复数满足，则的虚部为（）A . -4B .C . 4D .3. （2分）(2018·广东模拟) 空气质量指数（简称：）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照大小分为六级：为优，为良，为轻度污染，为中度污染，为重度污染，为严重污染.下面记录了北京市天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（）A . 在北京这天的空气质量中，按平均数来考察，最后天的空气质量优于最前面天的空气质量B . 在北京这天的空气质量中，有天达到污染程度C . 在北京这天的空气质量中，12月29日空气质量最好D . 在北京这天的空气质量中，达到空气质量优的天数有天4. （2分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 25. （2分）已知，由如右程序框图输出的S=（）A . 1B .C .D . -16. （2分）(2017·大连模拟) （2x﹣）n的展开式的各个二项式系数之和为64，则在（2x﹣）n 的展开式中，常数项为（）A . ﹣120B . 120C . ﹣60D . 607. （2分） (2016高二上·南阳期中) 在△ABC中，若 = ，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形D . 等腰或直角三角形8. （2分） (2019高三上·安徽月考) 已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为（）A .B .C . 2D . 39. （2分）(2018·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·重庆期中) 已知F1 ， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2= ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A .B .C . 3D . 211. （2分） (2015高二上·福建期末) 如图，在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，若AA′=2AB，则异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为（）A . 0B .C .D .12. （2分）(2017·太原模拟) 已知函数f（x）=（2a﹣1）x﹣ cos2x﹣a（sinx+cosx）在[0， ]上单调递增，则实数a的取值范围为（）A . （﹣∞， ]B . [ ，1]C . [0，+∞）D . [1，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·永州模拟) 中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为________.14. （1分）(2017·泸州模拟) 已知约束条件，表示的可行域为D，其中a＞1，点（x0 ， y0）∈D，点（m，n）∈D若3x0﹣y0与的最小值相等，则实数a等于________．15. （1分）把函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再将横坐标缩小为原来的，则其解析式为________16. （1分） (2019高一下·余姚月考) 在中，角的对边分别为，若为等比数列，且，则 ________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·广州模拟) 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn ，满足．（1）求a1及通项公式an；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．18. （15分）(2013·福建理) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）19. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园．（1）若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？（2）每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设X，Y分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）20. （10分） (2017高二下·黄陵开学考) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21. （10分）(2017·江苏模拟) 己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．22. （5分）(2018·河北模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过，倾斜角为．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．23. （10分） (2016高三上·吉安期中) 已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+ ）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y+ +|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
浙江省湖州市菱湖中学2010届高三数学第三次高考模拟考试 理 缺答案 新人教版
是S=S+1k(k+2)S ＝0k ＝1k=k+2k>2010？输出S 结束否开始菱湖中学2009学年第二学期第三次模拟考试卷高三数学（理）一、选择题：1．在复平面内，复数21i+ 对应的点与原点的距离是 （ ） A. 1 B.2 C.2 D. 222．已知R b a ∈,，则“33log log a b >”是 “11()()22ab<”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 A ．4B ．41 C ．－4 D ．－144．已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ，则=⋅OB OA(A)0 (B)53-(C)54- (D)545．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，满足2acosC ＋ccosA ＝b ．则sinA ＋sinB 的最大值是 （ ）A ．22 B ．1 C ．221＋ D 2 6．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.1 4．其中正确命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．若函数f （x ）的导函数'f （x ）＝x 2－4x ＋3，则函数f （x ＋1）的单调递减区间是 A ．（0，2） B ．（1，3） C ．（－4，－2） D ．（－3，－1） 8．如图，90,,,AC BC M N ∠=C=分别为BC AB 和的中点，沿直线MN 将⊿BMN 折起，使二面角'B MN B --为600,则斜线'B A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A .52 B. 53C. 54 D. 53是S=S+1k(k+2)S ＝0k ＝1k=k+2k>2010？输出S 结束否开始9.已知椭圆22221(0)(2,0),x y a b A a b+=>>的右顶点弦BC 过椭圆的中心O ，且0,||2||AC BC OB OC BC BA ⋅=-=-，则椭圆的离心率为 （ ）A ．13B 2C 3D 610.已知函数f （x ）＝3x －2，x ∈R ．规定：给定一个实数x 0，赋值x 1＝f （x 0），若x 1≤244，则继续赋值x 2＝f （x 1），…，以此类推，若1n x -≤244，则x n ＝f （1n x -），否则停止赋值，如果得到x n 称为赋值了n 次（n ∈N ﹡）．已知赋值k 次后该过程停止，则x 0的取值范围是（ ） A ．（63k -，53k -] B ．（53k-＋1，63k-＋1] C ．（63k -＋1，53k -＋1] D ．（43k-＋1，53k-＋1]二、填空题：11．某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4 的样本，已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是 ．12．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 ．13．右图是一程序框图，则其输出结果为 ． 14．设F 为抛物线y ＝－x 2的焦点，与抛物线相切于点)1,1(--P 的直线l 与x轴的交点为Q ，∠PQF ＝__________．15.某市一所中学准备异地新建，其占地的平面图如图所示，它由三个正方形和四个三角形构成，其中三个正方形的面积分别为36亩、40亩、52亩，则这所新校的占地面积 为 亩16．已知实数x 、y 满足11y x ⎧⎨⎩≤y ≥｜－｜,则x ＋2y 的最大值是_______． 17.已知函数3||sin 2()()||2x x x f x x R x +-+=∈+的最大值为M ,最小值为m ,则M m +=_ ___ 三．解答题：18．（本小题满分14分）设数列}{n a 的各项均为正数，且满足)(4*1N n a a n n ∈=+，}{n b 是满足)(2*1N n b b n n ∈+=+的数列，对任意*N n ∈，存在正数x ，使11log log b a b a x n n x -=-恒成立。
浙江省湖州部分地区高三下学期适应性考试(数学理).doc
浙江省湖州部分地区高三下学期适应性考试（数学理）第I 卷（选择题 共50分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每题选出大案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
（特别强调：为方便本次阅卷，每位考生在认真填涂“数学”答题卡的前提下，再将I 卷选择题答案重涂在另一答题卡上。
）如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号。
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合211{|log ,2},{|(),01}22x A y y x x B y y x ==<<==<<，则A B 为A ．)21,0(B ． (0,2)C ．),21(+∞D ．1(,1)22、26(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为A 、2B 、3C 、-2D 、2或33、设p ：0202>--x x ，q ：0212<--x x ，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、有一容量为10的样本：2，4，7，6，5，9，7，10，3，8，则数据落在[)5.5,7.5内的频率为A 、0．3B 、0．4C 、0．35D 、0．25 5、已知数列3，7，11，15，…则113是它的（A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项6、正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为α，侧面与底面的二面角的平面角为β，则2cos cos 2αβ+的值是A ．-1B ．2C ．1D ．324 主视图4 左视图4 俯视图44227、定义在R 上的函数)(x f y =，它同时满足具有下述性质：①对任何);()(33x f x f R x =∈均有②对任何).()(,,212121x f x f x x R x x ≠≠∈均有则=-++)1()1()0(f f fA 、1B 、0C 、-1D 、28、设)2008s in (s i n 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是A ．d c b a <<<B ．c d a b <<<C ．a b d c <<<D ．b a c d <<<9、在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为A 、B 、 ()125+ C 、3 D 、10、已知函数31(0)()12(0)3x e x x f x x xx ⎧+-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则下列说法①()f x 在)+∞上是减函数；②()f x 的最大值是2；③方程()0f x =有2个实数根；④()f x ≤在R 上恒成立，则下列正确的命题是A 、①③④B 、②③④C 、①④D 、①②③第II 卷（非选择题，满分100分）注意事项：1.第II 卷包括填空题和解答题共两个大题。
浙江省湖州市2015届高三上学期期末考试样卷数学理试题扫描版含答案
湖州市2014学年第一学期期末考试样卷高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分）36分.)9.()2,3 ；()(),01,-∞+∞；[]0,2 10.2 ； 011.2π；2- 12.4 ；94π13.12,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.12 15.[]0,1三、解答题(本大题共5小题，共74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16．(本小题满分15分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =．已知向量2cos ,sin 2B m B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,2n =，且//m n ．(Ⅰ) 若512A π=，求边c 的值； (Ⅱ) 求AC 边上高h 的最大值．解析:(Ⅰ)方法一：由//m n ，得22cos 2BB =，--------------------------------2分即1cos B B +=,得1sin()62B π-=，-----------------------------------------------4分又0B π<<，所以5666B πππ-<-<，故66B ππ-=，即3B π=.--------------6分结合512A π=，得4C π=由正弦定理sin sin b cB C=得, c =----------------------------------------------------8分方法二: 由//m n ，得22cos 2BB =，----------------------------------------------2分则22cos 2sin cos 222B B B =，又cos 02B ≠，故cos 22B B=，即tan2B =，--------------------------------------------------------------------------------------4分 又0B π<<，所以022B π<<，故26B π=，即3B π=.--------------------------------6分 结合512A π=，得4C π=.由正弦定理sin sin b cB C=得， c =-------------------------------------------------------8分(Ⅱ) 设AC 边上的高为h，则131sin 222ABC S bh h ac B ∆====，----------10分即h ac =， 222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥， -----------------14（等号成立当且仅当a c =）所以9ac ≤，因此h =≤所以AC 边上的高h的最大值为h =． -----------------------------------------------15分 17．(本小题满分15分)如图，在四棱锥11C A ABB -中，11//A A BB ，1A A ⊥平面ABC ，2ACB π∠=，11AC AA ==，12BC BB ==．（Ⅰ）求证：平面1A AC ⊥平面1B BC ； （Ⅱ）若点C 在棱AB 上的射影为点P ， 求二面角11A PC B --的余弦值．（Ⅰ）证明：因为1A A ⊥平面ABC ，所以1A A BC ⊥， …………………………2分又因为AC BC ⊥，所以BC ⊥平面1A AC ， ………………………4分 所以平面1A AC ⊥平面1B BC . …………………………5分 （Ⅱ）解法1：先考查二面角1A PC A --和二面角1B PC B --， 因为1AA ⊥面ABC ，所以1AA CP ⊥，又因为CP AB ⊥， 所以CP ⊥面11A ABB ，所以1CP A P ⊥，1CP B P ⊥，所以11A PB ∠即二面角的11A PC B --一个平面角， ……………………7分A1AB第17题图因为11tan1A PAAP∠===……………………9分112tan4BBB PBBP∠===，……………………11分所以()1111tan tanA PB A PA B PBπ∠=-∠-∠，所以()1111tan tanA PB A PA B PB∠=-∠+∠……………………12分1111tan tan1tan tanA PAB PBA PAB PB∠+∠=--∠∠……………………13分23552===，……………………14分所以11cos A PB∠=，所以二面角11A PC B--的余弦值为6．……………………15分解法2：因为1AA⊥面ABC，所以1AA CP⊥，又因为CP AB⊥，所以CP⊥面11A ABB，所以1CP A P⊥，1CP B P⊥，所以11A PB∠即为二面角的11A PC B--一个平面角.…………………8分因为CP AB⊥，所以AP=，BP=， (10)分所以1A P==1B P===，…………………12分又因为直角梯形11A ABB可得11A B==，…………………………13分所以22211111111cos2A PB P A BA PBA PB P+-∠=，…………………………………14分所以116cos6A PB+-∠==，所以二面角11A PC B--……………………………15分解法3：如图所示，以CA为x轴，以CB为y轴，过C作z轴，建立空间直角坐标系，则可知()1,0,0A，()11,0,1A，()0,2,0B，()10,2,2B，42,,055P⎛⎫⎪⎝⎭，……8分则()11,0,1CA=，42,,055CP⎛⎫= ⎪⎝⎭.设平面1A PC的一个法向量是()1,,1n x y=，可得：104255xx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩12xy=-⎧⇒⎨=⎩即()11,2,1n=-．……………………………………………10分同理可得1B PC的一个法向量是21,1,12n⎛⎫=-⎪⎝⎭，……………………………………12分所以二面角11A PC B--的余弦值为121266n nn n==．………………………15分18．(本小题满分15分)已知二次函数()2f x x bx c=++（,b c R∈）．(Ⅰ) 若()()12f f-=，且不等式()211x f x x≤≤-+对[]0,2x∈恒成立，求函数()f x的解析式；(Ⅱ) 若0c <，且函数()f x 在[]1,1-上有两个零点，求2b c +的取值范围． 解析：(Ⅰ)因为(1)(2)f f -=，所以1b =-，---------------------------------------3分因为当[0,2]x ∈，都有()2|1|1x f x x ≤≤-+，所以有(1)1f =， --------------------------6分 即1c =，所以2()1f x x x =-+； --------------------------------------------7分 (Ⅱ)解法1：因为()f x 在[1,1]-上有两个零点，且0c <，所以有(1)0,(1)0,0,f f c -≥⎧⎪≥⎨⎪<⎩10,10,0,b c b c c -++≥⎧⎪⇒++≥⎨⎪<⎩-------------------------11分（图正确，答案错误，扣2分）通过线性规划可得222b c -<+<. ---------------------------------------------15分（若答案为222b c -≤+≤，则扣1分）解法2：设()f x 的两个零点分别12,x x ，所以12()()()f x x x x x =--，--------9分 不妨设1[1,0)x ∈-，2(0,1]x ∈，--------------------------------------------------------------11分 因为12(2)(2)(2)f x x =--，且12(2,3]x -∈，22[1,2)x -∈，----------------13分 所以(2)(2,6)f ∈，所以222b c -<+<.-------------------------------------------------15分 （若答案为222b c -≤+≤，则扣1分） 19．(本小题满分15分)已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为()1,0F ，上顶点为()0,1B ．(Ⅰ) 过点B 作直线与椭圆C 交于另一点A ，若0AB BF ⋅=，求ABF ∆外接圆的方程； (Ⅱ) 若过点()2,0M 作直线与椭圆C 相交于两点G ，H ，设P 为椭圆C 上动点，且满足OG OH tOP +=(O 为坐标原点) ．当1t ≥时，求OGH ∆面积S 的取值范围．解析：(Ⅰ) 由右焦点为()1,0F ，上顶点为()0,1B 得1,1b c ==， 所以22a =.-------------------------------------------------------------------------3分 （,,a b c 每个1分）所以椭圆方程为22121x y +=， 因为0AB BF ⋅=，可求得点41(,)33A --，--------------------------------4分因为ABF ∆为直角三角形，AF 中点坐标11(,)66--，且AF =所以ABF ∆外接圆方程为221125()()6618x y +++=.--------------------6分(Ⅱ)设过点M 的直线方程为2x my =+， --------------------------------------------7分,G H 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，联立方程221,22,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(2)m y +4my +20+=，28160m ∆=->⇒22m >，因为12242m y y m +=-+，12222y y m =+，-------------------------------------------------9分 所以12||y y-===，------------11分因为OG OH tOP +=，所以点1212(,)x x y y P t t++， 因为点P 在椭圆C 上， 所以有221212()2()2x x y yt t+++=， 化简得2221212[()4]2()2m y y y y t ++++=，因为12242my y m +=-+，所以得2222244()(2)8()162022m m m m t m m -++-+-=++，化简22162m t=-，-------13分 因为1t ≥，所以2214m <≤，因为1212||2OGH S y y ∆=⋅⋅-=，(t t =∈，所以24OGH t S t ∆=+4t t=+， 令4()g t t t =+，因为()g t 在(0,2]t ∈上单调递减，在[2,t ∈上单调递增，所以02OGH S ∆<≤.--------------------------------------------------------------------------------15分20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足 21n n a S -=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()1n n n b a =--，记12111n nT b b b =+++．求证：2n T <．解析：（Ⅰ）当1n =时，1121a S -=，解得11a =，---------------------------------------------1分 当2n ≥时，21n n a S -=，1121n n a S ---=，-----------------------------------------------------------------------2分两式相减得：122n n n a a a --=，即12n n a a -=， ------------------------------------------------------------------------------------------5分 所以{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=，------------------6分 （Ⅱ）证法1：当n 为偶数时，21212312111112221212221n n n n n n n n n b b --------++=+=+-+------------------------------7分 2121232211222n n n n n -----+⎛⎫⎛⎫<=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，--------------------------------10分n T 012321111111222222n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=12122n ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；-----------11分当n 是奇数时，12111n n T b b b =+++<1211111n n b b b b +++++2<. 综上可知2n T <.---------------------------------------------------------------------------------14分 证法2：当1,2,3,4n =时，112T =，232T =，31710T =,412970T =不等式显然成立-------8分 当5n ≥时,要证明2n T <，只要证明012111111221212(1)2(1)n n n n---++++<+-----， 只要证明2342121111112121212(1)2(1)2n n n n ---+++++<+-+----. --------9分 又因为当5n ≥时，1216(1)0n n ---≥， 即1(1615)216(1)0,n n ----≥故()11162(1)152,n n n ----≥⋅()12152(1)2,8n n n ----≥⋅ 而234211111112121212(1)2(1)n n n n ---++++++-+---- 3421111115151557222888n -≤+++++⋅⋅⋅ -----------------------------------------------12分 43111()11822157151()2n -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++⋅- ----------------------------------------------------------------------13分 112250157155252<++=<.-------------------------------------------------------------------------------14分。
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2015年湖州市菱湖中学高三第三次适应性测试数学（理科）试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷上无效。
参考公式：球的表面积公式 24S R π= 棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式 343V R π= 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高其中R 表示球的半径 棱台的体积公式()1213V h S S = 棱锥的体积公式 13V Sh = 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 h 表示棱台的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.集合{3,2}a A =，{,}B a b =，若{2}A B =，则A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{0,1,3}C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3,4}2.已知,sin 3cos R ααα∈+=tan 2α的值是( ) A ．3-4 B ．2 C ．4-3D ．433.已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“1>q ”是“数列}{n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知n m ,为异面直线，βα,为两个不同平面，α⊥m ，β⊥n ，且直线l 满足m l ⊥，n l ⊥，α⊄l ，β⊄l ，则（ ）A ．βα//且α//lB ．βα⊥且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 5．函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω<>的最小正周期为π，若其图象向右平移3π个单位后关于y 轴对称，则)(x f y =对应的解析式可为（ ） A ．)62sin(π-=x y B ．)62cos(π+=x yC ．)32cos(π-=x yD ．)672sin(π+=x y 6.若等差数列{}n a 满足2211010a a +=，则101119...S a a a =+++的最大值为（ ）A ．60B ．50C ． 45D ．407．将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时，直线AB 与CD 所成的角为（ ）A ．090B ．060C ．045D ．0308.如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是 渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A．4 BC第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2．在答题纸上作图,可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题7小题，9-12题每题6分，13-15每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．9．已知首项为1，公差不为0的等差数列{}n a 的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比=q __▲ ；等差数列{}n a 的通项公式n a = ▲ ；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = __▲ ．10．正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如右图，其中有一 个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为 ______▲__，该正四面体的体积为 ▲ ．11．已知向量a ，b ，且2b =，()20b a b ⋅-=，则a 的最小值为____▲ ____,()12tb t a +-（R t ∈）的最小值为 ▲ ．12．若实数,x y 满足：2202403110x y x y x y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则x ,y 所表示的区域的面积为 ▲ ，若x ,y 同时满足(1)(2)0t xt y t ++++=，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 13．已知集合}11{2有唯一实数解=-+=x ax a A ，则集合=A __▲ ． 14.在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 的中点，BD l =为定长，则ABC ∆ 的面积最大值为___▲ ．15. 已知R 上的奇函数(),(2)()f x f x f x +=，[0,1]x ∈时()121f x x =--.定义：1()()fx fx =，EC1A21()(())f x f f x=，……，1()(())n nf x f f x-=，2,n n N≥∈，则39()8(1)f xx=-在[1,3]-内所有不等实根的和为____▲_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分15分）在A B C∆中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且i n5B c=，11cos14B=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设B C边的中点为D，AD=A B C∆的面积．17．（本小题满分15分）正方体1111A B CD A B C D-的棱长为1，E是棱11D C的中点，点F在正方体内部或正方体的面上，且满足：//E F平面11A BC。
（Ⅰ）求动点F轨迹所形成的平面区域的面积；（Ⅱ）设直线1B D与动点F轨迹所在平面所成的角记为θ，求cosθ．已知椭圆2212x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过椭圆的右焦点2F 与椭圆交于,A B 两点，（Ⅰ）当直线l 的斜率为1，点P 为椭圆上的动点，满足使得A B P ∆的点P 有几个？并说明理由。
（Ⅱ）1ABF ∆的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，且1S 22,n n n a n N +*=-∈。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11n n na nb n a +=-+，记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．求证：4,3N n T n *<∈．已知R a ∈，函数|1|)()(--=x a x x f 。
（Ⅰ）若3=a ，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）函数)(x f 在],12[b a +-上的值域为]1,1[-，求b a ，需要满足的条件。
2015年湖州市菱湖中学高三第三次适应性测试数学（理科）试题参考答案与解题提示一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．A 【命题意图】 本题考查集合的运算，属于容易题． 2．C 【命题意图】 本题考查三角恒等变换，属于容易题．【解题思路】法一：22sin sin 3cos 5sin cos 1cos αααααα⎧=-⎪⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪⎩=⎪⎩或sin 5cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩tan 2α=或1tan 2α=-，所以4tan 23α=- 法二：两边平方，2222sin 6sin cos 9cos 5(sin cos )αααααα++=+，所以4cos 23sin 20αα+=，所以4tan 23α=-)3αϕϕ+==，24k παϕπ+=+或324k παϕπ+=+ 所以1tan 2tan 2αϕ=3．D 【命题意图】 本题考查等比数列单调性及充要条件，属于容易题．【解题思路】 等比数列}{n a 中， 01<a ，若1>q ，则数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则10<<q ，所以选D ．4．D 【命题意图】 本题考查线面位置关系判定，属于容易题．【解题思路】 若βα//，且α⊥m ，β⊥n ，则n m //，矛盾，故A 不正确；所以α与β相交．由α⊥m ，m l ⊥，α⊄l ，可知α//l ，同理β//l ，可得l 平行两个平面的交线．所以选D ．5．C 【命题意图】 本题考查三角函数图象的平移，函数的奇偶性，三角函数的诱导公式，属于中档题． 【解题思路】()sin(2)f x x ϕ=+sin(2())3x πϕ→-+关于y 轴对称，所以232k ππϕπ-=+，又2πϕ<，所以6πϕ=，由诱导公式知选C ．6．B 【命题意图】 本题考查等差数列的通项、求和，应用不等式求最值，属于中档题 【解题思路】法一：1015(3)S a a =-，11035Sa a =-代入2211010a a +=，化为10a 的二次函数，0∆≥。
法二：转化为：已知2210x y +=，求3x y -的最大值问题。
数形结合或三角换元或柯西不等式均可。
7．B 【命题意图】 本题考查空间位置关系的判断，求两异面直线所成的角，属于中档题【解题思路】法一：取,,BD AC BC 的中点，分别为,,O M N ，则,ON MN 所成的角即为所求的角。
当该四面体的体积最大时，即面ABD 垂直于面BCD 。
设正方形边长为2，则1OM MN ON ===，所以直线AB 与CD 所成的角为060。
法二：1()2AB CD AB BD BC ⋅=⋅-=-8．B 【命题意图】 本题考查双曲线的定义和几何性质，属于中档题．【解题思路】双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，∴2222221OA baba kb a b a==--，∴直线l 的方程为222()ab y x c a b =--，与直线b y x a =±联立，可得2223abc y a b =--或222abcy a b =+，2AF FB =，∴22222223abc abc a b a b =⋅+-，a ∴=，2c b ∴=，c e a ∴==。
二、填空题：本大题7小题，9-12题每题6分，13-15每题4分，共36分．9．52，32n -，232n n -【命题立意】本题考查等差等比数列概念，基本量运算，属于容易题． 10．,【命题意图】 本题考查解三视图，属于中档题．【解题思路】正视图是错误图形，正视图底边长为6，高为6=，所以1,2S V ==。
11．1，1【命题意图】 本题考查向量的运算，及向量运算的几何意义，属于中档题．【解题思路】法一：（坐标化）设(2,0)b =，(,)a x y =，由()20b a b ⋅-=知，1x =，所以2211a y =+≥，所以a 的最小值为1，又()12(1,12)tb t a t +-=-，()2221(12)4424()12tb t a t t t +-=-+=-+，所以()12tb t a +-的最小值为1。