《常考题》初中七年级数学下册第六单元《实数》知识点复习(含答案解析)

一、选择题
1．下列各式计算正确的是（）
A B= ±2 C= ±2 D． A
解析：A
【分析】
根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．
【详解】
解：∵-1= 2= 2，，
故只有A计算正确；
故选:A．
【点睛】
本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．
2）
A．8 B．±8 C．D．± C
解析：C
【分析】
【详解】
，
8的算术平方根是，
．
故选择：C．
【点睛】
本题考查一个数的算术平方根的算术平方根，掌握求算式的平方根，一定要把算式化简得到结果后再求是解题关键．
3）
A．2 B．4 C．2±D．-4A
解析：A
【分析】
【详解】
解：∵，
∴
=2．
故选：A．
【点睛】
．
4．已知122=，224=，328=，4216=，5232=，……，根据这一规律，20192的个位数字是（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．6C 解析：C
【分析】
通过观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…知，他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…因为2019÷4＝504…3，所以20192的个位数字与32的个位数字相同是8．
【详解】
解：仔细观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…；可以发现他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…
∵2019÷4＝504…3，
∴20192的个位数字与32的个位数字相同是8．
故答案是：8．
【点睛】
本题考查了尾数特征，解题的关键是根据已知条件，找出规律：2的乘方的个位数是每4个数一循环，2，4，8，6，…．
5．下列各数中比( )
A ．2-
B ．1-
C ．12-
D ．0A 解析：A
【分析】
根据实数比较大小的方法分析得出答案即可．
【详解】
A ．|2|2-=，|= ∴2>
2∴-<
B ．|1|1-=，|= ∴1<
，
1∴->
C ．1122
-=，|=， 1
∴->２
D ．0>
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了实数的大小比较，正确掌握比较方法是解题的关键．
6．下列实数中，是无理数的为（ ）
A ．3.14
B ．13
C
D 解析：C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
A.3.14是有限小数，属于有理数；
B.13
是分数，属于有理数；
3，是整数，属于有理数.
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
7．各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数”．例如153是“水仙花数”，因为333153153++=．以下四个数中是“水仙花数”的是（ ）
A ．135
B ．220
C ．345
D ．407D
解析：D
【分析】
分别算出某数各个数位上数字的立方和，看其是否等于某数本身，若等于即为“水仙花数”，若不等于，即不是“水仙花数” ．
【详解】
解：∵333135153135++=≠，∴A 不是“水仙花数”；
∵332216220+=≠，∴B 不是“水仙花数”；
∵333345216345++=≠，∴C 不是“水仙花数”；
∵3347407+=，∴D 是“水仙花数”；
故选D ．
【点睛】
本题考查新定义下的实数运算，正确理解题目所给概念并熟练应用实数运算法则去完成有关计算是解题关键．
8．在一列数：1a ，2a ，3a ，…，n a 中，1=7a ，2=1a 从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这列数中的第2020个数是（ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．9C
解析：C
【分析】
根据题意可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，进而可以得到这一列数中的第2020个数．
【详解】
解：由题意可得：
a 1＝7，
a 2＝1，
a 3＝7，
a 4＝7，
a 5＝9，
a 6＝3，
a 7＝7，
a 8＝1，
…，
∵2020÷6＝336…4，
∴这一列数中的第2020个数是7．
故选：C ．
【点睛】
本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化的特点，求出相应的数据．
9．关于x 的多项式32711159x mx x --+与多项式22257x nx --相加后不含x 的二次和一次项，则()mn n -+平方根为（ ）
A ．3
B ．3-
C ．3±
D ．解析：C
【分析】
将两个多项式相加，根据相加后不含x 的二次和一次项，求得m 、n 的值，再进行计算．
【详解】 32711159x mx x --+＋22257x nx --
＝()()32
722111552x m x n x +--++ 由题意知，2211=0m -， 155=0n +，
∴=2m ，=3n -，
∴()()=323=9mn n -+--⨯-，
9的平方根是3±，
∴()mn n -+平方根为3±，
故选：C ．
【点睛】
此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
10．若1a >，则a ，a -，1a 的大小关系正确的是（ ） A ．1a a a >->
B ．1a a a >->
C ．1a a a >>-
D ．1a a a ->> C 解析：C
【分析】
可以用取特殊值的方法，因为a ＞1，所以可设a=2，然后分别计算|a|，-a ，
1a ，再比较即可求得它们的关系．
【详解】
解：设a=2，
则|a|=2，-a=-2，
112a =， ∵2＞12
＞-2， ∴|a|＞
1a
＞-a ； 故选：C ．
【点睛】 此类问题运用取特殊值的方法做比较简单．
二、填空题
11．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A 表示的数为________； （2）迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 35-+ 的点，并比较它们的大小．
（1）；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）设正方形边长为a 根据正方形面积公式结合平方根的运算求出a 值则知结果；（2）①根据面积相等利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；②由题（1）的原理得出大正
解析：（1）2,2-；（2）①见解析；②见解析， 350.5-+<-
【分析】
（1）设正方形边长为a ，根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a 值，则知结果； （2） ① 根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；
②由题（1）的原理得出大正方形的边长为5，然后在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，再把N 点表示出来，即可比较它们的大小．
【详解】
解：设正方形边长为a ，
∵a 2=2，
∴a=2±，
故答案为：2，2-；
（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：
②设拼成的大正方形的边长为b ，
∴b 2=5，
∴b=±5，
在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，则M 表示的数为-3+5，看图可知，表示-0.5的N 点在M 点的右方，
∴比较大小：30.5-+<-．
【点睛】
本题主要考查平方根与算术平方根的应用及实数的大小比较，熟练掌握平方根与算术平方根的意义及实数的大小比较是解题的关键．
12．3=，31a b -+的平方根是4±，c 3a b c ++的平方根．【分析】根据求出a 的值根据3a+b-1的平方根是±4求出b 的值根据c 是的整数部分求出c 的值把求得的值代入a+b+3c 然后求出入a+b+3c 的平方根即可【详解】∵∴解得：∵的平方根是∴解得：∵是的整数
解析：5±
【分析】
3=求出a 的值，根据3a +b -1的平方根是±4求出b 的值，根据c 数部分求出c 的值，把求得的值代入a +b +3c ，然后求出入a +b +3c 的平方根即可.
【详解】 ∵
3=，
∴219a -=，
解得：5a =，
∵31a b +-的平方根是4±，
∴15116b +-=，
解得：2b =，
∵c
67<
< ∴6c =，
∴3521825a b c ++=++=
∴3a b c ++的平方根是5±
【点睛】
本题考查了算术平方根的意义，平方根的意义，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的意义、平方根的意义、夹逼法估算无理数的值是解答本题的关键．
13．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗
（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．
问题：
（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时， ；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算， ．
（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗
[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．（1）同号得正异号得负并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）﹣17；（3）适用举例验证见解析【分析】（1）根据示例得出两数进行⊗运算时同号得正异号得负并把绝对值相加特别地0和任何数进行⊗运算或任
解析：（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）﹣17；（3）适用，举例验证见解析
【分析】
（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值；
（2）根据⊗运算的运算法则进行计算即可；
（3）举例即可做出结论．
【详解】
解：（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；
（2）[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]＝（﹣5）⊗（+12）＝﹣17；
（3）结合律仍然适用．
例如[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝（+8）⊗（+4）＝+12，
（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）]＝（﹣3）⊗（﹣9）＝+12，
所以[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝12＝（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）．
故结合律仍然适用．
【点睛】
本题考查了新定义下的有理数的加减运算，正确理解新定义运算法则是解题的关键． 14．对于有理数,a b ，我们规定*a b b ab =-
（1）求(2)*1-的值．
（2）若有理数x 满足(2)*36x -=，求x 的值．（1）3；（2）【分析】（1）由新定义的运算法则进行计算即可得到答案；（2）由新定义列出方程解方程即可得到答案【详解】解：∵∴；（2）由题意则∵∴解得：【点睛】本题考查了一元一次方程新定义的运算法则
解析：（1）3；（2）1x =．
【分析】
（1）由新定义的运算法则进行计算，即可得到答案；
（2）由新定义列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：∵*a b b ab =-，
∴(2)*11(2)1123-=--⨯=+=；
（2）由题意，则
∵(2)*36x -=，
∴(2)*333(2)6x x -=--=，
解得：1x =．
【点睛】
本题考查了一元一次方程，新定义的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
15．已知a 是b 的小数部分，求代数式(1b a --的平方根．【分析】根据可得即可得到的整数部分是3小数部分是即可求解【详解】解：∵∴∴的整数部分是3则的小数部分是则∴∴9的平方根为【点睛】本题考查实数的估算实数的运算平方根的定义掌握实数估算的方法是解题的关键 解析：3±．
【分析】
根据223104<<可得34<<的整数部分是3，小数部分是
3，即可求解．
【详解】
解：∵223104<<， ∴
34<<， ∴
3，则3a =3，则3b =，
∴(()1312
339a b ---=-=-=， ∴9的平方根为3±．
【点睛】
本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键． 16．（1）求x 的值：2490x -=；
（2（1）或；（2）4【分析】（1）利用开方要根的概念求出x 的值即可；（2）根据实数混合运算的法则进行计算即可【详解】解：（1）或(2)原式＝5+2﹣3＝4【点睛】本题考查的是实数的运算熟知实数混合运算
解析：（1）32x =
或32x =-；（2）4 【分析】
（1）利用开方要根的概念求出x 的值即可；
（2）根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】
解：（1）294
x = 32x =
或3-2
x = (2)原式＝5+2﹣3
＝4．
【点睛】 本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．
17
． 1.414≈，于是我们说：的整数部分为1，小数部分则可记为
1”．则：
（11的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________；
（22的小数部分是a ，7-b ，那么a b +=__________；
（3x 的小数部分为y ，求1(x y --的平方根．（1）2；（2）1；（3）【分析】（1）先估算出的取值范围再确定的整数部分和小数部分；（2）先估算出和的取值范围再确定a 与b 的值最后代入代数式计算即可；（3）先估算出的取值范围再确定xy 的值最后代入
解析：（1）21；（2）1；（3）3±．
【分析】
（11的整数部分和小数部分；
（22和7-
a 与
b 的值，最后代入代数式计算即可；
（3的取值范围，再确定x 、y 的值，最后代入代数式计算即可．
【详解】
解：（1）∵1＜2＜4
∴1
＜2 ∴
1， ∴
1的整数部分为212+-1
故答案为21；
（2）∵1＜3＜4
∴1
2 ∴
1，
∴
2的整数部分为3，小数部分为21-；7-的整数部分为5，
小数部分为b=75--=2
∴1
+2=1
故答案为1；
（3）∵9＜11＜16
∴3
＜4 ∴
x=3，小数部分为-3
∴()3211(3==3=9x y --- ∵3±．
故答案为3±．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，掌握运用逼近法比较无理数的大小成为解答本题的关键．
18．下列实数0， 23
，π，0.1010010001其中无理数共有___个．2【分析】根据无理数的定义解答即可【详解】解：实数0π010********中无理数有实数π共2个故答案为：2【点睛】本题考查了无理数的定义其中初中范围内学习的无理数有：π2π等；开方开不尽的数；以
解析：2
【分析】
根据无理数的定义解答即可．
【详解】
解：实数0，
23
，π，0.1010010001π共2个， 故答案为：2．
【点睛】 本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
19．对于有理数x 、y ，当x ≥y 时，规定x ※y =y x ；而当x <y 时，规定x ※y =y -x ，那么4※（-2）=_______；如果[（-1）※1]※m=36，则m 的值为______．或【分析】根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可；先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可【详解】解：4※（-2）=；（-1）※1=（-1）
※1※m=2※m=36当时原式可化为解得：；
解析：6m =-或38m =．
【分析】
根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可；
先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可．
【详解】
解：42>-
∴4※（-2）=()42=16-；
11-<
∴（-1）※1=()11=2--
∴[（-1）※1]※m=2※m=36
当2m ≥时，原式可化为236m =
解得：6m =±
6m ∴=-；
当2m <时，原式可化为：236m -=
解得：38m =；
综上所述，m 的值为：6m =-或38m =；
故答案为：16；6m =-或38m =．
【点睛】
本题考查了新定义的运算，读懂新定义的式子，将值正确代入是解题的关键． 20．规定一种关于a 、b 的新运算：2*2a b b ab a =+-+，那么
()3*2-=______．【分析】根据新定义将3与-2代入原式求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查了新定义运算把新定义运算转换成有理数混合运算是解题关键
解析：3-
【分析】
根据新定义,将3与-2代入原式求解即可.
【详解】
()()()2
3*223232-=-+⨯--+
461=-- 3=-．
故答案为：3-．
【点睛】
本题考查了新定义运算,把新定义运算转换成有理数混合运算是解题关键.
三、解答题
21．已知2
90x ，310y +=，求x y +的值． 解析：2或4
【分析】
根据平方根和立方根的性质计算，得到x 和y 的值，再结合绝对值的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵29
0x
∴3x =±
∵310y +=
∴1y =- ∴当3x =，1y =-时，x y +=312-=
当3x =-，1y =-时，x y +=314--=．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、绝对值的性质，从而完成求解．
22．1
解析：1
【分析】 先根据开方的意义，绝对值的意义进行化简，最后计算即可求解．
【详解】
解：原式123122
=-+++⨯
1=+ 【点睛】
本题考查了实数的混合运算，理解开方的意义，能正确去绝对值是解题关键． 23．已知4a +1的平方根是±3，3a +b ﹣1的立方根为2．
（1）求a 与b 的值；（2）求2a +4b 的平方根．
解析：（1）a=2，b=3；（2）±4．
【分析】
（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1=9，据此求出a 的值是多少；然后根据3a +b ﹣1的立方根为2，可得：3a +b ﹣1=8，据此求出b 的值是多少即可．
（2）把（1）中求出的a 与b 的值代入2a +4b ，求出它的值，然后根据平方根的定义即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵4a+1的平方根是±3，
∴4a+1=9，
解得a=2，
∵3a +b ﹣1的立方根为2，
∴3a +b ﹣1=8，
解得：b=3；
（2）由（1）得a=2，b=3，
∴24224316a b +=⨯+⨯=．
它的平方根为：±4．
【点睛】
本题考查了平方根，立方根，列式求出a 、b 的值是解题的关键．
24．求下列各式中x 的值：
（1）()214x -=；
（2）3381x =-．
解析：（1）x=3或x=-1；（2）x=-3．
【分析】
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用立方根的定义求解即可．
【详解】
（1）()2
14x -=
直接开平方得：12x -=±，
解得：13x =，21x =-
（2）3381x =-
两边同时除以3得：327x =-，
开立方得：3x =-．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根的性质，解题的关键是利用平方根和立方根的性质求解方程． 25．已知1x -的算术平方根是3，24x y ++的立方根也是3，求23x y -的值． 解析：11
【分析】
根据算术平方根和立方根的概念列出方程求出x 和y ，代入求值即可．
【详解】
解：∵1x -的算术平方根是3，
∴1=9x -，
∴=10x ，
∵24x y ++的立方根是3，
∴24=27x y ++，即204=27y ++
∴3y =，
∴2320911x y -=-=．
【点睛】
本题考查算术平方根和立方根．熟练掌握算术平方根与立方根的意义是解题的关键． 26．求x 的值：（1）2(3)40x +-=
（2）33(21)240x ++= 解析：（1）1x =-或5x =-；（2）32
x =-
． 【分析】 （1）整理后，利用平方根的定义得到32x +=±，然后解两个一元一次方程即可； （2）整理后，利用立方根的定义得到212x +=-，然后解一元一次方程即可．
【详解】
（1）2(3)40x +-=，
移项得：2
(3)4x +=，
∴32x +=±，
∴1x =-或5x =-；
（2）33(21)240x ++=，
整理得：3(21)8x +=-，
∴212x +=-， ∴32
x =-
． 【点睛】 本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．这就是说，如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．也考查了平方根．
27．初一年级某同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：21a b a ab ⊕=--．求()23-⊕的值．
解析：1
【分析】
根据新运算的运算法则计算即可．
【详解】
解：()()()2322231-⊕=⨯---⨯-
()4614611=----=-+-=．
【点睛】
本题考查新定义下的有理数运算，通过阅读材料掌握新运算的运算法则是解题关键． 28．（1）计算：
|3|-．
（2）求下列各式中x 的值：
③22536x =；
④3(1)64x --=．
解析：（1）①13；②9-；（2）③65
x =±
；④5x =． 【分析】
①先计算根式，再加减计算．
②先计算根式和绝对值，再加减计算．
（2）③两边除以25，再开算术平方根．
④先除以-1，再开立方根．
【详解】
（1）-+1322=-+13=
|3|-
1153=-+-9=-
（2）③22536x = 23625
x = 65
x =± ④3(1)64x --= 3(641)x -=- 14x -=- 5x =
【点睛】
本题考查根式的化简求值，关键在于化简．。